低频信号的混沌高斯化检测方法

舒轶昊，张 洋，张 坤，刘林芳，董道广

（1.92919部队，北京100142；2.海军航空大学，山东烟台264001；3.92279部队，山东烟台264000）

近年来，低频信号因传输远、受电离层影响小、绕射能力强等优势，获得低频授时、导航、标帜、地震监测等领域的广泛应用，且因其穿透海水能力强，便于进行海洋探测研究。但是，低频信号传输若受到恶劣大气环境的非高斯噪声影响，载波信号到达接收端时将呈现功率小、信噪比低的特点，给信息传输带来不利影响，使通信联络不畅甚至中断。

低频通信的噪声干扰主要来自大气天电，且在水下容易衰减，因而使得接收信噪比很低。

传统的大气天电噪声处理方法是限幅方法[1-5]，此方法在20 世纪70 年代被普遍采用，由于缺少理论上的突破，几十年来一直没有较大的革新。其具体方法是将接收信号中被脉冲噪声污染的部分一并舍去，当大气天电噪声中脉冲成分所占比例较小时，它对通信系统的接收性能有一定的改善。当背景噪声较强时，去噪效果较差。

为此，本文着眼于信号处理算法的改进，探索新的大气天电噪声处理方法，将混沌理论技术应用到低频数字调制信号的处理过程中，结合混沌振子高斯化特性，实现大气噪声背景下低频弱信号的检测。

1 各类噪声对混沌相轨迹变化的影响推导

运用混沌振子检测弱信号，当没有噪声影响系统时，振子处于平滑的大尺度周期状态[6-13]。若外加强噪声n( t )为先验信息未知、均值为0的色噪声，则混沌振子可表述为：

式（1）中：α1x+α2x3为非线性恢复力，α1和α2分别为该结构中的一阶和三阶系数；δ 为阻尼比；λ cos( )

ωt代表待测激励信号，λ、ω 分别为激励信号的幅度和角频率；ε 为策动力的加权系数；n( )

t 为噪声。

由假设，这里的噪声均值E[n ( t )]=0，用Δx( t )表示噪声对x( t )的小扰动，则噪声存在的情形下，系统方程可记为：

进一步展开得到：

略去Δx( t )的高阶无穷小，且令c( t )=1-3x2，从而得到：

式（4）可写成矢量微分方程的形式：

则

式(6)中，ϕ 代表系统的状态转移。

由于式(6)中第1项为暂态解，将很快衰减为0，故仅需考虑第2项，由此获得：

X( t )的均值期望为：

X( t )的均方差为：

式（9）中，RXX( t,t )为输出噪声的自相关函数，可以证明：

由式（10）可见，该过程是循环平衡过程，说明噪声对系统相轨迹不会产生根本影响，仅仅会使系统的相轨迹变得粗糙，由于该推导过程未涉及噪声分布问题，也就意味着对于任意分布（包括非高斯）的零均值噪声都适用，且混沌振子输出的结果不仅使得信噪比提升，而且改变噪声分布形式，可对非高斯噪声产生高斯化的作用[14-16]。

2 基于混沌理论的大气噪声处理方法

2.1 快速精确的系统方程解

运用混沌振子进行低频微弱信号噪声高斯化，并最终实现信号检测。首先，须构建一个对低频微弱信号极其敏感的混沌振子，并使该混沌振子处于临界混沌状态下；随后，将待测信号输入该振子系统中，根据混沌分形状态的变化实现噪声与待测信号的甄别。在此过程中，混沌方程的求解是先决条件，且运用混沌振子实现低频数字信号的实时处理，需要在极短的码元周期内完成方程求解过程，这就对算法的实时性提出了要求。

理论上，求混沌振子数值解时，在没有实时性要求的情况下，方程数值解法的精确度越高越好。但是，越精确的数值解法，需要的迭代次数越多，计算量也随之增大。目前，共有3种随机微分方程求解方法：Euler法、Milstein法及Runge-Kutta法[14-16]，其算法精度逐渐精确，而计算量也依次增多；为保证检测同时具有有效性和可靠性，就须既能足够准确（不改变混沌振子的混沌特性），又满足速度快，计算量小的数值解法，需要在精确度和时间效率方面进行权衡和优选。

2.2 混沌振子相变快速判别方法

利用混沌振子对参数的摄动极其敏感，从而使系统状态跃迁这一特点进行信号检测，就是将待测信号作为混沌振子的一种周期扰动，噪声虽强烈，但对其状态的改变无影响。混沌振子有对周期信号敏感的特性，因而即使幅值小，其周期特性一样会激发振子质变。此时，可通过辨识系统状态跃迁作为微弱低频信号检测的依据。所以，检测的关键在于对振子相变的正确判别，对于码元快速变化的数字信号来说，现有的传统相变判别方法难以确保短时间内对振子相变的正确判别。因此，在利用混沌振子对微弱低频信号检测时，必须选择快速混沌振子相变判别方法。

2.3 低频弱信号检测的混沌振子设计

在对不同调制方式的数字低频信号进行噪声高斯化和信号检测时，由于每个码元持续时间内，载波参量诸如频率、振幅和相位等的变化规律不同，振子的结构亦不相同，须根据不同的调制方式，合理设置振子内置驱动力的频率、初相以及振子的个数等。

