改编课本例题 结构一以贯之

文谢蓓蓓

（作者单位：南京外国语学校仙林分校麒麟中学）

函数是重要的数学模型，用二次函数解决问题是中考的热点。教材中的例题蕴含着丰富的知识经验和思想方法，往往是中考的重要素材。下面对苏科版《数学》教材中“5.5用二次函数解决问题”的问题2以及练习进行改编并延伸（见例题），希望帮助同学们加深对此类问题的理解。

例题某产品每件的成本是12元，已知销售单价x元与日销售量y件之间的关系式是y=200-10x，当销售单价定为多少元时，日销售利润最大？请求出此时的最大利润。

【解析】应用题中的总利润通常可以使用两种办法获得：（1）总售价-总进价，即单个售价×销量-单个成本×销量；（2）单个利润×销量，即（单个售价-单个成本）×销量。结合本题，使用（1），可列出代数式x（200-10x）-12（200-10x）；使用（2），可列出代数式（x-12）（200-10x）。无论是从思考的方式上还是从代数式形式上看，方法2更加简洁，更推荐使用。此时，我们会发现总利润式子的结构是C=A·B（A、B分别代表单个利润、销售量），接下来我们也可以从结构的角度解决此类问题。

解：设日销售利润为w元，根据题意可得：

w=（x-12）（200-10x）

=-10x2+320x-2400

=-10（x-16）2+160。

当x=16时，w的值最大，最大值是160。

答：销售单价定为16元时，日销售利润最大，此时的最大利润是160元。

变化1某产品每件的成本是12元，已知每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如图所示，要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

【解析】根据总利润的结构C=A·B，只需要表达A和B，A在上题中已经表示过了，那么只需要表示B即可。图中的线段告诉我们，日销售量y是销售价x的一次函数，所以可以利用待定系数法先求出y和x的函数关系式，这样就可以将这个问题转化为例题来解决。

解：设y=kx+b，根据题意可得：

∴y=-10x+200。

下面的做法可参考例题，略。

变化2某产品每件的成本是12元，已知每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）y（件）13 70 14 60 15 50……

若日销售量y（件）是销售价x（元）的一次函数，要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

【解析】一次函数常见的表达形式有关系式、图像和表格三种，此题中给出了一次函数的表格形式。和变化1一样，只需要表示B即可。题中告诉我们日销售量y是销售价x的一次函数，所以，可以利用待定系数法先求出y和x的函数关系式，这样就可以将这个问题转化为例题来解决。

解：设y=kx+b，根据题意可得：

∴y=-10x+200。

下面的做法可参考例题，略。

变化3某产品每件的成本是12元，若以成本价销售，每天的销量是80件。如果每件产品的销售价每涨价1元，产品的日销售量就减少10件，要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

【解析】此题中“每涨价1元，产品的日销售量就减少10件”其实就是一次函数关系的文字描述。那么在解题方法上也有三种：（1）根据题意，价格为13元时，销量是70元，下面可以利用待定系数法求出销售量y（件）与售价x（元）的函数关系式：y=-10x+200，解题思路和变化1类似；（2）从结构入手，B的结构应该是“D-E”，即“80-10（ ）”，而括号里的内容就是“涨价后增加了多少钱”，若设每件产品的销售价为x元，显然可用“x-12”表示，所以B可以表示为80-10（x-12）；（3）借助（2）中的思路，设每件产品涨价x元，那么E中括号里的内容可以直接表示为x，不一样的是A的代数式也要变成x。归根结底，就是用不同的方法表示A或者B。

解法1：设每件的销售价为x元，销售量为y件，根据题意知y=kx+b，可得：

∴y=-10x+200。

下面的做法可参考例题，略。

解法2：设每件的销售价为x元，日销售利润为w元，根据题意可得：

w=（x-12）［80-10（x-12）］

=-10x2+320x-2400。

下面的做法可参考例题，略。

解法3：设每件涨价x元，日销售利润为w元，根据题意可得：

w=x（80-10x）

=-10（x-4）2+160。

当x=4时，w的值最大，最大值是160。

答：销售单价定为16元时，日销售利润最大，此时的最大利润是160元。

变化4某产品每件的成本是12元，若每件产品以售价17元销售，每天的销量是30件。如果每件产品的销售价每降价1元（价格不可低于成本），产品的日销售量就增加10件，要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

【解析】首先仍然明晰结构C=A·B。若设每件产品的销售价为x元，A可以表示为“x-12”。根据变化3中的思路，可以利用待定系数法表达B中销售量和销售价之间的关系，也可以根据题意表达B中的式子为“30+10（17-x）”。当然也可以设降价x元，间接表达出A和B。

解法1：设每件的销售价为x元，销售量为y件，根据题意知y=kx+b，可得：

∴y=-10x+200。

下面的做法可参考例题，略。

解法2：设每件的销售价为x元，日销售利润为w元，根据题意可得：

w=（x-12）［30+10（17-x）］

=-10x2+320x-2400。

下面的做法可参考例题，略。

解法3：设每件降价x元，日销售利润为w元，根据题意可得：

w=（17-x-12）（30+10x）

=-10（x-1）2+160。

当x=1时，w的值最大，最大值是160。

答：销售单价定为16元时，日销售利润最大，此时的最大利润是160元。

变化5某产品每件的成本是12元，若每件产品以售价17元销售，每天的销量是30件。如果每件产品的销售价每降价3元（价格不可低于成本），产品的日销售量就增加30件，要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

【解析】和变化4相比，只有一句话不一样，其实“每件产品的销售价每降价3元，产品的日销售量就增加30件”在数量关系上就等同于“每件产品的销售价每降价1元，产品的日销售量就增加10件”，所以就可以把变化5转化为变化4。类似地，如果出现“每件产品的销售价每降价0.5元，产品的日销售量就增加5件”，同样可以转化为变化4。