表格中的二次函数

文夏乾冬

（作者单位：江苏省南京江宁开发区学校）

我们知道，函数有三种表示形式：表达式、表格、图像。很多同学在解决相关给出表格类的二次函数问题时，往往会转化成求函数表达式，或者画出图像求解，反而忽视了表格的优越性。下面我们举例如何利用表格的特点解决“表格中的二次函数”问题。

一、表格中的自变量间距相同

表格中自变量间距相同，保证了连续点的对称性。可以根据表格中y的相同一组或多组值，找出顶点坐标，再根据对称性，找到其他关于对称轴对称的点的坐标。

例1 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

则当x=5时，y的值为_______。

【分析】根据表格的对称性得出函数的对称轴是直线x=2，找出函数图像上的点（5，y）和点（-1，10）关于直线x=2对称，即可得出答案。

【解答】根据表格得出函数的对称轴是直线x=2，所以函数图像上的点（5，y）和点（-1，10）关于直线x=2对称，即当x=5时，y=10，也可以根据表格的对称性补全表格：

故答案为：10。

例2已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

_____x_____y…__…___-4__3___-3__-2__-2__-5__-1___-6__0___-5__……_

则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的正数解x1的取值范围是（ ）。

A.0＜x1＜1 B.1＜x1＜2

C.2＜x1＜3 D.3＜x1＜4

【分析】求方程ax2+bx+c=0的解，也就是当y=0时x的值，在表格中很容易看出y=0介于3与-2之间，那么对应的x的值在-4与-3之间，也就是负数解的范围。根据表格中数据的对称性，可以找出顶点坐标为（-1，-6），从而找出正数解的范围。

【解答】根据表格的对称性补全表格：

____x____y…_…__-4_3__-3_-2_-2_-5_-1__-6_0__1__-5_-2__2__3__……

在表格中很容易看出y=0介于-2与3之间，那么对应的x的正的值在1与2之间，也就是正数解的范围是1＜x1＜2，故选：B。

【点评】此题还可以利用一般式或顶点式先求出二次函数的解析式：y=x2+2x-5，然后解方程：x2+2x-5=0，求出方程的解：x1= 6-1，x2=-6-1，然后判断出 6-1在1与2之间，从而得到答案B。对比两种解法，我们可以看出利用表格特点解题的简便与快捷。

二、表格中的自变量间距不同

表格中自变量间距不同，破坏了连续点的对称性，我们可以通过补充遗漏的自变量的值，使表格中自变量间距相同，利用表格的对称关系，最大限度完善x和y的对应值。

例3二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表：

x y……-3 7-2 0 0 1 3-8-9-5 5 7……

则当y≤0时，x的取值范围是___。

【分析】本题中可以发现自变量间距不同，可以补充遗漏的自变量的值，使表格中自变量间距相同。

x_y_…_…_-3_7__-2_0_____-1__0__-8_-____9 1_2__3-5___4_ 5_7_……

然后再根据表格的对称性补全表格，从而得到答案。

【解答】补全表格如下：

x_y_…_…_-3_7__-2_0_-1_-5_-8_-9_-_____8-5 0__1__2__3_4_0_5_7_……

从而得到：当y≤0时，x的取值范围是-2≤x≤4。

例4 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表：

_______x________y…___…___0____2____1____4____3____2___4___-2___…_…_

则下列判断中正确的是（ ）。

A.抛物线开口向上

B.抛物线与y轴交于负半轴

C.当x=-1时，y＞0

D.方程ax2+bx+c=0（a≠0）的负根在0与-1之间

【分析】自变量间距不同，补充遗漏的自变量的值，补全表格，然后根据表格中数据以及数据的变化趋势解决问题。

【解答】补全表格如下：

____x____y…__…__-1__-2__0___2___1___4___2___4___3___2__4__-2_……

从表中可以看出：当自变量x的值增大时，y的值先变大后变小，可以发现抛物线开口向下，A选项错误；当x=0时，y=2，得到抛物线与y轴的交点为（0，2），在y轴正半轴，B选项错误；当x=-1时，y=-2＜0，C选项错误；y=0时介于-2与2之间，那么对应的x的负值在-1与0之间，所以方程ax2+bx+c=0（a≠0）的负根在-1与0之间，D选项正确。故选：D。

【点评】本题可以通过求函数关系式来解决，但过程涉及多个运算（代入求值、解方程组、解一元二次方程等），也可以通过画图像来解决，但由于点较少，很难准确画出，给准确结论的得出带来一些不确定因素，导致解题的效率和准确率大大降低。