KKM相关定理的证明

杨春艳

(四川大学锦江学院数学教学部 四川彭山 620860）

一、引言

KKM理论，起源于KKM映射的研究及其应用，发展至今，从Fan把著名的KKM定理从有限维空间推广到无限维空间，有很多学者对KKM定理又进行了很多形式的推广，已形成一研究各种形式的KKM原理及应用的完整理论。比如，Horvath引入H-空间的概念，Park在凸空间中证明了一类KKM定理等，在此基础上得到了一些广义的KKM定理，如具有KKM性质的KKM（X，Y）映射簇。

在不动点理论、极大极小不等式、鞍点定理、变分不等式和相补问题及非线性分析方面，如运筹、优化与控制、对策论、数学规划等，KKM定理有十分广泛的应用，包括相关定理的证明，都用到了KKM定理。所以，KKM理论已成为当今应用研究和非线性分析的关键理论，交叉性很强，特别是在处理数学中非线性问题的求解问题方面，更需要理清该定理及相关引理的推导。因此，本文给出了这个定理的相关定义和引理的证明。

本文给出了KKM映象定义、KKM、FKKM的定理，借用半连续和单调性，对其相关引理进行了严谨的证明，对KKM定理的认识和推广有很重要的意义。

二、相关的定义和定理

定义1[1]：KKM映象——设X为向量空间Rn的一个非空子集，则称该集值映象G∶X—2Rn（即Rn为2的次数）KKM映象。如果对每一个｛x0，……，xn｝属于X的一切非空有限子集，有Co（｛x0，……，xn｝）包含于∪G（xi）（其中i=0，1…n）。

定理1[2]：KKM定理——设△n是Rn+1中具有顶点{e0，……，en}的n维标准单纯形，且M0，……，Mn为Rn+1中的n＋1个闭子集，使得对任意｛ei0，……，eik｝包含于∪Mij（i=0，……，n且j=0，……，k），则有∩Mi≠空集。

定理2[3]：FKKM定理——设Rn是Hausdorff拓扑线性空间，X为Rn中的非空子集，设G：X→2Rn为KKM映象，且每一个G（x）是弱紧的，则G（x）交集不为空集（x∈X）。

定义2[4]：半连续——设X为Banach空间，X*为其对偶空间，设T∶X—X*，若对每一个y∈X和一切tn≥0，x0+tny∈X。当tn→0时，x0+tny→x0；有T（x0+tny）弱收敛于T（x0），则称x0点处T是半连续的。若在X的每一点都是半连续的则称T在X上是半连续的。

定义3：单调性——设X为Banach空间，X*为其对偶空间，称T∶X→2X*是单调的，若＜u-v，x-y＞ ≥0且任意的x，y∈X，u∈T（x），v∈T（y）。

三、重要结果及其证明

定理1：设M为Hilbert空间的有界闭凸子集，且令L∶M→H为单调半连续映象，若x0属于M，满足：

＜L（x0），y-x0＞ ≥0，任意的y∈M，当且仅当：

＜L（y），y-x0＞ ≥0，任意的y∈M。

证明：设x0属于M，满足＜L（x0），x0-y＞ ≤0，任意的y∈M，由L的单调性有＜L（y）-L（x0），y-x0＞ ≥0，即＜L（y），y-x0＞ - ＜L（x0），y-x0＞ ≥0，任意的y∈M，则有：

＜L（y），y-x0＞ ≥ ＜L（x0），y-x0＞ ≥0，任意的y∈M.

另一方面，x0属于M，＜L（y），y-x0＞ ≥0成立，任意的y∈M。

若令y=h（u）+（1-h）x0=x0+h（u-x0），任意的h属于（0，1]，任意的u∈M，又由M为凸集，则y∈M，从而有：

＜L（y），y-x0＞ = ＜L（x0+h（u-x0）），h（u-x0）＞ ≥0（h＞0），

此时，令h→0，则x0+h（u-x0）→x0，由L为半连续的，可推知：

＜L（x0），（u-x0）＞ ≥0，任意的u∈M，证毕。

定理2：设M为Hilbert空间H的有界闭凸子集，L∶M→H，而P：M→2M

且P（y）={x∈M，＜L（x），x－y＞ ≤0}，任意的y∈M.则映射P为一KKM映象。

证明：设P不是KKM映象，由KKM映象的定义可知，存在｛x0，……，xn｝＝W，W∈M，令x－＝∑hixi∈Co（W），（∑hi＝1，hi≥0）。使得x－不属于∪p（xi）（i＝0，……，n），即＜L（x－），x－－y＞ ＞0。由y的任意性可令y＝xi，即＜L（x－），x－－xi＞ ＞0，并推出＜L（x－），hi（x－－xi）＞ ＞0（存在hi＞0），从而有：

＜L（x－），∑hi（x－－xi）＞ ＝ ＜L（x－），∑hix－－∑hixi＞ ＝0

这与＜L（x－），x－－y＞ ＞0矛盾，任意y∈M。所以P为一KKM映象。

证毕。