利用导数,如何解决函数与不等式大题

■山东省枣庄二中

在高考题的大题中,每年都要设计一道函数大题。在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况,基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式),研究不等式在一个区间上成立时某个参数的取值范围,研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上根的个数等,这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力,就需要根据导数的方法进行解决。使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数,通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值,根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数。导数的引入,为函数问题的解决提供了操作工具,因此大家入手比较快,但是深入解决函数与不等式相结合的题目时,往往一筹莫展,原因是找不到两者的结合点,不清楚解决技巧。

解这类题技巧如下：

1.树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来),如函数的单调性、最值等,服务于第二问要证明的不等式。

2.强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对给出的不等式直接证明无法下手时,可考虑对不等式进行必要的等价变形,再去证明。例如采用两边取对数(指数),移项通分等等,要注意变形的方向。因为要利用函数的性质,所求变形后不等式的一边需要出现函数关系式。

3.巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征,构造函数,利用函数的最值进行解决。在构造函数的时候灵活多样,注意积累经验,体现一个“巧妙”。

例1(辽宁省鞍山市2019 届高三下学期第一次质量检测)已知函数f(x)=lnx-ax+b(a,b∈R)有两个不同的零点x1,x2。

(1)求f(x)的最值;

g'(t)＞0,g(t)在(0,1)上单调增,g(t)＜g(1)=0,故在(0,1)上恒成立,原不等式得证。

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明,属于难题。不等式证明问题是近年高考命题的热点,命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合,导数部分一旦出该类型题往往难度较大,要准确解答首先观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明。

例2(2018 年高考理数全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ax2。

(1)若a=1,证明：当x≥0 时,f(x)≥1;

(2)若f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,求a的值。

解析：(1)当a=1 时,f(x)≥1 等价于(x2+1)e-x-1≤0。

设函数g(x)= (x2+1)e-x-1,则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x。

当x≠1时,g'(x)＜0,g(x)在(0,+∞)上单调递减。

而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1。

(2)由f(x)=ex-ax2=0,得1-ax2e-x=0。设函数h(x)=1-ax2e-x,f(x)在(0,+∞)上只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)上只有一个零点。

(i)当a≤0 时,h(x)＞0,h(x)没有零点。

(ii)当a＞0时,h'(x)=ax(x-2)e-x。

当x∈(0,2)时,h'(x)＜0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)＞0。

所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增。

①若h(2)＞0,即在(0,+∞)上没有零点;

②若h(2)=0,即在(0,+∞)上只有一个零点;

③若h(2)＜0,即,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)上有一个零点。

故h(x)在(2,4a)上有一个零点,因此h(x)在(0,+∞)有两个零点。

综上,f(x)在(0,+∞)上只有一个零点时

点睛：此题是已知区间上有零点,求参数的范围问题。往往因为含有超越函数式的函数图像较为复杂,也没有固定的形状特点,所以解题时比较困难。

可以从两个方面去思考：

(1)根据区间上零点的个数情况,估计出函数图像的大致形状,从而推导出导数需要满足的条件,进而求出参数满足的条件;

(2)也可以先求导,通过求导分析函数的单调情况,再依据函数在区间内的零点情况,推导出函数本身需要满足的条件,此时,由于函数比较复杂,常常需要构造新函数,借助导数研究函数的单调性、极值等,层层推理得解。

例3(2017全国Ⅲ卷文科第21题)已知函数f x（）=lnx+ax2+（ 2a+1）x。

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)当a＜0时,证明

点睛：求解导数中的不等式证明问题可考虑：(1)首先通过导数研究函数的单调性,再利用单调性进行证明;(2)根据不等式结构构造新函数,通过求导研究新函数的单调性或最值来证明。

例4(2017年高考新课标Ⅰ卷文数第21题)

已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x。

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)≥0,求a的取值范围。

解析：(1)分a=0,a＞0,a＜0分别讨论函数f(x)的单调性;(2)分a=0,a＞0,a＜0分别解f(x)≥0,从而确定a的取值范围。

(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a)。

①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上单调递增。

②若a＞0,则由f'(x)=0,得x=lna。

当x∈(-∞,lna)时,f'(x)＜0;当x∈(lna,+∞)时,f'(x)＞0。所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增。

③若a＜0,则由f'(x)=0,得x=

(2)①若a=0,则f(x)=e2x≥0。

②若a＞ 0 ,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna。从而当且仅当-a2lna≥0,即a≤1时,f(x)≥0。

③当a＜0 ,则由(1)得,当x=时,f(x)取得最小值,最小值为从而当且仅当时,f(x)≥0。

综上,a的取值范围为

点睛：本题主要考查导数的两大方面的应用：(1)函数单调性的讨论,运用导数知识来讨论函数单调性时,首先考虑函数的定义域,再求出f'(x),由f'(x)的正负,得出函数f(x)的单调区间;(2)函数的最值(极值)的求法,由确认的单调区间,结合极值点的定义及自变量的取值范围,得出函数f(x)极值或最值。