“思考”·“运算”·“积累”·“预习”

闫智新

【摘要】在核心素养的发展视角下，在高考指挥棒的指导下，“走遍天下都不怕”的“数理化”之一的数学走到高中这一步，可谓是“爬山涉水”极不容易，又可谓“千难万险”仅此一步.如果说初中的数学可以用形象、通俗的语言进行描述、表达的话，那么高中数学从第一课便让学生“措手不及”，抽象的集合符号、逻辑运算以及图形语言等，从初中统一的思维模式和常见的思维套路，到高中的灵活多样，一题多解，一下子变得“高深莫测”“面目全非”， 让学生的思维“无所适从”.需要教师调整应对策略，激发学生的数学学习兴趣，提高数学课堂效率.

【关键词】思考;运算;积累;分析;评价;总结

有人说：数学是学生学习中的“拦路虎”.此言没错，不知道有多少学子信心十足地往前冲刺，却被这只“老虎”挡道而徘徊不前.对此其实我们也深有体会，学生学习数学所花费的时间和精力就是比其他学科多一点，而有时候结果却并不见得好.数学学习，从小学到初中再到高中，在知识内容上不仅是“质”的深奥，更是“量”的剧增，数学语言的抽象程度加深，数学思维更是要求甚高，与初中更是迥然不同.如果还用初中的学习方法和思维方式显然行不通，就需要调整思路，改变方法，重新开始.数学的特点就是以“算”为基础，高中数学更是用“题山题海”来形象比喻一点不过分，练不好这项基本功，提高数学成绩也只是“镜中花”“水中月”.在此过程中，还不能缺少经验方法的积累、课前的预习以及审题的习惯，凡此种种，皆为高中数学课堂是否有效的基本要素.

一、以“思”为主，导出奇思妙想

正是因为高中数学知识较初中数学的提升和“深入”，使得数学语言表达更为抽象，思维更加严谨，逻辑更加严密，随之而来的就是知识的连贯性和系统性也在增强.学生在初中三年的数学学习过程中，已经养成了一定的学习习惯和固定的思维模式，对于高中数学课程内容的加深，感到有点“突兀”，一时半会儿可能不会适应，这就要求学生积极转变观念和思维模式，调整学习方法，才能适应不断“升级”的高中数学学习.因此，就不能墨守初中时的“陈规”，必须“与数俱进”，才能有所创新，有所突破，才会在高中数学学习中学得轻松，学得游刃有余，学出自己的“特色”来.如果说课堂是数学学习的“主阵地”，那么思考就是阵地的核心，这个“思”，既包括学习过程中的善于思考，也包括解题之后的勤于反思，学前思考激发学生的探究意识，学后反思提升学生分析问题的能力，二者有效结合，则是数学学习的最佳动力.

比如，在高中数学选修2-3中“计数原理”这一章内容的教学中，例题1是学生比较感兴趣的高考志愿专业填报方面的，通过引导学生根据“分类加法计数原理”推算出可能填报的专业选项.当结果出来之后，有个一直在那儿埋头做题的学生A举手质疑：最近我们班要进行演讲比赛，需要男、女生各一名，那么有多少种不同的选法呢？（这是下一课的新授内容）学生B则提议课后自学，第二天再交流探讨.最后的结果是第二天上课的时候这两名学生就自己的解题过程进行了分析，思路清晰，过程完整，解法新颖.

古人云：“学而不思则罔，思而不学则殆.”[1]要想学好数学，需要科学的思维方法和独立思考的习惯，这是学习数学的“根本大法”.如果没有A同学的主动质疑，我们的学习也就只能在接下去的练习中不断巩固，毫无新意;如果没有B同学的提议，课堂学习或许会出现“冷场”的尴尬局面.如果教师不当堂解答，则不能满足学生的学习需求;如果“问即开讲”，则会打乱课堂授课秩序，使得还没有从新知识的理解和应用中走出来的学生又进入另一个“迷宮”.听，如云山雾水，不听，担心留有遗憾，只有在课后自己先自学，然后在课堂上集体讨论，才是最好的解决方案.课前的善于思考，会激发学生的探究意识，课中的质疑，则是学生思维变式的开启，至于课后的反思，则是对学习的反思和深入.正是这些看似“不合时宜”的质疑和思考，才会导出一些奇思妙想，才会让数学课堂更加有效.

