分层变式，改编课例——《“二元一次方程组应用题”教学建议》有感

广东省广州市育才中学(510080)雷 娟

笔者2019年3月在广州市越秀区全区教研活动作《“七年级下代数”教材分析和教学建议》公开发言，其中讲到《“二元一次方程组应用题”的教学建议》，教研组长总结点评“即使生源层次不同，每个教师听后都会有所收获”，同时获得在场教师好评.笔者会后反思感悟，再结合所听两节相关公开课，就二元一次方程组应用题课型如何设计教学，整理思路，总结如下:

一、分层递进，根据生源差异，设计层次不同的题组

针对参差不齐的生源，因人而异，因材施教，根据学生的认知差异设计由浅到深的系列题组层层递进，步步深入，全面培养不同学生的学习能力，让每个学生学有所得[1].具体做法为设计三组层次不同的题组.第一组基础题针对学弱生，设计容易入手，简单易明的基础题，注重基础知识的掌握和基本能力的培养;第二组中等题针对中等生，设计难度中等，巩固基础，灵活运用的题组;第三组提升题针对学优生，设计难度较大，拓展提升，综合运用的题组，如期末统考或中考题的压轴题等.

下以一节笔者任教的二元一次方程组应用题专题课为例(所任教班级生源两级分化较大):列方程组解应用题，首先找出已知量和未知量，关键是找出题目中的两个等量关系.教学中首要先引导学生找出题目的等量关系关键句或者分析题意找出隐含的等量关系.面对学弱生，首先以熟悉简单的实际问题入手，降低难度，使学生容易入手，教学中可以放慢速度，引导学生充分审题，学会在题干用划线法找出等量关系句，手把手找出等量关系.

基础题 例1李巍有中国邮票和外国邮票共335 张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的3 倍少17 张.中国邮票和外国邮票各多少张？

分析:题目中含有两个未知数，列出两个等量关系.

(1)中国邮票的张数+外国邮票的张数=335;

(2)中国邮票的张数=3×外国邮票的张数-17;

设计意图以一道简单易明的题目入手，让学弱生能尽快入门.

中等题 例2甲乙分别从相距20 千米的两地出发，相向而行.如果甲比乙早出发30 分钟，那么在乙出发后1 小时，他们相遇;如果同时出发，那么1 小时后两人还相距11 千米.求甲乙的速度？

设计意图以一道难度中等的路程类型应用题，引出路程题的关键是画出行程示意图.

中等题 例3(课本P99 探究一)养牛场原有30 只大牛和15 只小牛，一天约用饲料675kg;一周后又购进12 只大牛和5 只小牛，这时一天约用饲料940kg;饲养员李大叔估计每只大牛一天约用饲料18 20kg，每只小牛一天约用饲料7 8kg，你能否通过计算检验他的估计？

设计意图本例题有关估算与精确计算的比较，开放地寻求设计方案，目的让学生一题多解，再优中选优，体会不同方法的优劣.

提升题例4某商场计划拨款9 万元从厂家购进50 台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500 元，乙种每台2100 元，丙种每台2500 元.

(1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50 台，用去9 万元，请你研究一下商场的进货方案;

(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150 元，销售一台乙种电视机可获利200 元，销售一台丙种电视机可获利250 元.在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？

(3)若商场准备用9 万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案.

设计意图在上一题难度中等的课本方案题的基础上，拓展提升，以二元一次方程组应用题为基础，有机糅合多知识点综合运用于方案设计.针对学优生的特点，选取难度大的综合压轴题，大大提升这一层次学生的兴趣和能力.

二、变式提升，针对中考热点，进行变式教学

变式教学是指教师通过改变题目的条件结论，转化问题的形式和内容，但万变不离其宗，不改变问题的实质和核心知识点以及解题思路，有意识让学生理解问题变与不变的本质[1].变式教学运用于初中数学课堂，让学生脱离了枯燥无趣的题海训练，一题多用，一题多变，一题多解，多题重组，多题归一，借题发挥，以点带面，达到做一题通一类的效果.变式教学有利于加深理解概念，抓住问题本质，探索问题的内涵联系和外延关系，大大促进学生的探究意识和多维度理解问题的能力.

下以笔者所在学校朱允华老师执教的越秀区公开课《8.3 实际问题与二元一次方程组(2)》为例:

例1如图1，用5 个一样 大小的小长方形恰好可以拼成如图所示的大长方形，若小长方形的周长是12cm，求小长方形的长和宽[2].

图1

设计意图以最简单的图形入手，让学生学会数形结合，通过分析题意结合几何图形得出等量关系.

变式1如图2，大长方形图案由10 个完全一样的小长方形拼成，且每个小长方形的周长为100cm，求小长方形的长和宽.

图2

设计意图增加小长方形的个数，加大寻找等量关系的难度.但解题思路延续例1.

变式2如图3，在长为10m，宽为8m 的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全一样的小长方形花圃，求三个小长方形花圃的面积之和.

图3

设计意图层层递进，变换图形，结合生活实际，但通过观察图形找出两个等量关系的思路不变.

