运用数学史玩转单位分数

栗小妮 贾彬

【摘 要】单位分数是一个古老而有趣的问题，“将一个分数拆为几个不同的单位分数之和”是沪教版数学教科书六年级第二章“分数”探究活动（二）的内容。为了让学生体验数学探究的乐趣，研究者从HPM的视角进行探究式教学设计，利用《莱茵德纸草书》中“把7个面包分给10个人”的问题，引入单位分数的学习，让学生体会单位分数在实际生活中的价值;通过小组合作探究分解的方法，让学生感受单位分数的魅力;通过解读2n分解表和介绍“太阳神眼睛”，给学生提供了课外继续探究和学习的机会。

【关键词】HPM;单位分数;探究性学习

【作者简介】栗小妮，教育学博士，上海市长宁区教育学院教研员; 贾彬，高级教师，上海民办建平远翔学校党支部书记。

【基金项目】上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地项目“数学课程与教学中如何落实立德树人研究”（A8）

单位分数是一个古老而有趣的问题，“将一个分数拆为几个不同的单位分数之和”是沪教版数学教科书六年级第二章“分数”探究活动（二）的内容。教科书首先从图片“太阳神眼睛”引入，展示了将12、13、23、35拆成几个单位分数之和的过程;然后通过展示将1拆成几个单位分数之和的不同拆分方法，说明将一个分数拆成几个单位分数之和的拆分方法不唯一;最后，教师让学生将34、27、716、527拆分为几个单位分数之和，体验数学探究之乐。

尽管将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和是一个很有意义的问题，但用单位分数进行计算却会使得计算变得非常复杂。既然如此，为何古埃及人对单位分数还如此情有独钟呢？基于此，笔者从HPM的视角进行教学设计，让学生感受单位分数的魅力，体会古埃及人使用单位分数的原因，体验数学探究的乐趣。

一、历史素材及解读

古埃及人发明了一种书写分数的方法，这些分数的分子均为1，它们被称为单位分数（23例外）。古埃及人将所有真分数都表示为一些单位分数的和，并且只利用单位分数进行书写与计算，对于分子不是1的分数，古埃及人习惯将它们转化为分子是1的分数再进行计算。

单位分数的广泛使用是古埃及数学的一个重要而有趣的特色。《莱茵德纸草书》上就记载了一张将形如2k（k为从5到101的奇数）的分数分解为单位分数之和的表。其中25分解为13+115，211分解为16+166，…，最后一项是将2101分解为1101+1202+1303+1606。有很多学者提出了不同的方法来解释这个表的来源，但至今这个表还有很多谜团尚未解开[1]。

古埃及人为什么对单位分数情有独钟，据数学史家推测，其直接原因可能是分配问题，因为利用单位分数解决分配问题具有简单的操作意义，如《莱茵德纸草书》中的问题3“如何给10个人分配6个面包”。答案是每个人分得面包的12+110，这个答案比我们现在的答案35要烦琐些，但在实际的分配中会更容易，即只要将其中的5个面包对半分，再把第6个面包分成10份，则每人平均分半份外加十分之一份，很容易看出，每个人所分得的一样多[2]。古埃及人这种单位分数的分法和用法在地中海区域延续了两千多年。

数学史的运用方式主要有复制式、顺应式、附加式以及重构式[3]，基于以上历史素材分析，笔者进行了HPM视角下的单位分数教学设计。首先，顺应式运用《莱茵德纸草书》中的分面包问题引入本节课，让学生体会单位分数在实际操作解决分配问题中的价值。其次，依据探究式教学的四阶段模式：准备与聚焦、探索与发现、综合与交流以及评估与延伸[4]来设计探究活动，让学生自主思考，总结归纳拆分的方法。再次，顺应式运用“2k”分解表设计例题，让学生利用总结的拆分方法进行单位分数的拆分练习，再與历史上的拆分结果进行对照，让历史再现于课堂。最后，介绍教科书上的“太阳神眼睛”，并留下悬念，供学生课后继续思考、探究。