二、以“算”为本，练就扎实功底

如果说“思”在数学学习中处于核心地位的话，那么计算则是其“核心技术”，是首要因素，是基本功，是不可或缺的过程.运算是数学的基础，无可非议，从小学阶段的数字间的加、减、乘、除，到初中的用字母代替这些数字的符号运算，再到高中的三角函数、排列组合、微积分以及圆锥曲线与方程，都对学生的学习提出了更高的要求，需要他们的计算能力从一个高度向另一个高度不断提升.一道数学题，能够想出清晰的解题思路固然值得为其点赞，但是这离能否得满分还差十万八千里.这不是小题大做，也不是危言耸听，而是真实的存在.因为高中数学题，不仅计算过程繁多复杂，知识应用面较广，而且分值较高，一般都在十到二十分，稍不留意，一个正负号或者小数点的失误就会让整道题满盘皆输，还谈什么满分.因此，高中数学的学习，计算能力这项基本功不但不能忽视和放松，反而更要巩固和加强

比如，在“微积分基本定理”的学习中，两个重要的概念—导数和定积分，在计算定积分时，就需要学生运用基本的初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从相反的方向上来计算.其实这是最基本的计算题，只要耐心、细心、推理、演算，每道练习题都能做对.只是在检查时我发现有一个思维较活跃、数学学习较好的一名学生却做了三道错了两道，分析原因：每道题中都会少一个符号或者丢一个数字，导致整道题全部错误.该学生得知“真相”，也是后悔不已.

古人云：“千里之堤，溃于蚁穴.”[2]我们也知道“一颗小小的马掌钉输了一场战争”的故事，这都是说由于一件小事的失误而影响了整个全局.但是高中数学学习中的运算，不但不是“蚁穴”和“马掌钉”，而是关系到全局的“长堤”和“大决战”，长堤溃塌，马失前蹄，就会导致“全军覆没”.姑且先不说平时课堂上的三、四道练习题中的一个符号的失误，也先不论平时月考中由于粗心而丢掉的那一两分，如果是高考试卷上的一个小数点或者数字，那么对于这些考生来说，就不仅仅是轻度的后悔不已，哪怕是严重的“捶胸顿足”亦是无济于事，于事无补.因此，高中数学学习，就是对学生运算能力的考验，而运算能力的提升其实也没有什么“高招”和“秘诀”，就是要靠学生的耐心、细心和大量的练习，同时要通过思考、运算、验算将得数算出来.长期坚持这种勤于思考又精于细心计算的习惯，就会在最后的高考决战中获得完胜.

三、以“少”积多，积累方法经验

从前面的论述中我们得知，高中数学最大的特点就是知识的连贯性和系统性较强，而且比较抽象，内容大多都是用字母和符号表示和表达的.如果是语文学科，少听一两节课或者落下几课内容，都没有关系，学生完全可以通过自学或者其他方法补上.只是数学学科就不一样了，它不仅需要灵活的思维能力和良好的运算习惯，更需要学生坚持不懈地记忆和反复地运算、验算，方能将抽象而又深奥的数学定理或概念内化为自己的能力所有，最后形成一种对知识的“直觉意识”.当然，说到数学题的练习，那可不是做三五十道或七八十道就能做完的，用“题山题海”来形容一点也不夸张，同时数学知识点也是连贯系统，互有渗透，互有联系的，所以，在做题上就要既突出重点内容，又要兼顾各类知识，融会贯通，通过几道典型的习题，就可以起到举一反三的作用.同时还要多做，反复做，积累课堂上教师讲过的典型例题，长期积累，自然也就熟能生巧，触类旁通了.这样，既可以减轻学生的学习负担，又起到练习的作用，达到学习的目的.

例如，高中数学题中，圆锥曲线和有关函数的题型较多，而且圆锥曲线的计算量比较大，不过好的一点是题型变化不大，有固定的做题套路，主要就是联立、设点或直线方程以及利用韦达定理进行转化.了解了其重点，就可以引导学生把有不同解题方法的练习题总结在一起，到考试前多回看复习，反复练习，基础类计算题一般是不会失分的.至于送分题，也就是压轴题目—函数的计算，虽然灵活，也会有难度，但这都是平时经常练习的，失分概率也不会太大.