变式3小龙在拼图时，发现8 个一样大的小长方形，恰好可以拼成一个大长方形，如图4所示;陈晔看见了说“我来试一试”，结果陈晔七拼八凑，拼成一个如图5的正方形，中间留下一个洞，恰好是边长2mm 的小正方形，你能算出小长方形的长和宽吗？

图4

图5

设计意图从上题一个图形变成两个图形，从一个图形对应两个等量关系变成一个图形对应一个等量关系.

变式4图6是由22 个周长为20cm 的小长方形是拼接成的一个大长方形，当中出现三个大小一样的小正方形空隙，试求出三个小正方形空隙的面积和.

图6

设计意图把简单图形提升到复杂图形的组合，让学生在一个主题下不断提升，题目千变万化，解题思路不变.

变式5如图7，用一些长短相同的小木棍，连续摆正方形或六边形要求每两个相邻的图形只有一条公共边.已知摆放的正方形比六边形多4 个，并且一共用了110 个小木棍，问连续摆放了正方形和六边形各多少个？

图7

设计意图结合找规律，把图形相关的二元一次方程组应用题解题思路更广泛运用到综合题.

三、改编课例，源于课本，不拘泥于课本

教材中许多例题，都具有典型性，示范性，探索性，不能简单地就题论题，应一题多变，根据学生实际情况，进行适当变化，引申，挖掘，使不同层次的学生都学有所得，学生对知识掌握更系统，开阔学生思路，激发学生求知欲望.改编教材需要教师深入研究教材，熟悉课标考点，才能用好教材，用活教材[3].

下以一道课本例题的具体教学为例:笔者所在班教授课本“七下例题P99 探究二”，按常规讲法讲解，效果不佳，部分学生似懂非懂，学弱生无从入手.在后续测验原题重做，学生得分率不高.笔者反思问题所在:此例题难度大，尤其对于刚从小学升上来的初一学生，有几个知识点学生知识储备不足，认识不清，在基础不牢的前提下，做综合应用题自然无从下手.故笔者经过学习研究，和同备课组老师教研讨论，参考河南师范大学附属中学付帅老师的课件《二元一次方程组(2)》，在此基础上对此例题进行改编，并把这种做法在广州市越秀区教研会议做全区发言，此后再结合越秀区邝晶晶老师2019年4月执教的公开课《实际问题与二元一次方程组(面积分割问题)》，做进一步调整，具体做法如下:

(原题“课本P99 探究二”):据统计资料，甲和乙的单位面积产量的比是1:2，把一块长为20m，宽为10m 的长方形土地分为两块小长方形土地，分别种植甲和乙.怎样划分这块土地，才能使甲和乙的总产量的比是3:4？

(改编后自编题):1.把一块长为10m，宽为5m 的长方形土地分成两块小长方形土地，使得其中一块小长方形土地的面积为30m2，你是怎么分的？请画出分割线.

2.甲、乙两种作物的单位面积产量分别为10kg/m2、20kg/m2，并且已知甲的种植面积为30kg/m2，乙的种植面积为20kg/m2，则甲种作物的总产量是___kg，乙种作物的总产量是___kg.

3.甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2，并且已知甲的种植面积为30kg/m2，乙的种植面积为20kg/m2，则甲、乙两种作物的总产量的比是___.

4.据统计资料，甲和乙的单位面积产量的比是1:2，把一块长为20m，宽为10m 的长方形土地分为两块小长方形土地，分别种植甲和乙.怎样划分这块土地，才能使甲和乙的总产量的比是3:4？

图8

5.若将长方形土地改为上底为100 米，下底为200 米，高为100 米的直角梯形土地，甲和乙两种作物的单位面积产量的比是1:2，怎样划分这块土地，才能使甲和乙两种作物的总产量的比还是3:4[4]？

图9

6.据统计资料，甲和乙的单位面积产量的比是1:2，用一条线段将一块长为20m，宽为10m 的长方形土地分为两部分土地，分别种植甲和乙.怎样划分这块土地，才能使甲和乙的总产量的比是3:4？

(1)两个长方形; (2)一个三角形和一个梯形; (3)两个梯形.

图10

设计意图

1.针对学生的几个思维难点，搭建脚手架，分解难点，做到一个问题设计一小问，难点逐个击破.例如学生对分割和总产量和比例等几个问题陌生，改编后针对如何分割设计第1 问，针对总产量如何求设计第2 问，针对比例问题设计第3问.

2.针对生源层次较好的班级，可以把题目进行变式拓展.如原题“分割矩形面积”，改编后设计第5 问“能否把梯形面积平分”，难度加大，增强了学优生的好奇心和兴趣.

3.针对生源优异的班级，可以把题目进一步拓展，在第4问“把一块长为20m，宽为10m 的长方形分成两个长方形”的基础上，改编成第6 问“用一条线段将一块长为20m，宽为10m 的长方形土地分为两部分土地”.使学生大开眼界，大大提升学生的探究问题和解决开放性问题的能力.

综上所述，二元一次方程组应用题课型的设计思路和具体做法如下:(一)分层递进，根据生源差异设计层次不同的题组;(二)变式提升，针对中考热点，进行变式教学;(三)改编课例，源于课本，不拘泥于课本.笔者希望通过此文分享，能给出一个具体可行的二元一次方程组应用题教学思路和具体做法借鉴，另外抛砖引玉引起更多的思考，把这一教学思路推广拓展到更多更广的教学案例.