二、教学设计与实施

（一）借用史料，引入新课

师：在《莱茵德纸草书》中，古埃及人使用的分数，除了23，所有分数都用单位分数及其和表示，因此，单位分数又称为埃及分数。下面来看个例子。

（教师PPT展示：把7个面包分给10个人，问：每人分得多少？[5]）

生：710。

师：这在实际生活中是怎么分的呢？

生：将一个面包平均分成10片，7个面包一共分成70片，一个人分得其中的7片，这7片占一个面包的710。

师：是的，这是我们生活中常用的分割方法，那么古埃及人是如何分的呢？他们先将一个面包三等分，7个面包被等分成21份，然后将这21份平均分给10个人，该怎么分呢？

生：每个人2份，还剩1份。

师：剩下的这1份，又怎么分呢？

生：切成10片，每人1片。

师：这一片面包占剩下的这份面包的几分之几？

生：110。

师：这一片面包占整个面包的几分之几？

生：130。

师：请同学解释一下。

生：首先将这个面包分成了3份，一份是整个面包的13，然后将其中的一份，也就是13再分成10片，那这片面包就占整个面包的130。

师：在这个分法中，一个人分得的面包占整个面包的几分之几？

生：之前每人分得整个面包的23，后来又分得整个面包的130，一共分得整个面包的23+130。

师：验证一下23+130与710的大小关系。

生：相等。

师：确实是相等的，那么古埃及人的分法有什么优势呢？

（课堂内出现短暂的沉默。）

师：我们从另一个角度细算一下，按我们现在的分法，一个面包分成10片需要切多少刀，7个面包都分成10片，共需要切多少刀？

生：一个面包分成10片需要切9刀，7个面包一共需要切63刀。

师：古埃及人的分法共需要切多少刀呢？

生：一个面包分成3份需要切2刀，7个面包一共需要切14刀，最后一份分成10片需要切9刀，总共切了14+9=23刀。

师：如果从工作量上来讲，古埃及人的分法确实有其高明之处，他们为何对单位分数如此喜欢，下面让我们一起来研究单位分数。

（二）小组合作，探究拆法

教师让学生阅读课本中的相关内容，观察课本中各式拆分的过程和结果，并以小组的形式说一说等号后面式子的由来，找出拆分的方法，再进行小组汇报。

课本中的例子如下：

12=36=1+26=16+26=16+13;

13=412=1+312=112+312=112+14;

23=46=1+36=16+36=16+12;

35=2440=4+2040=440+2040=110+12;

35=915=1+3+515=115+315+515=115+15+13。

师：有的小组已经找到方法，有的小组还存在困惑，还有的小组在寻找方法的过程中又产生了新的疑问。请找到方法的小组说一说你们的方法，不过说方法之前，请说一说我们想要找到什么方法。

生1：找到把一个分数化成单位分数相加的形式。

师：相加的结果我们称之为什么？

生1：和。

师：若拆成的单位分数都是一样的，还好玩吗？

生1：不好玩，要把一个分数拆成不同的单位分数之和的形式。

（教师板书：把分数拆分成不同的单位分数之和的方法。）

师：现在研究目标明确了，那么拆分的方法是怎样的呢？

生1：把一个要拆分的分数扩大若干倍。

师：用什么方法扩大若干倍？

生1：分子、分母同时乘以相同的数，然后再把它化为可以变成单位分数的分数。

（教师板书：①分子、分母同时乘以相同的数）

师：把它化为可以变成单位分数的分数，有什么方法吗？

生2：要将分子拆成和分母有因数关系的。

师：也就是拆的每一个数字都是分母的因数，为什么要拆成分母的因数呢？

生2：因为这样子就可以约分，约分后分子就直接约成1。

（教师板书：②将分子拆成几个分母因数的和的形式）

师：再接着呢？

生2：将它们分开，然后再约分。

（教师板书：③约分）

师：以上步骤请大家仔细看一下，有没有不同的意见？

生3：在第②步中要加一个条件——“不同”，就是将分子拆成几个不同分母因数的和的形式。

生4：在第①步中，分子、分母同时乘以相同的数，而且是不为0的数。

师：不为0的数有哪些？小数行不行？

生5：要是正整数。

生6：这个正整数不能是1，也就是除1之外的正整数。

[教师板书：①分子、分母同时乘以相同的正整数（除1之外）]

师：刚才同学们讨论时，有的小组存在疑问，请说一说你们的疑问。

生7：在式子12=36=1+26=16+26=16+13中，可不可以不同时乘以3，同时乘以4或者乘以5也可以吗？

师：确实如此，比如35，课本上给出了两种拆分的方式。在35的第一种拆分中，分子、分母同时乘以8，然后再进行拆分;在第二种拆分中，分子、分母同时乘以3，然后再进行拆分。如果按照正整数的大小，将分子、分母同时乘以2，可以吗？我们不妨来试试看。

（教师板书：35=610=1+510=110+12）

师：你们觉得这种方法简洁还是课本上的方法简洁？

生：这种方法简洁。

师：可见，有序进行尝试，有时可以让我们的研究变得便捷。但有时没有有序进行，遇到困难又该怎么办呢？比如23，一开始没有从2开始尝试，而是直接同时乘以5，那该怎么办呢？

（教师板书：23=1015=1+3+5+115=115+15+13+115）

师：对于新产生的不符合要求的115，该如何尝试拆分？

生：115=460=1+360=160+120。

（教师板书：23=115+15+13+460=115+15+13+1+360=115+15+13+160+120）

师：我们再来回顾一下拆分的方法，拆分的时候，可以先有序进行;如果没有有序进行，在拆分过程中产生新的不符合要求的分数，就要继续用以上的方法再次拆分，直到符合要求为止。