因此，对于高中数学的学习，学生一定要认真上好每一节课，学会快速记录简明的课堂笔记，下课后进行详细的整理.其实整理笔记的过程，就是一种复习和巩固的过程，高中数学不同于初中数学，考前可以突击提高，它的灵活多变绝对不能靠死记硬背，需要学生在课堂上认真倾听，跟上老师的讲题思路，然后进行自我内化，理解其解题方法的基本要领，并能创新出新的解题方法.其次，学生还要有独立思考的习惯和持之以恒的毅力，这样才能在做题的过程中不断地思考，不断地总结经验，从而提高做题效率.再者，在大量做题的同时，切忌无目的地“刷题”，要有针对性地选择一些具有代表性的题来认真分析，找出解题思路，认真计算、验算，最后总结出这一类型题目的解题方法，然后再巩固练习几道习题，方能开始下一类型的练习.只有长期地坚持和练习，才能打好数学基本功，才能积少成多，总结经验.

四、以“预”为先，形成良性循环

或许会有同仁这样质疑：既然前面说高中数学由于难度的加大，知识内容的抽象，使得学生在课堂学习中“无所适从”，那么为什么还要求学生预习自学呢？能学懂吗？预习有什么作用呢？其实，对于所学知识，无论是内容的抽象，还是“量”上的增加，都是一种正常现象，对于学生的反应，从刚开始的“一头雾水”和后来的“如鱼得水”也不足为怪.对于新授课，尽管学生不是太懂，但是有已学知识做基础，也能学个大概，能学懂一点，则欣喜若狂，不明白的地方，则“生疑”.当学生带着这些课前预习所产生的疑问听课时，他（她）会更加认真，思维也会更加活跃;当通过教师的系统讲解而“豁然开朗”之后，学生收获的就不仅是这道例题的解题思路和方法，而是一种如何学习数学的方法.于是，课前预习就越主动，预习的效果也就越理想，就能顺利自学下一节的知识内容，形成一种预习的良性循环，非常有利于数學知识的学习.

比如，在“变化率与导数”的学习中，我先布置学生预习“变化率问题”中的问题1“气球膨胀率”.这个问题难度不大，通过自学，有些学生就已经掌握了解题思路和方法，我在课堂上进行点拨和总结.接下来的问题2“高台跳水”，在问题1的基础上，学生通过自学就可以解决问题.之后的学习内容，我都鼓励学生先预习，然后课堂上进行讲解分析，学生的学习积极性高涨，学习效果也超出了预期设想.

因此，数学学习，不是说习题一有难度就要放弃，也不是说一遇到有难度的题型就非要老师讲解.老师的讲解和点拨固然不可缺少，如果学生不去尝试又怎么能发现问题，没有发现问题，没有困惑，又怎么会去主动探究呢？在学习中，我们常常陷入的一个误区就是：过度重视老师在课堂上的反复讲解，而忽视了学生在课前的主动预习.殊不知，在预习自学中产生的疑问，才是学生真正的困惑，只有带着这些困惑去听讲，等老师一步步讲解下来，他才会明白自己错在哪里，为什么错了，应该怎么做.高中数学，学生需要掌握的不仅仅是几道甚至几十道习题的解题思路和过程，而是一种思维方式，一种解决问题的方法和善于自学的习惯.老师的引领和讲解固然重要，但是学生通过自学、自悟、错误、请教、释疑而掌握的方法却是最稳固的，最刻骨铭心的.掌握了这种学习方法，学生可以提前自学，可以举一反三，可以自主探究，对以后升入大学的知识学习可以说是大有裨益.

五、以“基”为主，重视基础知识

曾记得2018年高考中的数学科目考试，出了考场，有的学生眉开眼笑，有的学生垂头丧气，这很正常，发挥正常的高兴，发挥失常的失落.只是这正常之中出现的一些“意外”引起了老师和学生的思考.这“意外”来自试题的命题过于“简单”，导致一向以“攻难题”为强项的中上游学生“失手”，而平时成绩一般的学生反而“捡漏”.乍一听，有点不懂，毕竟是全国“海选”的高考，这题能简单到什么程度，会有这样“戏剧性”的变化，引起众人的关注？最后一分析：看似简单，其实并不“简单”，关键是试卷的命题更趋向于对考生基础知识的考察，趋向于课本知识的概括和灵活运用.而大家也都知道，高三最后的复习，主要是以“刷题”为主，考生都想在这“一万个”中碰到那个“万一”.只是万万没想到高考命题者这次比较“接地气”，一改往年的“不难不高考”的命题方式，画风一变，走上了“基础路线”.大家可能说：“这好呀，基础知识，学生应该是烂熟于心了.”那就大错特错了，临近高考，虽说老师也强调要“回归课本”，但是考生还是希望在最后的复习中能“刷出”一根“救命稻草”，谁会关注那个已经被“边缘化”的课本.

