“学材再建构”的智慧实施——以“二次函数”起始课为例

■徐 勤

教学案例

一、背景分析

“学材再建构”是李庾南老师倡导的“三学”（学材再建构、学法三结合、学程重生成）的重要组成部分，指师生根据学习任务，为实现学习效益最大化，对各种显性学材和隐性学材进行主动加工重构。

在“二次函数”起始课教学中，很多教师的教法是从大量的实际问题中抽象出二次函数模型，然后研究定义并对定义进行强化练习。学生的整个学习过程几乎是前面一些问题的再练习。由于学生学习一次函数后，对研究函数的基本思路已大致了解，笔者认为“二次函数”起始课采用单元教学，顺应了学生原有知识体系，也顺应了学生的最近发展区。

二、教学实践

活动设计（一）创设情境，类比生成概念。

1.用20m长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形花圃的一边AB长为xm。思考：若改变x的值，矩形的哪些量随着x的变化而变化？

问题1：若把邻边BC的长记作y，你能写出y与x之间的关系吗？

追问：y是x的函数吗？为什么？这是什么函数？什么是一次函数？我们是从哪些方面研究一次函数的？

问题2：矩形的面积s与x之间有什么关系？它们之间是否也具有函数关系？为什么？我们将这个关系式化简，得s=-x2+10x。s是x的一次函数吗？

师：从本节课开始，我们研究一种新的函数——二次函数。（板书课题）

2.观察类比，形成概念。

一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数。其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

设计意图：在教授二次函数的定义时，笔者没有采用教材上所呈现的方式进行常规教学，而是先从几个实际问题入手，列出关系式，再让学生观察其特征或共同点，然后归纳出二次函数的定义，最后对概念进行拓展练习。这是基于以下三点进行考量的：一是学情，同类型的训练教学中已经涉及，学生已熟悉；二是对二次函数的定义不必过多地进行辨析和拓展，这些与前面的方程的定义和一次函数的概念属于同类型练习；三是一个开放的问题情境有利于提高学生发现问题、提出问题的能力，调动学生的主观能动性，这也是新课标所提倡的。在这个导入过程中，二次函数的定义由学生自主发现、自我概括而成，是基于已有经验生成新知，从注重思维结果向注重思维过程转变。

活动设计（二）构建框架，明确研究方向。

1.类比一次函数研究内容，建构二次函数章节知识框架，明确研究方向。

2.回顾一次函数的图像和性质的研究思路。

（1）通过列表、描点、连线画函数图像，观察图像，得到函数性质；

（2）从特殊的y=kx（k≠0）到一般的y=kx+b（k≠0）的研究思路；

（3）讨论两种情况（k＞0，k＜0），归纳。

活动设计（三）绘制图像，探究函数性质。

1.类比联想，明确研究方法。

学生绘制y=3x的图像。

教师提问：如果图像上有点（m，n），那么横坐标为-m的点的纵坐标为多少？说明什么？能总结一下图像关于原点对称的代数刻画吗？那么图像关于y轴对称的代数刻画呢？y=3x的图像过原点且仅在第一、三象限，这种区域性能用代数刻画吗？可以借用这样的判断方法去验证当k＞0的正比例函数。

2.代数思考，探究数形模型。

探究特殊二次函数y=x2的图像。学生列表描点画出图像。

结论：函数的图像关于y轴对称；因变量的值应该都不小于0。

网友们的第一反应也是不太相信，有的调侃说：我超意兴准备接手山东男篮，有的比较悲观：难道济南找不到一家可以接手山东男篮的私企了吗？

教师提问：由函数解析式的结构特点和表格中所列数据的特点，解释为什么图像会有这样的特点：

（1）过原点（0，0），其余各点均在x轴的上方；

（2）无最高点，原点为最低点；

（3）图像关于y轴对称等。

设计意图：探究二次函数的图像，让学生在“大致→精致→一致”中穿行，就是一个思维从抽象到具体的活动过程。学生在互动过程中，有独立思考、合作交流、实践操作，总是在历练自己的思维，感受思维的魅力。

3.几何观察，提炼函数性质。

师：画出函数 y=-x2、y=-2x2的图像。观察这些抛物线有何共同点和不同点。它们之间是否有着某些联系？

教师引导学生在画图之前先预测图像的特征，然后再动手画图验证。

二次函数y=ax2(a≠0)的图像特征与函数性质：函数y=ax2(a≠0)中， ||a越大，抛物线开口越小； ||a越小，抛物线开口越大。

设计意图：对于具备一定抽象能力的九年级学生来说，二次函数的图像所承载的教学价值绝不是用“列表、描点、连线”画图，而是让学生根据函数表达式，在不需要画出精确图像时，就能判断函数图像的一些特征和大致形状，这是一种思维价值。当学生画出比较精确的图像后，与想象的图像进行对比，能让学生体验到成功的乐趣和思维的魅力。这样的思维经验还会延伸到后续各种结构的二次函数以及反比例函数的图像研究上，不仅让学生在学习中创新发展，而且还培养了其“由数想形”的思维能力，以达到眼中无图、心中有图的境界。

三、教学反思

（一）在类比中生长。

《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出，数学知识的教学，要注重知识的生长点和延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的结构体系中，注重知识的结构和体系，引导学生感受数学的整体性。本节课不仅关注数学知识的生长点和延伸点，同时重视了学习的经验方法。一次函数的研究经验和方法为本节课提供了重要的知识基础和经验基础。在实施教学的过程中，笔者很好地抓住这样的契机，通过类比一次函数的研究框架自主建构本章的研究脉络，让学生明晰研究的内容和方向，感受数学的整体性。在研究图像性质之前，由正比例函数的式结构和形结构展开类比联想生成本节课的新知，实现了课堂的高效益。

（二）在实践中完善。

在以往的听课过程中，很多同仁在学生画图出现错误时，会直接告诉学生应该用平滑的曲线连接。事实上，学生对为什么是曲线是不理解的。所以本节课在学生由数猜形、释形的过程中，基本由学生畅所欲言，充分暴露其思考中的一些问题，在描点连线后也展示了一些有问题的图像，然后引导学生思考这些问题如何修正，比如到底是用光滑的曲线还是折线，让学生充分展开讨论，最后通过用几何画板密集取点的方式验证学生讨论的结果，完善了学生对二次函数图像的认识。

（三）在探究中内化。

学生在研究得出y=x2的性质后，再研究y=的性质时，已经从使用先前单一的方法变成了用多种思考方法，比如有列表、描点、画图进行探究的，也有从解析式的特点入手，先说出图像的共同点和不同点，还有通过列表，利用表中的数据进行对比研究的。学生能通过本节课的探究活动将知识内化成解决新问题的策略方法，无疑实现了本节课的教学价值。

本文系江苏省“十三五”规划立项课题“初中课堂学程生态化建设研究”（课题编号：E—c/2016/19）阶段性研究成果之一。

推荐书目

它是一部将生命生长理念迁移到初中数学教学中的理论创新图书，也是一部践行生长数学教学主张的实践操作用书，还是一部彰显数学生命力的科普指导用书，更是一部让数学核心素养在课堂教学中落地生根的教学研究用书。

本书作者卜以楼是生长数学的设计者、倡导者、探索者、实践者，江苏省特级教师，正高级教师。全书展示他对生长数学的12个教学主张，30个经典案例，其中有半数被中国人民大学复印报刊资料全文转载。

书名：生长教学：卜以楼初中数学教学主张

作者：卜以楼

出版社：陕西师范大学出版总社