（三）运用方法，小试牛刀

例 将下列分数拆分成几个不同的单位分数之和。

（1）25 （2）27 （3）29 （4）211

小组内分工，每人选择一个分数完成，完成后互相交换检查拆分的过程和结果是否正确。学生展示如下。

生1：25=615=115+515=115+13。

生2：27=828=1+728=128+14。

生3：29=418=1+318=118+16。

生4：211=1266=1+1166=166+16。

生5：211=633=1+2+333=133+111+233=133+111+466=133+111+1+366=133+111+166+122。

（四）穿越时空，古今对话

师：观察上述例题中4个分数，它们有何特点？

生：分子都是2，分母都是奇數。

师：是的，在《莱茵德纸草书》的第一页就针对形如2n的分数给出了分解表，n是从5到101的奇数。

教师向学生展示了2n的分解表，并将分解表中的结果与学生拆分的结果进行对比，发现拆分结果一致。随后，教师对分解表进行了解读。学生用两种方法对211进行了拆分，对于这种情况，古埃及人约定，如果一个展式的加数最少，那么它就是“最优展式”，如果除了加数最少，展式中的最大分母值也最小，那就更好了。

（五）回归课本，认识“神眼”

教科书中的“太阳神眼睛”，也称作荷鲁斯之眼（如图1）。教师让学生观察“太阳神眼睛”中的单位分数之和与1的关系，并留下悬念，让学生课后查阅相关资料了解。

图1

师：古埃及人认为， 12+14+18+116+132+164与1相等，你觉得对吗？

生：不对。

师：既然不对，那么它们相差了多少呢？

生：相差了164。

师：确实是相差了164。对单位分数如此情有独钟的古埃及人难道真的不知道12+14+18+116+132+164与1是不相等的吗？我相信他们是知道的，那么古埃及人用这样的方式来表示“太阳神眼睛”，是不是有其他的情感因素存在呢？同学们课后可以去查阅相关资料了解一下。

三、学生反馈

课后，教师对40名学生进行问卷调查。28名学生能够基本描述出将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和的方法;35名学生能够回答出古埃及人使用单位分数的意义是更易于实际操作，并进行公平分配;16名学生对古埃及分割面包的问题印象深刻，认为古埃及人很聪明，善于将数学用于实际生活中，钦佩他们的智慧;12名学生对小组合作探究将给定分数进行拆分的过程印象深刻，认为这个过程很“烧脑”，但是很有趣。另外，还有10名学生对“太阳神眼睛”和2n分解表印象深刻，这引起了学生强烈的好奇心，好奇于“大阳神眼睛”背后的故事，疑惑于古埃及人如何制作出这张表;27名学生认为历史上有很多数学家研究2n分解表，是为了探寻奥秘，寻找古埃及人拆分分数的一般方法，探究更好的分解方法。

四、教学反思

古埃及人发明了单位分数，对于分数的计算他们喜欢化为单位分数进行计算，但这样的计算方式在今天看来较为烦琐。既然如此，古埃及人为何还要执着地对其进行运用？我们为何要学习并研究单位分数呢？我们通过数学史料中的名题——分割面包，让学生从分割刀数多少的角度领会古埃及人使用单位分数的价值，激发学生的学习动机，引发学生探究的欲望，体现了知识之谐。

在小组合作探究教科书例题的分数拆分过程、寻找拆分方法的环节中，教师利用探究式教学四阶段模式设计教学活动，充分调动学生学习的积极性，让学生在“玩”的过程中，体会单位分数的魅力。准备与聚焦阶段，学生通过阅读教科书中的单位分数拆分，初步了解单位分数拆分的过程;探索与发现阶段，学生通过小组交流，尝试初步总结拆分的方法;综合与交流阶段，在教师设问“通过探究，我们想要找到什么的方法？”的引导下，小组分享自己发现的拆分方法，总结出将一个分数拆分成几个不同单位分数之和的方法;评估与延伸阶段，师生一起通过对比35的不同拆分方法，发现拆分方法中的第一步可以乘以任意不为0的整数，再通过多次拆分来达成目的。在师生的一问一答以及教师的不断追问下，学生的思维不断被激活，体会了探究之乐。

教师展示《莱茵德纸草书》中古埃及人对形如2/n的分解表时，学生的分解结果与表中所呈现的一致，让学生体会到了古埃及人的智慧，感受古埃及人令人钦佩的数学研究精神以及数字的魅力。教师对分解表的解读，激发了学生的好奇心和进一步探究的欲望，达成了德育之效。

参考文献：

[1]郎琴.古埃及单位分数表的古证复原[D].临汾：山西师范大学，2013.

[2]卡兹. 数学史通论[M]. 李文林，王丽霞，译.北京：高等教育出版社，2008.

[3]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.

[4]王鑫，汪晓勤，岳增成.基于数学史的数学探究活动设计课例分析[J].中学数学月刊，2018（10）：54-58.

[5] 沈康身.历史数学名题赏析[M].上海：上海教育出版社，2010.

（責任编辑：陆顺演）