比如，高考结束，几个高一、高二的学生向高三的学长们了解数学命题的特点以及平时学习数学应该注意的地方.考生A说：“从整个试卷看，基础题的难易程度适中并偏向于课本，而我们平时都以试卷为主，忽视了课本的回顾，有点小遗憾.”考生B：“我感觉自己答得还比较理想，尤其是基础部分，不出意外，应该能得满分，主要是在最后的冲刺阶段，感觉‘题山反正已经攻不完了，不如听老师的引导，踏踏实实把课本过一遍，不曾想‘捡了个大漏，做起题来‘如鱼得水.”考生C：“我和他们的看法差不多，我看你们还有点迷糊，举个简单的例子，就像小学阶段中年级的一些计算原理和公式，在六年级要进行综合运用，只是时间一长，没有回顾，混淆不清，看似简单就是理不出头绪.”

从上述三位考生的回答中我们不难看出，不管是小学、初中还是高中的数学学习，基础都是最关键的知识点，我们常说的“万丈高楼平地起”就是这个理.我们不否认由于高中数学知识内容的深化和抽象，对思维灵活度要求甚高，但也不能刻意地“无‘基拔高”.这个“拔高”要在“根基牢固”的情况下循序提升，而不是盲目地构建“空中楼阁”，一旦基础有所忽视，有所松动，就会导致辛辛苦苦打造的“美丽花园”毁于一旦，悔之晚矣.在平常的教学中，我们最常见的一种现象就是，相当一部分中等生急于通过大量的“刷题”提高做题的速度和质量，对一些貌似简单的基础题型“不屑一顾”，而每次月考或模拟结束进行分析时，就会发现失分最多的反而就是这些不起眼的基础题，当然，有这种心理的学生大有人在.那些平时思维不够活跃，每天就“啃”基础的学生在遇到偏向基礎类题型时反而能“意外收获”.

六、以“归”为本，培养概括能力

高中数学知识的系统性和连贯性，要求学生要养成善于归纳，善于总结的习惯，这样才能对所学知识“了然于胸”，从而提高概括能力.说到归纳和总结，也不是一蹴而就，而是在遵循数学学科规律的基础上的循序渐进，既要养成独立思考的习惯，还要注重新旧知识的内在联系，及时把握理论定义的内涵和外延，善于从多个方面和方位思考问题.不满足于现成的解题思路和最后的结论，要能做到一题多解，一题多变，同时及时进行归纳，让所学到的知识条理化、系统化、专题化，总结解题过程中的经典做法，应用到之后的学习中.其次，要养成做笔记的习惯，在课堂上，根据所讲内容，教师补充的内容和方法很多，而学生的记忆毕竟有限，如果不加记录，一旦忘记，便无从进行复习和巩固.而且，学生做笔记和整理资料的过程，就是一种主动参与和探究的学习过程，这样会激发学生的学习兴趣.再者，学生还要养成写数学感悟的习惯，把每天参与数学学习所引发的思考、困惑、经验教训记录下来，进行归纳分析，总结出一天的学习收获，并从中吸收有用的信息，改进学习中存在的不足，以不断完善自己，有助于以后对新知识的学习.

高中数学，不用想，内容的确深奥，而且全是符号、集合、图形语言的组合，看上去有点“高深莫测”，实际情况是这样的：学生经过初中三年的数学学习，知识储备有所丰厚，学习经验有所积累，对于高中的数学学习，是有一定的基础和准备的，所以，并不是传说中的那样“高不可攀”，只要教师做好引领工作，引导学生调整好心态，正确面对新的环境，新的学习要求，养成良好的学习习惯;能够做到课前主动预习自学，善于发现问题，课堂认真听讲和思考，形成良性循环;遇到疑难问题不惧怕，能够积极思考，灵活分析;课堂练习能够认真运算，培养习惯;学习之后，不是满足于现状，而是及时总结经验.相信，高中数学课堂一定是严谨而活泼的，课堂效果一定是精彩而高效的.

【参考文献】

[1]张伟林.高中数学教学中学生思维能力的培养策略[J].教育导刊，2016（3）.

[2]陈振越.基于核心素养理念下高中数学预习习惯的培养策略[J].山西教育，2017（5）.

[3]周玉龙.让阅读和数学“一路同行”[J].中学数学参考，2017（7）.