“由数想形”——“反比例函数图像的画法”教学设计及反思

苏州工业园区星汇学校(215000)郝金良

一、教材说明

苏科版八年级下册第十一章“反比例函数”第2 节“反比例函数的图像与性质”(第1 课时).

二、重难点阐述

函数关系式的“式结构”与函数图像的“形结构”之间的关系.

三、教学目标

(1)引导学生通过函数关系式分析出反比例函数图像的一般特性.

(2)借助对函数关系式的分析和绘图过程发展学生合情推理能力，体验解决问题方法的多样性.

(3)通过经历问题解决的过程，让学生体验到成功和快乐.

四、教学设计

环节1反比例函数概念的回顾

教师引导学生回忆反比例函数的概念，并类比一次函数的研究方法，明确“概念——图像——性质——用途”的函数研究套路.

师生活动如果学生回答形如的函数是反比例函数，教师可进一步追问:这样的函数一定是反比例函数吗? 通过追问让学生认识到:当我们描述一个概念时，除了要描述它的形式，一定还要加上它的条件.

环节2分析函数关系式，猜想图像的“大致”样子

(1)教师给出两副图像，学生进行分析判断.

图1

图2

通过图1，结合函数关系式y=-→xy = 6-→x,y同号-→函数图像不经过第二象限.

通过图2，结合函数关系式y=-→x/=0,y /=0-→函数图像与坐标轴不相交.

进一步对函数关系式进行分析，图像所在的每个象限内，y随x的增大而减小，图像所在的每个象限内，图像应该是自左而右不断下降的.

师生活动(1)上述分析过程不分先后，只要学生能说出道理，都要给予充分的肯定.通过追问，让学生不断自我完善，并在所画图像中修改，直至出现函数图像“大致”的样子.

(2)通过上述推断，学生画出反比例函数“大致”的样子.

环节3作图三部曲:“列表、描点、连线”精致画图

(1)学生自主完成画图过程后，对图3、图4进行分析，明确作图新经验——用平滑的曲线连接.

图3

图4

师生活动对于连线的步骤，学生从一次函数的经验中迁移过来，很容易用折线相连，这只是单纯的模仿.此时，要引导学生进行理性的分析，与一次函数不同，在反比例函数中，，所以函数图像不可能与坐标轴有交点.而值又可以无限的变大、变小，所以图像可以无限的接近坐标轴，但不能相交.根据上述分析，函数图像显然应该由两部分组成，且不可能是直线.也可以让学生在任意两个点之间，再多取几个点，也可以发现它们不在一条直线上，从而得出绘制反比例函数图像的新经验——用平滑的曲线连线.

环节4引导学生将“精致”的图像与之前“大致”的图像进行对比，发现“新作图三部曲”.

五、设计自述

5.1 重难点的确立

《课标》强调:“教师教学应以学生的认知发展水平和已有经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教”.反比例函数是学生接触到的第二个重要函数，在此之前，学生已经系统学习过一次函数的相关知识，掌握了画任一函数图像的“通性通法”——“列表、描点、连线”.这些方法经验将会对绘制反比例函数的图像产生正迁移.但如果直接让学生按经验绘图，仅仅是对技能熟练度的训练，并没有挖掘出教材中所蕴藏的数学价值.

基于以上思考，本节课设置了“由数想形”的思考活动，并将重难点确立为对函数关系式的“式结构”与函数图像的“形结构”之间关系的探索.在教学中让学生经历辨别、猜想、完善、画图、对比等一系列数学活动，不仅实现了对已有知识的迁移，还渗透了数学的思想，完善了数学的思考.

5.2 创新之处

(1)一反常态，激发思考

通过对一次函数作图的基本回忆，可以启发学生类比联想，这样的设计虽然符合学生的认知规律，却无法让学生感受到“数”与“形”之间的内在联系.如何让学生自然的想到在动手画函数图像之前，可以先通过对函数关系式的分析，对函数图像进行大致的判断.如果直接将问题抛给学生，学生必然会感到很突兀，因为在学习一次函数的图像时，并没有用这样的思维方式去思考问题.所以本处先给出两副图像，让学生进行理性的分析和判断，在分析中产生联想，通过函数的“式结构”可以想象出图像的“形结构”，从而在认知上，产生质的飞跃.学生猜想出图像“大致”的样子后，必然会产生好奇“我的猜想是否准确呢? ”此时，再让学生进行画图，既合情合理，又恰到好处.让学生的行为，不再是老师的指令，而是学生意念的驱使，思维的必然.

这样的设计让学生经历了对反比函数图像的猜想，动手验证，最后完善的基本步骤，既可以激发学生的学习兴趣，启迪学生智慧，体验数学探究的过程，享受结果的完美，又尊重了学生的主体地位，历练了学生的思维能力，还能不断彰显数学的思维之美.

(2)过程严谨，结果完美

数学的美不仅在于呈现，更重要的是对呈现的追寻.本节课通过对函数关系式的辨别，以及辨别中生成的资源借势而上，让学生在辨别中形成“新的经验”.这样做虽然比直接画图要多花时间，但更能体现出思维的力量，更有助于学生理解函数图像的“形结构”是由“式结构”决定的这一数学本质.技能可以模仿，思维不能复制，这种思维能力才是我们要教给学生的，也是学生真正需要领悟的，这才是我们教育的价值所在.只有当学生具备了这种思维能力，才能会画、会想，想得出，想的妙，画得出，画的美.