关于复变函数求极限的方法浅谈

彭兴媛

摘  要：在学习复变函数这门课程时，求极限是复变函数这一章当中非常重要的知识点。本文就关于求复变函数极限的常用方法进行了浅谈，希望能给予初学者一些参考。

关键词：复变函数  极限  二元函数

中图分类号：O151         文献标识码：A            文章编号：1672-1578（2019）11-0022-01

1   引言

在高等数学里，求函数的极限是一个非常重要的内容，并由此展开了函数的连续、导数等等内容，同样，在复变函数与积分变换这门课程里，求复变函数的极限也存在同样的地位，所以对于给出的一个复变函数判断其极限是否存在，若存在则极限是多少这样的问题就变得非常重要。从本文的讨论中还可以发现复变函数与二元实变量函数的联系相当紧密。

2   求极限的方法

2.1 利用复变函数极限的定义

设函数f（z）在z0的某个去心领域内有定义，若对任意

给定的正数ε，总存在正数δ（ε），使得对于满足不等式

0<|z–z0|<δ（ε）的一切z，其函数值f（z）都满足不等式

|f（z）–A|<ε，那么，常数A就叫做函数f（z）当z趋向z0时的极限，记作：f（z）A→A（当z→z0）。值得注意的是，定义中z→z0的方式是任意的。现在我们通过例子来理解如何利用定义求函数极限。

例1：若z→z0时，有f（z）→A，则：当z→z0时，有|f（z）|→|A|。

证明： 因为在z→z0时，有f（z）→A。

根据定义可得，对任意给定的正数ε，总存在正数

δ（ε），当一切z满足0<|z–z0|<δ（ε）时，有|f（z）–A|

<ε。

且又有||f（z）|–|A||≤|f（z）–A|<ε，故由极限定义可知该结论成立。

可见利用定义证明极限存在的关键就在于能否找到

δ（ε）。

例2：证明函数f（z）=e1/z在z趋向0时的极限不存在。

证明：因为z趋向0的方式是任意的，所以现在取两种特殊的趋近方式：

第一种，当z沿着正实轴趋于0时，此时复变函数退化成实变量函数f（x）=e1/x，且该函数趋向于+∞。

第二种，当z沿着负实轴趋于0时，此时实变量函数f（x）=e1/x却趋向于0，即z沿着不同方式趋向0，函数f（z）将趋向于不同的值，故由极限定义可知该函数的极限是不存在的。

2.2 利用复变函数极限的定理

设f（z）=u（x，y）+iv（x，y）， z0=x0+iy0， A=a+ib， 那么f（z）→A（当z→z0）的必要与充分条件为：u（x，y）→a， v（x，y）→b（其中（x，y）→（x0，y0））。

下面，我们通过典型例题来理解如何利用该定理证明函数的极限是否存在。

例题：证明函数f（z）=Re（z）/|z|，在z趋向0时的极限不存在。

证明：方法一，可设z=x+iy，则函数

f（z）=Re（z）/|z|=x/，

所以u（x，y）==x/，v（x，y）=0。

当z沿直线y=kx趋于0时，有

u（x，y）=  x/= ±1/。

显然极限值随k值不同而不同，因而根据高等数学中所学的二元函数极限的定义可知，u（x，y）在（x，y）趋于（0，0）时的极限不存在，虽然v（x，y）的极限存在，但根据本定理可知该复变函数f（z）的极限仍是不存在。

实际上本例题除了利用定理求极限外，还可以考虑另一种更为简单的方法。

方法二：设z=r（cosθ+isinθ）（将变量z表示成三角表达

式），其中r=|z|，θ=arg（z），则f（z）=cosθ。

所以，当z沿着不同的射线θ=arg（z）趋向于0时，cosθ趋于不同值，即f（z） 趋于不同值，故极限不存在。

将该方法与定理进行比较，不难发现，此方法解题更为巧妙，且计算难度大大降低。

3   结论

我们可以看到无论哪种方法都能将复变函数的极限存在与否，如果存在且是多少都能求出，但每种方法各有优缺点。利用定义求极限关键在于能否找到合适的δ（ε），如果函数较为复杂，则δ（ε）不容易找出，而根据定理求极限的优点在于将复变函数求极限的问题转化成了两个二元实变量函数求极限的问题，也就是将复变函数的知识转变成高等数学的内容，利用学过的知识解决现在的问题，且该方法较为直观，操作步骤简便，但同样的，如果二元实变量函数的表达形式较为复杂，则求极限也会相应变得困难，所以在做题时，一定要先考察函数形式，再采用合理简便的方法。

参考文献：

[1] 苏变萍，陈东立.复变函数与积分变换（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 李红，谢松法.复变函数与积分变换（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3] 楊巧林.复变函数与积分变换（第3版）[M].北京：机械工业出版社，2013.

[4] 西安交通大学数学研究室.复变函数（第4版）[M].北京：高等教育出版社，1996.