解题后的思考

刘永智

摘 要：千金难买回头看，在问题解决之后，不能直接休息，最好多反思，多回头看看，长此以往，才会有更大的进步.

关键词：拓展延伸;张角问题;二等分

问题是数学的心脏.数学的真正组成部分是问题和解.著名数学家波利亚说：“掌握数学就意味着善于解题.”因此，学数学除了介绍一些基本知识之外，最主要的学习就是解题.那么解题之后，我们应该做一些什么呢？

在解题之后，我们不能觉得一切都结束了，继续后面的学习就可以了.而是应该思考一下，自己的求解有没有失误，能不能拓展延伸，使问题变得更为透彻，更为简单，以后碰到类似的题目，甚至是没有关联的题目，也能联系到一起去解决.

1 解题后的拓展延伸及应用

对于有些问题，解决之后表面看上去没有什么，但如果仔细地分析、研究，会对我们在求解其他问题方面起到意想不到的作用.

例1 如图1，在“世界杯”足球比赛中，甲队员带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到点A时，同时本队球员乙已经冲到点B.现有两种射门方式：第一种是甲直接射门，第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑，应选择第种射门方式.

解析 如图1，不考虑技术等因素，由甲或乙谁射门取决于∠PAQ和∠PBQ的大小，哪个角较大，由处在这个位置的队员射门.也就是說，本题要比较∠PAQ和∠PBQ的大小.而从图上看，点A位于点P，Q，B所确定的圆的外面，并且和点B均位于直线PQ的同侧.

设AQ和点P，Q，B所确定的圆相交于点C，连结PC，根据同弧所对的圆周角相等可得∠PBQ=∠PCQ;再由三角形的任意一个外角大于和它不相邻的任意一个内角可得∠PCQ>∠PAQ，从而∠PBQ>∠PAQ，故而应该由乙射门，即选择第二种射门方式.

通过本题的求解，如果我们继续往下思考，可以知道，如图2所示，若线段AB为定长的线段，点C为线段AB所在的直线外一点，连结AC，BC.通过观察和对本题的求解，我们会发现，似乎点C离线段AB越“远”，∠ACB越小.若使∠ACB的大小不变，联想圆周角定理我们可以得出，满足条件的点C在以AB为弦的圆弧上.

进一步还可以得出，和点C在线段AB所在直线同侧的点M若在弧ACB和线段AB所组成的图形外，则∠AMB<∠ACB.其理由如下：

在∠AMB所夹的弧ACB上取一点D，连结AD并延长交∠AMB的边BM于点E，连结BD，根据三角形的外角性质可得：∠AMB<∠AEB，∠AEB<∠ADB，而∠ADB=∠ACB，因此，∠AMB<∠ACB.

和点C在线段AB所在直线同侧的点N如果在弧ACB和线段AB所组成的图形内，则∠ANB>∠ACB.其理由如下：

延长AN交弧AC于点F，连结BF，则∠AFB<∠ANB，并且∠AFB=∠ACB，因此，∠ANB>∠ACB.

特别的，如果∠ACB=90°，则点C在以AB为直径的圆上;如果∠ACB<90°，则点C和弧ACB所在圆的圆心位于线段AB所在直线的同侧，并且该圆的半径越小，∠ACB越大;如果∠ACB>90°，则点C和弧ACB所在圆的圆心位于线段AB所在直线的两侧，并且该圆的半径越大，∠ACB越大.

这些结论不仅仅可以帮助我们求解角度的大小比较问题，而且还可以完成好多计算方面的问题.下面我们通过问题来看看这些结论的应用.

应用1 如图3，在矩形ABCD中，AD=3，AB=7，点E在边AB上，∠DEC=120°.求AE的长.

解析 （构造外接圆法）本题中如果直接求解，感觉很麻烦，但如果利用上面的结论，以CD为弦，圆周角∠DEC=120°的圆和AB的交点为点E，从而解决问题.为此，有如下求解方法：

作△DEC的外接圆⊙O，过点O作OG⊥AB于点G，交DC于点F.连结OC，OD，OE（如图4所示）.

