“转变”图形悟通法 “网链”本源促深思

温晶晶，苏 斌

（浙江省温州市第三十九中学；浙江省温州市教育教学研究院附属学校教育集团江滨分校）

一、问题提出

《义务教育数学课程标准（2011年版）》倡导，数学教学活动应调动学生的积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.若学生在学习过程中没有经历深刻的思维活动，就无法将教材知识完全融入自身认知体系.学生一听就懂、一看就会、一做就错的现象屡见不鲜.究其根源，还在于学生一味被动听讲，却很少真正地思考和总结数学知识的本源及其附属的基本图形与思想方法.数学深度学习是指在教师的引领下，学生围绕核心问题探查知识之间的相互关联，在充分理解的基础上进一步拓展迁移，力求触及数学问题的学科本质，并在此过程中提高问题解决能力的高阶思维训练过程.

笔者在日常课堂教学实践中不断探索并运用多种策略，以期达到提升学生思维深度的目的.以下笔者结合公开课——“玩转全等三角形”的教学片断，例谈如何在数学几何教学中践行深度学习理念，促进学生核心素养的提升.

二、深度学习实施策略

1.开放问题引路，活化学生思维

以题组为载体，引导学生对某一知识点或技能方法进行深入思考和灵活运用，可以加深学生对知识的理解.开放性问题能驱动学生思维有效发散.一个好的开放性问题可以唤起想象力、吸引注意力、激发创造力.教师可以在此基础上将学生的思维全面打开，进一步培养学生的问题意识.教师设计问题时应充分关注学生的知识基础，通过问题的精准定位激活学生的探求欲望，借助探讨过程提升学生对旧知的理解，为新知的学习找到认知起点和努力方向，实现新、旧知识的无痕对接.

例如，本节课通过线随角转，做实基础知识.具体如下.

所谓“拉手三角形”，是指有公共顶角的两个相似等腰三角形，因其两对腰共用一个端点而形似牵在一起的两双手而得名.拉手三角形下承全等三角形基础知识，上启半角旋转问题思路，蕴涵化归、类比等求解几何探究题常用的技能与思想方法.围绕此类核心基础知识设置开放性问题，可以让学生在特殊位置探究和一般结论找寻的过程中体验深度学习，提升学力.

题目1如图1，在线段CD上取一点A，分别以AC，AD为边向上作等边三角形ABC和三角形ADE，试在连接两条线段后，找到一组全等三角形，并说明全等的理由.（图1中虚线为学生所连线段，下同.）

图1

如图2和图3，依次给出三对有公共顶点的特殊三角形，要求学生添加两条线段构造全等三角形.从位置的改变到形状的演变，让学生感受其中不变的全等关系.

图2

图3

从最特殊的等边三角形出发，融入共顶点、三点共线等几何特性，低起点，缓坡度，便于入手，让每位学生参与到课堂思考中.紧接着，保留以上两个等边三角形的共顶点特性，利用旋转产生位置上的变化，引导学生抓住动态过程中不变的全等关系，培养学生思维的灵活性.然后将两个等边三角形改为等腰直角三角形，通过形状的演变让学生进一步积累解题经验，于变中求不变，为后续问题的求解提供思路.所有特殊位置的证明或求解过程都是为一般结论的得出创造有利条件，经过前期对相关知识和方法的周密布置和演练，深度学习契机的到来也变得顺理成章.

题目2如图4，△ABC和△ADE为等腰三角形，AB=AC，AE=AD，你能在连接两条线段后，找到一组全等三角形吗？如果能，写出证明过程；如果不能，指出所缺条件.

图4

将题目1的已知条件弱化为一般等腰三角形，让学生上台板演证明过程.学生写到一半发现缺少条件，无法继续，说明条件过度弱化使图形失去原有性质，需稍加强化.通过深入引导，学生很快发现两个等腰三角形的顶角必须相等，在认知冲突的形成与化解过程中加深了对问题的认识，初步揭示此类问题的特征和规律.

2.多题图形归一，细化审题过程

变式与整合是开展数学深度学习的主要路径，通过一题多解、一题多思，可以提高学生看问题的深度，培养他们少算多思的解题习惯，提升思维的深刻性.在习得特定的思想方法和技巧后，学生看问题的眼光和高度会在短时间内稍有提升，但若不趁热打铁加以强化，部分学生的思维又会回落到原有状态.教师应该抓住这个关键节点，深化知识脉络，将探究过程做实、做深.

题目3如图5，四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，试通过连接两条线段，找到一组全等三角形.

图5

图6

通过删线去角，牵引学生深度思维.此题是一个伪正方形背景问题，构造全等三角形的过程与题目1无异，即通过连接BE，DG构造三角形全等.教师可以引导学生观察“正方形的哪几条边在此题求解过程中是干扰边”，连接BD，EG后，发现BC，CD，EF，GF四条线段可以删去（如图6）.学生每报出一条线段，教师就在几何画板软件中删去这条线段，最终只剩下等腰三角形ABD和等腰三角形AEG，从而引导学生发现正方形的旋转可以化归为拉手三角形.教师和学生一起去除多余线段的过程，就是逐步洞悉问题本质的过程，提升学生从复杂图形中抽离出基本图形的能力.以上环节通过设计删线去角的方式，引导学生深入挖掘问题本质.

借正方形旋转这个话题，教师顺势把旋转中心转移到正方形的对角线交点上，让学生找出图7中的全等三角形并选择其中一组进行证明.紧接着删线去角得图8和图9，引导学生关注问题本质.在图9的基础上，还可以将等腰三角形变形为菱形（如图10），探讨运动过程中的共性（如图11）.由于设问开放，学生还可能提出面积、形状、角度、线段长度关系等其他问题，并顺势开展深入合作探讨.