3 基于混沌理论的低频2PSK信号检测

3.1 2PSK信号的混沌检测流程

PSK 是运用载波相位的不同来传递数字信息的调制方式，具有优异的抗干扰性能和较高的频带利用率，在数字通信领域占有极其重要的地位。

随着数字低频通信技术的不断发展，其发射系统功率过高对调制方式的限制也将逐步改善，PSK信号等在低频授时、探测及通信中的应用将会日益获得更多关注。

二进制PSK信号（即2PSK）的波形表达式为：

式（11）中：Tb为码元周期；f1为载波的频率；φ1、φ2为2PSK 初相；aˉn是an的反码；g(x)表示不归零矩形脉冲。

2PSK 信号的波形在各个码元周期内依据数字码元的变化而改变，图1 给出了调制波形随基带码元变化的情况。

在实际的低频信号传输过程中，低频信号不可避免地会受到2 类主要噪声形式（高斯白噪声和大气天电噪声）的干扰。

本文将结合混沌振子对非高斯噪声的高斯化特性和微弱周期信号的检测优势，给出低频2PSK 信号的混沌高斯化和信号检测算法。

图1 2PSK信号的传输波形Fig.1 Transmission waveshape of 2PSK signals

基于上述分析，2PSK 信号中数字信息的差异性有赖于载波相位的变化。因此，可以利用相位差别来调整内置周期策动力的相位参量，从而实现噪声高斯化和信号检测，具体算法过程如下所示。

1）模型参数设置。检测模型设定为Van der Pol混沌振子[17-20]，其表达式为：

调整系统策动力强度为λ0，且令该振子状态处于临界混沌态，采用欧拉算法[21]作为振子方程的数值求解方法；

2）接收数字信号为S2PSK( t )=a cos( 2πf1t+φ )，由过程1的设置，若振子相位θ0=φ，则输入激励与内置策动力相位一致，将使得振子总策动力变为λ=λ0+a，超过临界阈值。此时，混沌振子状态将会从混沌态跃迁到周期态；反之，若振子的相位θ0=φ+π，则总策动力将变为λ=λ0-a，低于临界阈值，混沌振子则仍会驻留在混沌状态；

3）将混沌振子的内置频率设置为码元“1”或者“0”时载波的初相之一，即θ0=φ1或者θ0=φ2。在每个码元周期的时间内，通过主频功率比值[17]的变化来确定振子是否发生相变，在完成大气天电噪声高斯化的同时判定输入码元。

3.2 检测实验分析

采用一组随机基带码元调制产生的低频信号来验证本文中混沌检测算法的性能。基带码元数目为106个，调制方式为2PSK，主要参数设定为：信号的幅度为10-4V，载波频率为f=1 kHz，码元“1”对应的初相为φ1=0，码元“0”对应的初相为φ2=π，码元传输速率设为RB=60 波特，单位码元周期内的采样率为3 000 Hz。

合理设置振子的基本参数，调整策动力强度使振子处于临界状态。图2 给出了接收2PSK 信号的混沌检测过程，按照主频功率比数值[17]的变化判定混沌相态是否发生跃迁，若主频功率比值Rp＜Rp0，码元判决结果为“1”，否则结果为“0”。

信道噪声建模包括高斯白噪声（AWGN）和大气天电噪声（SN）2 种，在理想同步条件下进行实验分析。振子相变判决准则为主频功率比数值，设置信噪比Eb/N0的范围为：0～10 dB，图3给出了2PSK信号检测的理论实验结果。

由仿真结果可以看出：在高斯白噪声条件下，本文的算法对2PSK 信号的检测性能优于相干检测；而如果以Duffing 振子[11-12]作为检测模型时，算法将无法达到传统相干检测算法的性能。本文算法相比传统相干检测，Eb/N0有大于1 dB 的性能增益。

在大气天电噪声（SN）条件下，由于噪声中包含大量强脉冲成分，传统相干检测和本文混沌检测算法的性能都急剧下降，在Eb/N0=10 dB 时，系统的检测误码率很高（PE=2.0×10-1）；而此时文中算法的检测误码率约为8.2×10-3，其检测性能相比传统相干检测算法提高了大约2个数量级。

对比本文算法在高斯白噪声、大气天电噪声2 种信道环境下的信号检测性能变化，可以证实基于混沌的噪声高斯化及检测算法的性能优于传统方法，且通过振子形式及参量改进，可进一步发挥其高斯化特性，从而获得更优的检测性能。

图2 2PSK信号的混沌检测过程Fig.2 Chaotic demodulation process for 2PSK signals

图3 2PSK信号的检测结果Fig.3 Demodulation results of 2PSK signals

4 总结

有效地在强大气天电噪声条件下增强弱信号检测能力是亟待解决的一个重要问题。本文通过研究混沌振子对非高斯噪声的高斯化特性，实现对低频信号的可靠检测。本文提出的方法可在现有调制体制不变的前提下，实现低频信号检测可靠性的提升，从而实现低频信号在非高斯大气天电噪声环境下的可靠传输。实验结果证实了文中算法相比传统检测算法的性能优势，尤其在复杂大气天电噪声背景下混沌检测算法具有更强的可靠性，这对提高现有低频信号接收的性能具有一定的指导意义。