本原性数学问题引领下的教学研究

王 毳

（宁城县高级中学，内蒙古 赤峰 024299）

当前，教师在进行数学教学时存在如下倾向：第一种倾向为教师执着于题海战术，非常认同从题海中领悟数学思想的教学方法；第二种倾向为教师盲目地设计和开展情境创设、活动探究及小组合作等教学过程，以表达对数学核心素养和新教学模式的推崇；第三种倾向为教师追求对数学知识与方法的全面讲解，表现为对数学知识与方法的简单堆积与重复［1］。

笔者认为，第一种教学倾向产生的问题是，不能很好地提高教学效率，使教师与学生的负担加重；第二种教学倾向产生的问题是，教师盲目地推崇形式上的数学教育，忽视了数学的本质，未能使学生真正习得数学学科知识；第三种教学倾向产生的问题是，简单堆积与重复数学知识与方法，使学生逐渐失去学习数学的兴趣。

如何让教师在有限的教学时间里加强师生间的互动交流，提高教学效率？如何让学生在有限的课堂学习过程中，理解数学本质，如数学思想与数学方法？如何提高师生课堂参与度，激发学生学习数学的兴趣？这正是本研究需要解决的主要问题。

一、本原性数学问题理论

本原性数学问题是指构成某数学主题的核心或基本要素。从知识层面上讲，本原性数学问题是指能揭示某数学主题的基本概念，能联系命题间的知识结构；从思维层面上讲，本原性数学问题是指蕴含在某数学定理背后的数学思想与方法，能激发学生学习数学的热情和提升认知水平的思维方法［2］。

什么是本原性数学问题的来源？一方面来源于教师的教学设计，由教师根据数学学科结构体系、思想方法及发展脉络，设计出适合所授主题的核心知识与技能的本质性数学问题；另一方面来源于学生的朴素观点，由学生根据自身的学习习惯及认知水平，提出有关所学主题的朴素想法。前者意味着教师要有较为精深的学科素养，能明晰学科知识结构、把握学科发展脉络、较为熟练地运用学科思想与方法解决问题；后者意味着教师要有较为深厚的教学素养，能较为准确地把握学生的特点，能敏锐地抓住学生提出的能够反映学科主题的朴素观点，并且合理地引导学生将朴素的观点转化为数学本原性问题。

本原性数学问题具有存在性、互动性、开放性的特征。第一，存在性。本原性数学问题揭示了数学学科构成要素及结构，是隐藏在数学学科背后的思想与方法，需要师生发现并提出。第二，互动性。本原性数学问题为教师与学生认知领域交汇的问题，需要师生、生生在教学对话、活动中产生。第三，开放性。本原性数学问题不拘泥于形式，问题形式多样，不唯一，能体现本教学主题内容思想的关键性问题即可，需要教师鼓励学生从不同角度对数学本质进行联系，从而加深对数学学科的理解。

什么是本原性数学问题产生的条件？一方面，要求教师有精深的数学学科专业素养和深厚灵活的教学素养，表现为教师能准确地把握数学学科发展脉络、思想方法及结构体系，并且能敏锐地抓住学生的朴素观点，及时进行引导，使其上升为对数学本质的理解；另一方面，要求学生有问题意识和反思能力，表现为学生能根据自身认知水平及学习习惯提出有关数学主题的朴素观念，通过师生、生生间的交流，反思建构形成个性化的知识体系［3］。

二、本原性数学问题引领下的教学

（一）从知识层面组织数学教学

从学科知识内容角度分析，本原性数学问题围绕数学学科知识的核心内容展开，以本原性问题引领教学，能使学生明确数学学科某主题内容的重点与难点，掌握学科知识技能。本原性数学问题可以引领某一节课或几节课的内容，甚至是某一阶段的全部学习内容，既能体现某学科主题的核心内容，又能起到联系其他主题的作用［4］。

