例谈学生数学逻辑推理能力的培养——以“相似三角形的应用1”的教学为例

■朱加军

（作者单位：江苏省江阴市峭岐中学）

在小学数学阶段，学生对逻辑推理的经历主要是以直观猜想为主的规律探寻，是“经验型”思维，缺少理论支撑，逻辑性不强。初中数学“公理”“定理”“概念”等知识增多，学生随着年龄的增长和认知水平的发展，要逐渐过渡到“理论型”逻辑推理阶段。因此，初中数学教师在课堂教学中，要根据学生学习数学的逻辑障碍，有针对性地、循序渐进地促进他们逻辑思维的发展，有效培养他们的逻辑推理能力，这也是初中数学教学的重、难点。本文根据数学核心素养的要求，结合苏科版九年级《数学》“相似三角形的应用1”的教学片段，试从以下四个方面谈一谈课堂中学生逻辑推理能力的培养。

一、预设情境，激发兴趣，推动逻辑推理能力的发展

“乐学”是核心素养提出的学会学习中的一个要求，也是学生学习数学过程中最为重要的数学素养。学生逻辑推理能力的发展，更加需要一个兴趣盎然的环境。因此教师教学时，要精心设计一个富有生活趣味的、能引起学生关注并希望深入了解的问题，使学生乐于思索，从而推动其逻辑推理能力的发展。

在“相似三角形的应用1”课堂伊始，教师便抛出一个问题：

在某一个晴天，你手中只有最大测量长度为20米的卷尺。请问，你如何测量一个12层居民楼的高度？说说你的方案。

生1：可以先量一层楼的高度，再乘楼层数。

生2：不可以，因为楼层高度并不完全相同，绝大多数的楼是一楼的层高较高，况且还有顶楼的高度无法测量。此方案行不通。

生3：可以先立一根木杆，然后退到适当位置，当看到木杆的顶端与楼顶重合时，就可以运用我们学过的相似三角形的知识解决了。示意图如图1。

图1

师：生3的方案的确不错，具有了操作性，也能测出相对准确的高度，这是我们以前学习的方案。但假如没有木杆，你能利用现有的工具来测量吗？不要忘了天气是晴，所有的物体在太阳下都会有影子。

生4：可以先测出一个人及其影子的高度，再测出大楼的影子长，然后利用比例，就可以求出楼高了。

到此，问题解决。此问设计的目的是活跃课堂气氛，提升学生思考的欲望，增加学生学习新课的兴趣。学生积极思考问题，会想出多种方案，但方案提出后需要运用逻辑推理来验证方案的可行性与可操作性。实际上从问题提出，到疑问产生，到方案产生，到验证方案的可行性，再到答案的给出，就是一个基本的逻辑推理过程，也是一个激发学生兴趣、培养学生乐学素养的过程。

二、厘清概念，完善问题，培养逻辑推理的严密性

面对数学问题，进行逻辑推理时，会涉及众多的数学概念。厘清概念是数学逻辑的基础，也是逻辑推理正确发展的保障。为此，课堂上教师进一步提出更完整的数学问题。

师：如图2，在某晴天的某一时刻，一个身高1.8米的学生在太阳下的影子长是0.6米，同一时刻，某一大楼的影子长是12米。你能计算出此大楼的高吗？

图2

师：此题中，生4的比例式如何得出？

生5：可以依据相似三角形的性质得出。

师：你能说说哪两个三角形相似吗？

生5：大楼与自己的影子构成了一个直角三角形，人与自己的影子也构成了一个直角三角形。这两个直角三角形相似。

师：如果真如你所说的相似，那么它们的相似条件是什么？

生5：太阳的光线是平行的，因此它们与地面构成的角是相等的，大楼、人与地面都是垂直的，因此它们与地面形成的角都是直角。这样，这两个直角三角形两组角相等，所以两个三角形相似。

本节课是一节数学知识技能的运用课，所涉及的知识基本都是数学方法的运用，要求掌握的新的数学概念基本没有，但在解决问题的过程中，仍然需要强化所涉及的一些概念。比如此问题中，对于“同一地点下的阳光是平行光”这一物理知识中的概念需要再次明确；人、大楼分别与水平地面是垂直的。这些基本概念是保证楼高、楼影长构成的直角三角形与人高、人影长构成的直角三角形相似的关键，也是进行下一步逻辑推理计算的保证。这是从小学直观的逻辑推理，走向初中严密的逻辑推理的关键过程，是培养学生“有实证意识和严谨的求知态度”的良好方法。

三、构建数学模型，培养抽象能力

学生的核心素养要求中提出，要能运用科学的思维方式认识事物、解决问题、指导行为。构建数学模型是一个非常有效的思维方式，也是促进逻辑推理能力发展的快速有效的良好方法。将上题抽象成数学问题，是学生将新知转化为旧知，将实际问题归纳为数学问题的关键。

生6：可以将实物图转化成图3，在Rt△ABC与Rt△DEF中，边AB表示大楼，边CB表示大楼的影子，边DE表示人高，边EF表示人的影子。

生7：虽然生6的图3可以解决此题，但仍然不够简洁。我们知道，大楼不可以移动，但是人可以移动，同时转换视角，就可以将人与大楼重叠到一起，如图4，两个三角形的相似就可以相对容易得出，比例也相对容易得出。

图3

图4

不难看出，生7构建的数学模型更为简洁、有效，也更能直观表现出物高与影长的比例关系。因此，建立一个简洁、有效的数学模型，在逻辑推理过程中可以简化思维过程，明晰逻辑推理思维的方向。所以在课堂教学中教师应当善于引导学生建立简洁、有效的数学模型，让学生从问题的感知升华为思维的感知，最终形成一定的思维模式，归结为一定的数学模型，让学生的思维层次进一步提高，为推理积累感性的经验。数学中很多的逻辑证明的方法，如分析法、反证法、类比法、归纳法等都是按照逻辑推理的规律进行的一种数学活动，有利于逻辑思维能力的发展。

四、规范说理过程，彰显数学素养

语言的源泉是理性思维，也是逻辑推理的过程呈现。逻辑推理过程的学习一定程度上也可以说成是数学语言的推理过程。教学中，要鼓励学生在自己独立思考的基础上与同学、教师交流，以此来促进逻辑推理思维的成熟，让推理更严密。教师在教学中应当适时管控推理的进程，规范说理的策略，逐渐形成“条件A+条件B+条件C+…=＞结论”的形式，多引导学生质疑、纠错，帮助学生将逻辑推理内化成一种本能。如：

师：同学们，能否就图3说一说比例式成立的理由？

师：在生8的答题过程中有没有欠缺的地方？

生9：生8没有将两个三角形相似的理由说清楚。我可以将这部分补充完整，补充如下：

根据题意得：AB⊥BC，DE⊥EF，AC∥DF，∴∠ABC=∠DEF=90°，∠ACB=∠DFE，∴Rt△ABC∽Rt△DEF。

师：生9补充得很好。在逻辑推理的过程中，我们应当注重数学语言的表述，同时也要注重逻辑推理的完整性、严密性。在生8与生9的共同努力下，此题的解答过程就完整了。

数学是一个完整而又严密的体系，有独有的符号作为科学的语言对逻辑推理过程进行表述。数学课堂中对一些问题的解答、证明过程，用数学语言严谨地推理，就是一个逻辑思维活动的过程。因此，提高学生运用数学语言的能力，可以提高学生的数学素养。