浅析不等式恒成立问题的解题思路

李萌

【摘要】“不等式恒成立或有解，求参数的取值范围问题”是导数应用的一个重要分支，对学生而言虽有一定的难度，却也归属于学生最近发展区内的考点.本文通过实例探究了不等式恒成立问题的多种解题思路，同时也从高考的命题方向洞察了新高考对学生能力层次的要求.

【关键词】恒成立;构造函数;参变量分离

对于恒成立問题，我们可以尝试以下几个解题方向：首先要观察函数解析式的特征， 解析式的结构具有决定性作用，看能否利用特殊点寻求已知条件成立的必要条件;然后证明条件的充分性，这些特殊点可以是区间的端点、极值点、最值点、零点及其他特殊点等.当然这种特殊点效应也有一定的风险，需要结合函数的性质综合判断，常用的是考虑参变量分离，将问题转化为最值或极值问题，有时候可能需要借助洛必达法则逼近最值;若参变量分离有困难，或者参变量分离的时候还要对变量分类讨论，也可以选择构造函数，利用函数的图像和性质采用分类讨论或同构的思想解决问题.对于特别复杂的函数，我们还需要对解析式进行深度分析，采用适当的变形处理.下面先看一个简单的例子.

问题4属于双参数问题，参变量分离不可行，此时可以考虑消参构造函数，这里消参的方式很多，对于利用切线的意义解决双变量求最值也是一个值得讨论的问题，这里就不再展开论述了.

【参考文献】

[1]谢新华.例析处理恒成立与有解问题的若干策略[J].中学数学研究，2020（05）：51-52.

[2]黄锦龙.树立五种意识 破解恒成立问题[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019（11）：38-40.

[3]王海刚.数学小丸子的导数题典[M].杭州：浙江大学出版社，2018.