【案例1】：函数的概念

函数主题学习的意义：函数是现代数学最基本的概念，是解决现实世界变量关系和规律的最基本的数学语言和工具，在解决实际问题中日益发挥着重要作用，如气象预测、股市分析及计算科学的发展等。

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》中函数主题贯穿始终，要求为：第一，理解函数概念—函数性质—函数模型—解决问题；第二，感悟运动变化、数形结合、极限思想等数学思想方法；第三，提升数学抽象、数学建模等数学核心素养。

对于函数概念的核心内容主要从变量说、对应关系说、极限说三个维度进行认识。第一个维度为变量说。函数是描述变量与变量之间依赖关系的模型，这种变量与变量之间的依赖关系为：当一个变量取一个定值，另一个变量凭借着变量之间的依赖关系有唯一确定的值与之相对应。第二个维度为对应关系说。函数是描述实数集之间的对应关系，并且将这种对应关系用抽象符号表示，这种对应关系是平面上点的集合，可以看作平面上的一个轨迹或图形。从某种意义上讲，研究函数就是研究轨迹或图形的变化、性质。第三个维度为极限说，用极限、逼近的观念去重新认识函数。函数概念贯穿初中、高中、大学阶段，具有连续性和延展性。

引领函数概念教学的本原性问题为：

“初中阶段的函数的概念是什么？”

“为何到了高中阶段要重新定义函数的概念？初中与高中的函数概念有何异同？”

“能否构建出具体的基本函数模型？”

教师要把握学科结构体系，认识研读课标和教材，真正弄清什么是学科主题的本原性问题，哪些问题可以看成相关问题和延续性问题。

（二）从思维层面组织数学教学

从学科思维方式的角度分析，本原性数学问题重视将学生的注意力由知识与技能转化为学科的思想与方法，并且能更清晰合理地对数学学科的本质进行思考［5］。

【案例二】：函数的单调性

函数的性质是变量关系所体现的运动变化过程中的规律，包括函数的单调性、函数的最值、函数的周期性、函数的奇偶性等。函数的单调性反映了函数的变化，决定了函数图像的走势。

函数的单调性所蕴含的数学思想方法有变化思想、数形结合思想、运算思想、极限思想等。函数单调性所蕴含的本原性问题如下：列表蕴含的本原性问题为数学对象分类或概念划分思想；画图蕴含的本原性问题为数形结合思想；列举蕴含的本原性问题为数学分类思想；转化蕴含的本原性问题为不变量思想与等量代换方法等。

对于函数单调性的研究分为两个阶段。第一个阶段为利用不等关系的形式化定义研究函数的单调性，这个阶段的基本要素和构成包括函数变量之间与变化方向的相互依赖关系；这种相互依赖关系是在一定范围内讨论的；通过任意两点大小变化关系来描述函数整体变化趋势。第二个阶段为利用导数研究函数单调性，这个阶段的基本要素和构成为导数的符号可以判断函数的单调性，函数图像可以画出；利用函数单调性可以判断导数的符号［6］。

引领函数单调性的本原性问题设计为：

“什么是函数单调性？能否用自己的语言进行描述和概括？”

“为什么要将函数单调性的描述转化为数学语言？”

“如何描述基本函数的性质？” 教师应该利用思维方法带动具体知识与技能的学习，引导学生深入思考不同概念、方法、问题之间的联系，做到真正地学懂、学会、学透。

结语

从理论上讲，首先，本原性数学问题引领下的教学丰富了数学教学；其次，该模式在某种程度上使学生真正实现了学会学习，让学生真正学会将数学概念、理论内化为自己的知识结构；再次，该模式也提升了教师的素养，使教师加深了对学科本质的理解；最后，该模式加深了师生间的联系与交流，真正意义上实现了平等和谐地学习。

从实践上讲，首先，该模式有助于活跃课堂氛围，加强师生、生生间的合作交流；其次，该模式有利于增强学生对数学本质的探索，增加其学习数学的信心与兴趣；再次，该模式有利于发展教师的教学机智，提升教学技能。