数学建模：让学习向深处发生——以人教版五年级上册“植树问题”为例探究数学模型构建

■福建省龙岩市长汀县教师进修学校 钟斌鼎

一、创设情境，感知模型

小学生的思维特点主要以感性思维为主，其能够理解的数学知识是建立在现实的基础之上的，是以过往知识作为基础的一种认知历程。所以，在教学片段中，将教材内容以学生熟悉的“手指指间间隔现象”呈现，再通过列举生活中存在的间隔现象，让学生初步感受到亲切、真实、有趣的数学模型，感知数学模型的存在。

二、提炼信息，抽象模型

出示练习1：一条长为20米的路，5米一段，可以分为几段？1.学生独立解题，教师了解学生的解题情况。2.学生汇报解题思路。让学生在问题解答中抽象出“包含除法”模型，即：总数÷每份数=份数。因为“植树问题”模型就是“包含除法”模型的拓展，“植树问题”中的“树”是植在“段”对应的“点”上。明白了这一点，就为学生构建点段关系的“植树问题”模型奠定了基础。

出示练习2：一条公路长为20米，在其一侧植树，树与树的间隔为5米，公路的两边均植树，请问一共需要植多少棵树？1.学生读题审题，提取有关“植树”模型的数学信息。2.学生反馈。学生1：公路长是多少米？20米（总量）。学生2：每隔多少米植一棵？5（每份数）。学生3：有几段？4（份数）。学生4：植树的要求？（两端都植）。学生5：一共要植多少棵？（算一共有几个对应点？）。数学问题与人们的生活密不可分，又充满着无穷趣味。以上的习题设计，最重要的一个目的就是使学生认识到现实中的植树问题，“树”与“间隔”可以抽象为数学模型中的“点”和“段”。

三、尝试探索，建立模型

对“练习2”作进一步分析、归纳。教师：请同学们认真思考公路的总长、间隔距离以及段数三者之间的关系，并画出相应的植树方案示意图。学生：总长÷间隔距离=间隔数（段数）。教师：说说你是怎么想的？那要求出植树的棵数该怎么算？学生：先求出间隔数，即：20÷5=4（个）。这道练习题，每一个间隔对应了一棵树，则需要4棵树。4棵树植完之后，发现还有一棵树没有间隔与之对应，则棵数比间隔多1。这样，在进行棵数计算时，需要用相应的间隔数加1。教师：那怎么列式计算呢？学生：20÷5=4（个）；4+1=5（棵）。小学生无论是知识经验还是思维水平，都相当有限，所以教师在引导学生进行建模的过程中，要引导学生充分经历并感知观察、分析、实践、推理、解决问题、发现规律的全过程。在这个教学环节，教师让学生在画示意图中了解植树的过程，建立“段”“点”对应的数学模型，让学生体会到了从生活原型转变为数学模型的过程与方法，也在此过程中掌握了问题解决的方式方法，为后续数学模型的建构打下了基础。

四、归纳分析，验证模型

出示练习3：公路全长为20米，在其一侧进行植树，每隔5米1棵树，则可以怎样植树，植多少棵树？教师：请同学们根据以上问题，画出相应的示意图，并列出算式进行计算，可以植几棵树。学生1：我植的是5棵。学生2：我植的是4棵。学生3：我植的是3棵。教师：为什么同一个题目，同学们会得出不同的结果呢？学生通过交流和讨论得出：在植树的过程中，如果植树的要求不同，则即使其他条件一样，所植棵树也是不同的。植5棵树，是因为在公路的两端都有植树；植4棵树，是因为只在公路的一端植树；植3棵树，则是因为在公路的两端均未植树。教师：请同学们分别列出三种植树方法的算式。学生：两端都植，20÷5=4，4+1=5。一端植，20÷5=4。两端都不植，20÷5=4，4-1=3。教师：同学们请仔细思考以上三种情况，看看其中蕴含了什么规律？学生：两端都植，棵数=间隔数+1。一端植，棵数=间隔数。两端均不植，棵数=间隔数-1。

著名数学家华罗庚先生认为，对于教材中所出现的数学公式、定理等，学生仅记住结论是远远不够的，更重要的是要明确其从何而来，知其然并知其所以然。所以，教师让学生在模型构建的过程中发现植树的三种情况，并且掌握这三种植树方法的计算道理，从中抽象出相应的数学模型。出示例题：一条山间小路长为100米，现决定在靠近山的一侧植树，每棵树的间隔距离为5米，路的两端都需要植，需要多少棵树？教师：根据刚才已经掌握的三种植树的极端方法，我们能快速地解决这道题吗？学生：先求出间隔数，100÷5=20，有20个间隔；两端都植，棵数=间隔数+1。列式计算：100÷5=20（个），20+1=21（棵）。

课堂教学中，为保证学生良好的学习效果，教师要注重课堂教学的“留白”，给予学生充足的思考时间，并引导他们利用已经掌握的知识去解决新的问题，寻找科学的解题办法，使学生明白“植树问题”就是一个数学模型，其本质就是一一对应。

五、拓展创新，应用模型

出示练习4：一圆形花坛周长为30米，现要在花坛周围种一圈月季，为控制好月季的密度，每5米种一棵，一共需要多少棵月季？教师：想一想，这又是属于哪一种植树方式？学生：假如把环形植树的线路拉直，这一种植树方式就是属于一端植的现象，所以，植树的棵数=间隔数，即：30÷5=6（棵）。出示练习5：为迎接国庆节的到来，古城墙的正面共插了50面小彩旗，彩旗之间的间隔均为4米，则古城墙长度为多少？教师：以小组为单位，讨论以上问题的解决思路、方法与步骤。学生1：即已知棵树与间距，求总长。学生2：两端都植的计算方法是“棵数=间隔数+1”，由“棵数=间隔数+1”推算出“间隔数=棵数-1”，所以，古城墙插彩旗间的间隔数是“50-1=49个”。学生3：总长=间隔数×间隔距离。列式计算：（50-1）×4=196（米）。

数学知识来源于生活，最终也将运用于生活，数学建模思想的宗旨也是要最终回归到生活之中，引导学生解决生活中遇到的实际问题。从而实现从解决一个问题到解决一类问题（一般问题）的转变，认识到在数学学习中构建数学模型的重要性。

六、结语

综上，小学生对于数学建模仍处于探索阶段，教师要善于挖掘学生的建模潜能，关注学生的建模过程，并在关键问题上及时给予学生点拨与帮助，创设真实有效的建模情境，引导学生经历并感受建模的过程，促进学生的数学学习向深处发展。