图7

图8

图9

图10

图11

通过对同类问题的拓展加深，可以培养学生深入认识问题的习惯，提升学生对基本图形的辨识能力，增强探究意识与兴趣.对于学有余力的学生，教师还可以进一步拓展.例如，若图9、图10中的点P，Q分别在边的延长线上时，还有类似结论成立吗？从添线段构造全等三角形到删线段探索边角特性，这一路走来，引入必要的，去除多余的，一系列过程旨在深化和提升学生的数学思维.

3.挖掘问题本质，深化思想方法

多角度归纳，深刻把握问题本质是数学深度学习的重要方式.教师要对教材知识进行深度加工，挖掘隐性知识和方法，并将之以通俗易懂的形式呈现给学生.深度学习指向对问题的高度理解，它不等同于问题难度.恰恰相反，当教师把学生带到一定思想高度后，原先看上去较为复杂的问题会变得很简单，用深度理解化繁为简才是深度学习的要义所在.对学生来说，深度学习能帮助他们抓住数学学科的内部规律，将所学知识融会贯通，是一种“接地气”的数学学习观念.

看似偶然的完美结论背后，往往隐藏着深刻的数学原理，是深度学习的良好切入口.通过添线造角，构建基本图形.如图10，将含120°内角的菱形，在120°内角上放置一个60°角作旋转，能产生两组在60°角动态旋转过程中始终保持全等的三角形.教师应带领学生对问题本质发起挑战，通过引导学生探究特殊角度关系所带来的特定位置关系和数量关系，进一步感知半角旋转问题规律，体验深度思考.

教师在此处引导学生归纳概括出60°角绕120°角旋转的基本图形（如图12）.结合上题，还可以得出一个90°角绕180°角旋转的基本图形（如图13）.

图12

图13

问：这两个基本图形能否概括为同类图形？

此时教师要给学生充分的思考空间和讨论时间.

在这两个基本图形的基础上将特殊角进一步一般化，得半角旋转图形框架（如图14），并重新连成更一般的四边形让学生归纳图形特性（如图15）.通过核心提炼让学生触及问题本质，感受深度思维，实现多题归一.深度学习的过程实施可以具体到探究活动中的每个环节，通过横向拓展和纵向加深让学生全面了解问题，并强化核心知识及方法技巧.

图14

图15

4.知识连线结网，优化整体结构

碎片化的知识点学习，缺乏全局展望和顶层设计，将难以实现数学知识的深度融通.数学专题课的设计需站到一定高度，在登高望远的同时“瞻前顾后”，认清来路与归途.在对整章或整本教材深入解读的基础上，有序整合知识是开展深度学习的前提和保障.这就要求教师具备整体眼光和全局观念，对数学教材进行全面审视与深层思考.如果教师自身对问题的认识没有达到一定的高度与深度，那么学生的深度思考也就无从谈起.对一个数学问题的系统研究过程就是深度学习理念的践行过程，做实这个过程中的每一步，精心总结归纳知识网，可以进一步提升学生的核心素养.

教学内容的完结并不代表思考的终结，对知识的回味与总结，也是深度学习的重要环节.在数学的领域中，各知识点之间并不是相互孤立的，而是广泛联系的.教师要回归知识本源，抓取具有较高相关度的内容，以最优顺序和方式呈现给学生，低起点、缓坡度搭建思维脚手架，方便学生拾级而上.在教学中，教师要始终着眼于学生的学习需求，从横向变式到纵向拓展，将零散的知识结成网状，纵横联通.例如，本节课中通过角联主线，整合优化知识.教师和学生一起总结整理知识，并归纳成如图16所示的知识框架图，助力学生站上全章知识的角度综合看问题，将核心知识与重要技能尽收于心，提升学生学习的针对性和有效性.

图16

三、结束语

在日常教学过程中引导学生开展深度学习，应注意以下几点：（1）过程教学，深度思考.教师要关注自己的教学过程和学生的学习过程，宁愿多投入一些课堂时间，把一个问题讲透，或引领学生对特定问题进行深入拓展.（2）及时评价，有效反馈.对于学生的课堂表现或观点，要第一时间给予肯定或鼓励的评价.对于学生中普遍存在的问题，要展开针对性深度分析.教师对特定教学内容的透彻思考与深刻理解将有效带动学生的深度思考.（3）题组演绎，明晰主线.教师通过深入解读教材，找寻相关数学知识之间的内在联系，并用题组串联设计，将这一系列知识连成一条主线，可以使学生认识到自己对问题理解的片面性，产生深入思考并探索问题本质的积极性.让学生站在全局的高度观察与思考问题的方方面面，对知识的深入理解有较大促进作用.

本文所述只是笔者在几何教学中开展深度学习的一些具体做法和实施策略，有一定的局限性，并不是每节课或者每个知识点都适合开展深度学习.数学深度学习是一片有待深入开发的广袤土地，诸如它的发生机理、学理、步骤规范，都有待专家、学者在后续的教学实践与理论研究中一探究竟，怎样根据不同内容和课型设计合适的教学过程，预设深度学习契机，仍然是值得深思的问题.

可以肯定的是，深度学习活动的开展对于教学效益的提升具有正向促进作用.思维深度的提升所能带给学生的不仅是知识掌握度的提高，还有学习力的跃升.适当地开展深度学习可以促进素养提升，让教学过程更趋于有效，从而进一步提升教育教学质量.