因为 ∠DEC=120°，所以 ∠COD=120°.

在矩形ABCD中，因为 AB//CD，OG⊥AB，

所以 ∠DOG=60°，∠OGE=∠OFD=90°，DF=CF，四边形ADFG是矩形，FG= AD=3.

因为 AB=CD=7，所以 DF=AG=72.

在Rt△FOD中，因为 ∠FOD=60°，DF=72，

所以 OF=DF3=7 36，OD=2OF=7 33.

因为 FG=AD=3，所以 OG=OF+FG= 13 36.

在Rt△OEG中，OE=OD= 7 33，OG= 13 36，由勾股定理可得，EG= OE2-OG2= 32.

所以 AE=AG-EG=2或者AE=AG+EG=5.

应用2 点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点.

（1）使∠APB=30°的点P有个;

（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标;

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由;若没有，也请说明理由.

解析 （1）由上面的结论可知，以AB为弦，使圆周角等于30°的圆弧上的点均满足条件，这样的点有无数个，因此，本题答案为：无数.

（2）本题中要求出圆弧与y轴的交点，要使圆周角等于30°，该圆弧所对的圆心角应该是60°，为此，以AB为边作等边△ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1，P2.在优弧AP1B上任取一点P，如图5.

①当点P在y轴的正半轴上时，即点C在第一象限，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图5.

因为点A（1，0），点B（5，0），所以 OA=1，OB=5.

所以 AB=4.

因为点C为圆心，CG⊥AB，所以AG=BG=12AB=2.所以OG=OA+AG=3.

因为△ABC是等边三角形，所以AC=BC=AB=4.所以CG=AC2-AG2=2 3.

所以点C的坐标为（3，2 3）.

如图5，过点C作CD⊥y轴，垂足为点D，连接CP2，因为点C的坐标为（3，2 3），所以CD=3，OD=2 3.

因为P1，P2是⊙C与y轴的交点，

所以∠AP1B=∠AP2B=30°.

因为CP2=CA=4，CD=3，

所以DP2=42-32=7.

因为点C为圆心，CD⊥P1P2，

所以P1D=P2D=7.

所以P2（0，2 3-7）.P1（0，2 3+7）.

②当点P在y轴的负半轴上时，点C在第四象限，同理可得P3（0，-2 3-7），P4（0，-2 3+7）.

综上：满足条件的点P的坐标有（0，2 3-7），（0，2 3+7），（0，-2 3-7），（0，-2 3+7）.

（3）要使∠APB最大，就要使过A，B两点的圆尽可能小，因此，圆与y轴相切时，满足条件.具体解法如下：

当过点A，B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大.

①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EH⊥x轴，垂足为点H，如图6.

因为⊙E与y轴相切于点P，所以PE⊥OP.

因为EH⊥AB，OP⊥OH，

所以∠EPO=∠POH=∠EHO=90°.

所以四边形OPEH是矩形.

所以OP=EH，PE=OH=3.

所以EA=3.

因为∠EHA=90°，AH=2，EA=3，

所以EH=EA2-AH2=5.

所以OP=5.

所以P（0，5）.

②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得P（0，-5）.

理由：（i）若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图6所示.

因为∠ANB是△AMN的外角，

所以∠ANB>∠AMB.

因为∠APB=∠ANB，所以∠APB>∠AMB.

（ii）若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：∠APB>∠AMB.

综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，此時点P的坐标为（0，5）和（0，-5）.

从以上的应用可以看出，对于数学问题，求解之后，我们要多思考、多总结、多拓展，我们会发现许多意想不到的结果，并且会得到许多解题的方法，这也是提高数学解题能力的比较好的方法之一.

