含参量瑕积分的相关性质

李彩霞

[摘           要]  含参量瑕积分作为一种积分函数，在数学分析中起着非常重要的作用，我们曾接触过含参量正常积分，也充分了解了它的一些相关性质并能解决一些问题.而含参量瑕积分的应用也是很广泛的，故将给出含参量瑕积分的相关性质。其中包括含参量瑕积分一致收敛性的判定和含参量瑕积分的分析性质.从含参量无穷限积分的一致收敛的判定定理和分析性质的研究方向和证明方法出发，分别给出含参量瑕积分一致收敛性的判定定

理及其证明和分析性质的证明过程.

[关    键   詞]  含参量瑕积分;一致收敛性;分析性质

[中图分类号]  O174                 [文献标志码]  A              [文章编号]  2096-0603（2020）10-0194-02

一、预备知识

定义1：设函数f（x，y）在区域D=[a，b]×[c，d）上有定义.对于任意的x∈[a，b]，y=d都是函数f（x，y）的瑕点，则称x，y）dy是含参变量x的瑕积分。

定义2：对任意ε>0，总存在0<δ

定义3：设x∈[a，b]，y=d都是f（x，y）的瑕点，若存在ε>0，对于任意的η>0，存在η使0<η<ε，当x∈[a，b]，（x，y）dy≥ε，则称y）dy在[a，b]上非一致收敛.

二、含参量瑕积分的一致收敛性判定定理

（一）一致收敛柯西准则

含参量瑕积分在[a，b]上一致收敛的充要条件是：对任意给定的正数ε，存在不依懒于x的δ>0，使得当0<η'<η<δ时，对一切x∈[a，b]，都有：[必要性]：若含参量瑕积分义可知：对任意的正数ε，总存在某正数δ

（二）魏尔斯特拉斯M判别法

由含参量瑕积分一致收敛柯西准则即可得证.

（三）Heine归结原则

（四）狄利克雷判别法

（2）对任意的x∈[a，b]，函数g（x，y）为关于y的单调函数，且对参量x，函数g（x，y）在[a，b]上一致有界。则含参量瑕积（x，y）g（x，y）dy在[a，b]上一致收敛。

证明：由条件可知存在M>0，对任意x∈[a，b]，有g（x，y）≤M又由2.4证明方法得证。

三、含参量瑕积分的分析性质

（一）定理1：连续性

证明：由已知f（x，y）连续及I（dy在[a，b]上收敛可得，对任意的x，x）dyx和I（x+Δx）.且Δx→0时，

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社，2009：179-189.

[2]姬春秋，张国铭.含参量积分的一条定理及其应用[J].大学数学，2009（5）：25.

[3]欧阳光中，姚允龙，周渊.数学分析[M].上海：复旦大学出版社，2003.

[4]方企勤.数学分析（下册）[M].3版.上海：上海科学技术出版社，2014.

[5]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].4版.北京：高等教育出版社，2004.

◎编辑 陈鲜艳