MPCK视角下线性回归方程的意义理解

朱晓语

【摘要】舒尔曼提出的学科教学知识的两个主要成分是教师对学科知识的表征以及对学生特定的学习困难的理解.其实，在现实教学中两者应该是互相交织在一起的，数学教师有越多的对数学学科知识深入透彻的理解，才能拥有更多的对数学知识的表征方式，这样才能更好地了解学生在这部分知识的学习中存在的困难，从而促进数学教学.本文以人教A版高中数学必修3中“线性回归方程”内容为例，探讨在线性回归方程的教学中，教师应该具备怎样的数学学科知识才能让学生更好地理解线性回归方程.

【关键词】线性回归方程;MPCK;数学教学;理论

1 引言

教师的MPCK是数学教育研究的热点问题.发展数学教师的MPCK不仅是数学教育工作者的普遍诉求，也是社会各界对数学教育行业的殷切期望.

2 MPCK视角下的分析

笔者在2016年10月至2017年2月期间，对武汉市部分高中的教师和学生进行了深入调研.调研发现：对于高中数学教材来说，线性回归方程的公式和相关系数r只有最后简明扼要的结果.因此，笔者认为首先要解决的问题就是数学教师对数学学科知识的理解，也就是数学教师的MK.下面以数学教师应该对这部分内容有怎样的理解为目的，从一个特例出发，对线性回归方程的公式推导和相关意义的理解进行阐述.

2.1 用最小二乘法理解系数a，b的意义

值得注意的是，教材中引入线性回归方程的内容时总会提到最小二乘法，最小二乘法（简称GLS，又称最小平方法，在古汉语中“平方”称为“二乘”）是一种数据处理优化的方法，但是在实际的教学中学生可能很难理解最小二乘法的意义.笔者认为，最小二乘法就是两次配方，下面的推导就能体现这种容易理解的说法.

问题：设x与y是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值为：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn）.如何求线性回归方程呢？

设所求的线性回归方程为y^i=bxi+a（i=1，2，3，…，n），显然，上面的各个偏差的符号有正有负，如果将它们相加会相互抵消一部分，那么它们的和就不能代表n个点与回归直线整体上的接近程度，因而采用n个偏差的平方和Q来表示n个点与相应回归直线在整体上的接近程度，即∑n[]i=1（yi-y^i）2=（y1-bx1-a）2+（y2-bx2-a）2+…+（yn-bxn-a）2，求出当Q取最小值时的a，b的值，就求出了线性回归方程.

但是能够直接求解吗？应该怎么求呢？不妨先从简单情况入手获取求解线性回归方程的思路.

【特例】设x与y是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测点的坐标分别是（1，1），（2，2），（3，4），试求线性回归方程.

分析：根据线性回归方程的概念可知，所得的线性回归直线应该使得各个点到这条直线的纵向距离之和最小，现在令Q为各个点到所求直线的距离平方之和.

2.1.2 线性回归方程公式的推导

3 结语

高中数学教师应该掌握适当的高等数学的知识，在初等数学和高等数学之间建立联系，将复杂烦琐的初等数学知识转化成推导容易的高等數学知识，这样可以使自己对学科内容的理解更加深入，从而保证数学教学的严谨性.高中数学教师在高等数学观点下审视和研究自己在教学实践中遇到的疑难问题，能够激发自己的教学热情，勇于探索，不断进步，对教师的专业发展无疑是十分有利的.

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