2 解题后碰到其它问题的突发奇想

有些时候，求解一个数学问题之后，面对其它的数学问题，我们不能畏首畏尾，要敢于去尝试，即使错误了，也没有什么.可能在敢想敢做的过程中，我们就会发现一些问题的求解思路，最后通过严密的推理论证，使我们的想法得到证明是正确的.其实这种突发奇想是我们发现未知结论的比较好的方法之一，也是科学研究之中常用的方法之一.这要求我们在解题的时候要敢想，并且敢于去行动.但记得最后一定要经过严密的推理论证.

例2 如何用一条直线把如图7所示梯形ABCD的面积二等分？

解析 要用一条直线任意将梯形的面积二等分，如果从腰上考虑问题，将会变得很麻烦.我们考虑沿着底边连线来二等分.既然要二等分，连结两底中点的直线，为此，设AD的中点为点E，BC的中点为点F，连接EF.考虑EF能否将梯形ABCD的面积二等分.我们发现，所得的两个新梯形ABFE和梯形CDEF不仅两底对应相等，而且高线也相等，从而面积相等.也就是说梯形两底中点的连线将梯形的面积两等分.

有了对上面问题的求解，我们发现，有时候在解题时要敢于想，并且敢于去做，你会发现自己的解题能力就会比原先有所提升.尤其在做几何的等分问题时，考虑中点是我们常用的方法之一.

突发奇想一 如何过任意四边形ABCD的顶点A作一条直线把四边形ABCD的面积二等分？

解析 连结四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.如果AC平分BD（如图8所示），则对角线AC所在的直线即为满足要求的直线.

如果AC不平分BD，不妨设BD的中点为点M，点M在线段BO上（在线段CO上可类似地作图），连结AM，CM（如图9所示），则可以知道折线AMC可以平分四边形ABCD.过点M作AC的平行线，交AD于点E，交BC于点F.连结AF，则直线AF所在的直线即为满足要求的直线.

突发奇想二 如何把任意一个四边形ABCD的纸片剪两刀（如图10），使所剪成的四块能拼成一个平行四边形？并说明理由.

解析 对于此问题，好像无法下手.但是仔细分析，会发现要拼成平行四边形，拼在一起的边必须长度相等.为此，我们可考虑连结四边形ABCD的各对边中点，然后沿对边中点剪开（如图10所示）.设四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点分别为点G，F，H，E.连结EF，GH相交于点O，然后沿EF，GH将四边形ABCD剪开，得到四个四边形.保持四边形AGOE不动;将四边形OGBF绕点G顺时针旋转180°，得四边形O1GAF1;将四边形EODH绕点E逆时针旋转180°，得四边形EO2AH1;平移四边形OFCH至四边形O3F1AH1，则得到的四边形OO1O3O2即为平行四边形.

要说明这样做是平行四边形的理由，我们发现从边上去说明问题似乎很难，但如果看角的变化，则问题会很简单.从旋转变换和平移变换可以知道，点O1，G，O在同一直线上，点O1，F1，O3在同一直线上，点O3，H1，O2在同一直线上，点O2，E，O在同一直线上.再根据对顶角相等和平移与旋转后的对应图形全等可知，∠O3O1O=∠GOF=∠EOH=∠O3O2O，∠O2O3O1=∠FOH=∠O1OO2，因此，四边形OO1O3O2对角相等，从而邻角互补，因此，对边互相平行，四边形OO1O3O2即为平行四边形.

解决问题之后的思考，不仅仅是看问题解决的对错，而是对问题拓展及延伸.当我们遇到类似的问题时，思维的电路会瞬间导通，使我们顺利地解决其它问题.从这个角度看，它不仅仅是解题之后的思考，而是我们在为求解其他问题积蓄能量，这种思考越多，我们积蓄的能量就会越多，解题就会越来越自如.还有解题后的思考不仅仅是发生在解题之后，有时会发生在我们再次遇到其他问题之时，思维的瞬间闪现的火花之上，而且解题后的思考有时甚至发生在解题之前，有了知识的积累，相信我们解起题来会更加自如.

（收稿日期：2019-08-22）