厘清二次函数的数形关系

文陈小锋 费 菲

（作者单位：江苏省南京江宁开发区学校）

同学们对知识的掌握和运用能力取决于理解程度。二次函数是初中数学学习的重点，也是难点，厘清二次函数中的数形关系对学好二次函数尤为重要。

一、以形论数，厘清二次函数图像与系数之间的关系

例1 （2019·随州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC，对称轴为直线x=1，则下列结论：①abc＜0；c=0；③ac+b+1=0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根。其中正确的有（ ）。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【分析】二次函数图像与系数之间的直接关系有以下几个方面：我们可以根据图像的开口方向得到a的取值范围，再根据对称轴得到a与b的关系，从而得到b的取值范围，还可以根据图像与y轴的交点，得到c的取值范围，结论①可由此判断。将以上条件综合梳理或者进行代数分析可以呈现其他类似结论，结论②即可由等式的变换进行判断。二次函数图像与系数之间还暗存特殊关系，如a、b、c结合的等式，需要考虑图像中的特殊点，本题由OA=OC可得A的坐标，代入解析式可判断③，由点A坐标结合对称轴可得点B坐标，据此可判断④，结论②也可以运用特殊点的位置求解。

【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线1，∴b=-2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确。

∵C（0，c），OA=OC，∴A（-c，0），把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2-bc+c=0，∵c＞0，∴ac-b+1=0，所以③错误。

∵A（-c，0），对称轴为直线x=1，∴B（2+c，0），即2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，所以④正确。

综上，正确的有2个，故选B。

【点评】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解决此类问题需要明确以下几点。

1.当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；a的绝对值决定了抛物线的开口大小，即抛物线的形状。

2.当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴的左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴的右侧（简称：左同右异）。

3.常数项c决定抛物线与y轴的交点，抛物线与y轴交于（0，c）。

二、以数定形，把脉关键信息，速解中考小题

例2 （2019·河南）已知抛物线y=-x2+bx+4经过（-2，n）和（4，n）两点，则n的值为（ ）。

A.-2 B.-4 C.2 D.4

【分析】根据抛物线y=-x2+bx+4经过（-2，n）和（4，n）两点可知，这两点纵坐标相同，以数定形，两点既在直线y=n上，也在抛物线y=-x2+bx+4上，则两点的坐标也可以看作是二元二次方程组， 的两个解；又知这两点是关于抛物线的对称轴对称的，从而可以根据两点横坐标的关系确定抛物线的对称轴为x=1，再由对称轴与系数的关系即可确定b的值，解出n。

【解析】二次函数y=-x2+bx+4中，a=-1，b待定，c=4，对称轴可表示为x=，抛物线 y=-x2+bx+4经过（-2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x=1，1，∴b=2，∴y=-x2+2x+4，将点（-2，

n）代入函数解析式，可得n=-4。答案选B。

【点评】例题中以数定形，从抛物线y=-x2+bx+4经过两点（-2，n）和（4，n），看透坐标的本质特性，抓住轴对称这一关键性的信息，可迅速打开思路。本题还可以抓住点在线上，将两点代入抛物线，得到二元一次方程组解决问题。

三、双向思考，把握数形结合思想精髓

例3 （2019·维坊）抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1。若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）。

A.2≤t＜11 B.t＞2

C.6＜t＜11 D.2≤t＜6

【分析】由抛物线的对称轴是直线x=1可以快速得到抛物线的解析式为：y=x2-2x+3，对于一元二次方程x2+bx+3-t=0，即x2-2x+3-t=0，可将其变形为x2-2x+3=t，结合以数识形、以形识数的双向思考，把问题转变为：在-1＜x＜4的范围内，t的取值范围为多少时，函数y=x2-2x+3与函数y=t有交点。

【解析】∵抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，∴抛物线的解析式为：y=x2-2x+3。∵一元二次方程x2+bx+3-t=0有实数根，可以看作函数y=x2-2x+3与函数y=t有交点，又∵方程在-1＜x＜4的范围内有实数根，而当x=-1时，y=6，当x=4时，y=11，∴函数y=x2-2x+3在当x=1时有最小值y=2，在x=4时有最大值y=11，∴2≤t＜11。故本题正确答案为选项A。

【点评】将一元二次方程的问题转化成两个函数的交点问题，并结合图像解决问题是答题的关键。理解题目的意思，以数识形、以形识数的双向思考并进行转化是本题的难点。当我们真正厘清二次函数中的数形关系，看透数中蕴含的几何特征，巧用数形结合，将为我们正确解题锦上添花。

图1

图2

例题中我们画出二次函数的图像（如图1），并截取-1＜x＜4的部分（红色部分）。根据t的取值范围为多少时函数y=x2-2x+3与函数y=t有交点，可以在图中尝试画几条y=t的直线，如图2。由此可以直观得到两函数只有在2≤t＜11时才有交点，解法可谓绝妙。

同学们，厘清二次函数中的数形关系，只是学好二次函数的基础，二次函数与方程、不等式、其他函数、几何图形及生活实际都能整合联系，因此也成为中考压轴考点之一。更深入的理解还需同学们在具体实践中继续磨砺。