应力松弛试验中初始坡度对非粘滞阻尼模型参数的影响

修国众，时 宝，贺英政，王丽英

（海军航空大学，山东烟台264001）

非粘滞阻尼材料是应用很广泛的一种阻尼材料，这类材料受力后的变形过程是一个随时间变化的过程，力卸载后的恢复过程又是一个延迟过程。因此，这类材料的应力不仅与当时的应变有关，而且与以前的变化过程有关。

在应力松弛试验中，非粘滞阻尼材料弯曲到固定应变时需要一段时间过程，并不能理想地假设通过单位阶跃函数在初始时刻达到固定应变，这段从初始时刻到固定应变的过程称为初始坡度[1-2]。由于非粘滞阻尼材料具有较长的记忆功能，对试样施加预应力时由于初始坡度的存在，会对试验中数据的拟合产生一定影响，从而影响非粘滞阻尼模型参数的准确性。

为了描述非粘滞阻尼材料的性质，国内外学者提出了大量的非粘滞阻尼材料应力应变本构关系模型，广义上分为微分型和积分型2 大类，微分型本构方程与积分型本构方程是等价的。根据Boltzmann叠加原理，可以得到具有较大灵活性的标准流变学积分型本构关系，其中主要为松弛型积分模型。现在越来越多学者采用积分型本构模型来描述非粘滞阻尼模型[3]：

式（1）中：σ( t )、ε( τ )分别表示应力和应变；⊗称为Stieltjes卷积；G( t )是松弛模量。

由于粘弹性材料的衰减记忆特征，松弛模量一般是连续单调非增函数。卷积型非粘滞阻尼模型最早在1958 年由M.A.Biot 提出，并由J.Woodhouse，S.Adhikari 等人进一步发展，包括对该模型系统的动力学分析、模态识别等方面都进行了深入研究[4]。核函数G( t )，在不同领域的文献中有许多不同的描述，如：延迟函数，后影响函数，松弛函数等。在G( t )=Cδ( t )的特殊情况下（δ( t )为Dirac delta 函数），该阻尼模型退化为传统的粘滞阻尼模型。因此，该模型也可以称为粘滞阻尼的一般形式。

1 松弛函数为幂指数函数时初始坡度的影响

对于非粘滞阻尼材料的完整力学特性，必须考虑应力和应变历史的时间演化，也就是应力历史σ( t )和应变历史ε( t )。因此，经典拉伸试验无法描述时变应力应变关系，须要进行另一种试验，即蠕变和松弛试验[5-6]。蠕变试验是评估应变响应随单位阶跃函数施加应力的时间演化。相反，在松弛试验中，由于施加的应变历史遵循单位阶跃函数，因而根据应力历史测量响应。然而，无论蠕变试验还是松弛试验都是理想化的，实际蠕变和松弛试验与上述理论描述不同，因为用于这些试验的试验机无法在施加应力和/或应变历史中再现单位阶跃函数，松弛试验期间的变形历史如图1所示。

另一方面，材料和结构的应力松弛试验的参考标准（ASTM E328-02标准[7]，2002）并未给出有关初始应力初始坡度的具体指示。任何情况下的应力施加速率都应合理快速，但不应受到冲击或振动，使应力施加期间的任何松弛都很小。初始坡度的速率根据松弛试验所选的总应变选择。变形取定值ε0时的时间t与试验机以及试验人员都有严格的关系[8]。通常初始坡度的速率越高，t0越小。因此，在初始坡度的速率越高时，通常忽略这种影响，假设t0=0。然而，对于幂律[9]情况，在相应的应力历史上产生了无穷大的值，这在参数的评估上造成了显著的误差。

图1 应力松弛试验过程中实际应变过程Fig.1 Real deformation history during the relaxation test

在理想的应力松弛试验中，应变是在单位阶跃函数的作用下达到指定的应变值ε( t )=ε0U( t )，其中，U( t )是单位阶跃函数。

高聚物的力学松弛行为是其整个历史上诸松弛过程的线性加和的结果。高聚物的蠕变是整个负荷历史的函数，对于蠕变过程，每个负荷对高聚物的变形的贡献是独立的，总的蠕变是各个负荷起的蠕变的线性加和，对于应力松弛过程，每个应变对高聚物的应力松弛的贡献也是独立的，高聚物的总应力等于历史上诸应变引起的应力松弛过程的线性加和[1]。由Boltzmann叠加原理得到卷积型应力应变关系：

等式成立的条件是ε( 0 )=0。即在理想的状态下：

考虑非粘滞阻尼模型实际的应变历史是

由Blotzman叠加原理，当ε( 0 )=0 可得：

取G( t )是幂指数函数[10-12]的形式G( t )=+b，或

即：

松弛试验期间，实际的应变历史如式（4）所示，由式（5）可得：

当0 ＜t ≤t0时，

当t ＞t0时，

所以，

2 松弛函数为指数函数时初始坡度的影响

如果G( t )取指数函数[13-16]的形式：

考虑理想状态下，即应变如式（3）所示，由式（5）可得：

即

松弛试验期间，实际的应变历史如式（4）所示。

当0 ＜t ≤t0时，

当t ＞t0时，

所以，

3 数值模拟

G( t )是幂指数函数的形式，在文献[8，13]涉及到，所以只考虑G( t )取指数函数的形式。当c0=0 ，a1=c1=1，n=1 时，取不同的b1和t0，则相应于如图1所示的应变历史的应力变化如图2所示。

在t=t0时应力取得最大值：

图2 相对于图1取不同b1 和t0 值的变形过程中的应力变化Fig.2 Stress history for the deformation history in Fig.1 for different value of b1 and t0

1）初始坡度的存在对于非粘滞阻尼材料参数bk的确定产生重大影响；

2）在实际试验中t0必须进行测定，并且不可忽略。

在应力松弛试验中，考虑在理想状态下，没有初始坡度的影响，应力变化如图3 虚线所示。在实际试验中有初始坡度的影响应力变化如图3实线所示。显然，没有初始坡度的影响，应力呈现指数式衰减。而由于初始坡度的影响，应力变化相对较缓慢，两者之间还是存在较大变化。因此，在实际应用试验中不可忽略初始坡度，否则，会对参数的确定产生较大影响。对于蠕变试验，也可以用同样的方法进行计算分析。

图3 应力松弛试验中初始坡度的影响Fig.3 Influences of initial ramps on relaxation experimental test

4 结论

非粘滞阻尼材料的力学性能通过应力松弛试验或者蠕变试验获得，通常只是假设在理想的状态下在初始时刻通过阶跃函数使得应变应力达到设定的值。然而在实际试验中必然有初始坡度存在，假定初始坡度是线性的，初始坡度的存在对试验中应力变化产生影响，所以对非粘滞阻尼材料参数的确定不得不考虑初始坡度的影响。

本文考虑了松弛函数的2 种形式：一种是幂指数函数的形式，得到的结论更具有一般性，涵盖了在文献[13]中所讨论的分数阶最简单的模型Scott-Blair 模型的结果；另一种是指数函数的形式，在理论上和数值分析上都可看出初始坡度对应力变化产生影响，从而影响到拟合非粘滞阻尼材料的参数的准确性。所以，在松弛试验中，初始坡度的影响不可忽略。同样，在蠕变试验中也会产生初始坡度的影响，研究和分析方法类似。