探究几何画板在解决平行线间拐点问题中的应用

广东省中山市中山纪念中学(528454)孟金鑫

几何画板是在数学教学中常用的教学软件，它的很多功能都能契合数学课程改革的需要，它的产生和发展有利于推动数学新课程改革.《相交线和平行线》是七年级下册第五章的内容，平行线间的拐点问题是常考题型，初中生生往往不知从何入手，如果教师使用几何画板演示拐点的移动，并给出角度的度量，能让学生直观感受角度之间的数量关系，大胆猜测角度之间的数量关系，然后给出严谨的几何推理过程.

平行线间的拐点位置共分三情况:1.拐点在平行线间偏左位置;2.拐点在平行线间偏右位置;3.拐点不在平行线之间.为此，我将这类题型总结为以下三种基本图形.

例题已知AB//CD，点P是一个动点，随着点P的位置的变化，分析∠AEP,∠EPF，∠CFP三者之间的关系.

一、拐点在平行线间偏左位置

图1

教师拖动点P的位置，但点P始终在直线AB，CD之间，并且在线段EF的左侧，学生通过观察几何画板中∠AEP,∠EPF和∠CFP三个角之间的数量关系，猜想出三角的数量关系为∠AEP+∠CFP=∠EPF.根据图形的形状，师生一起给图形命名为“M图”，便于理解和记忆.

学生给出证明过程:

证明:过点P做MN//AB，因为AB//CD，所以MN//CD(平行公理的推论).因为MN//AB，所以∠AEP= ∠EPN(两直线平行，内错角相等).因为MN//CD.所以∠NPF= ∠CFP(两直线平行，内错角相等)，所以∠AEP+∠CFP= ∠EPM+∠MPF= ∠EPF所以∠AEP+∠CFP=∠EPF.

图2

二、拐点在平行线间偏右位置

图3

教师拖动点P的位置，但点P始终在直线AB，CD之间，并且在线段EF的右侧，学生通过观察几何画板中∠AEP,∠EPF和∠CFP三个角之间的数量关系，猜想出三角的数量关系为∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°.根据图形的形状，师生一起给图形命名为“子弹图”，便于理解和记忆.

学生给出证明过程:

图4

证明:过点P做MN//AB，因 为AB//CD，所以MN//CD(平行公理的推论).因为MN//AB，所以∠AEP+∠EPM=180°(两直线平行，同旁内角互补).因为MN//CD，所以∠MPF+∠CFP= 180°(两直线平行，同旁内角互补)，所以∠AEP+∠EPM+∠MPF+∠CFP=360°，所以∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°.

三、拐点不在平行线之间

图5

图6

图7

图8

教师拖动点P的位置，但点P始终在直线AB上方或CD的下方，在线段EF的左侧或者右侧，通过几何画板演示得到上面4 个图形，学生通过观察∠AEP,∠EPF和∠CFP三个角之间的数量关系，其中图6和图8的结论是相同的，∠AEP+∠EPF= ∠CFP; 图5和图7的结论是相同的，∠CFP+∠EPF= ∠AEP.根据图形的形状，师生一起给四个图形命名为“靴子图”，便于理解和记忆.

学生给出证明过程:(以图6为例)

图9

证明:设AB与PF相交于点M，因为AB//CD，所以∠AMP= ∠CFP(两直线平行，同位角相等).由外角定理可得:∠AMP=∠FPE+∠AEP，所以∠AEP+∠EPF=∠CFP(等量代换).

图5，图7，图8的证明方法是一样的，利用“两直线平行，同位角相等”和“外角定理”就可以证明.

综上所述，随着点P的位置变化，三个角之间的关系为∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°，或者∠AEP+∠CFP=∠EPF，或者∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°.

在探究平行线间的拐点问题中，首先利用几何画板中的几何作图和角度之间的度量，让学生直观感受三个角之间的数量的变化，并采取动画演示三个角之间的变化过程，让学生更加深刻地理解三个角之间的数量关系;在学生得到三个角之间的变化之后，总结出应该在拐点处添加平行线，从而给出严格的数学推理证明过程，加深学生对此问题的认识.

在这类题目的解题过程中，应用几何画板软件演示来进行讲解，渗透了数学中的从特殊到一般的数学思想，为后面的归纳猜想奠定了坚实的基础，还能充分体现几何画板“现代技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具”的数学课程的新理念，让每个学生都能学到有价值的数学.

在初中数学教学中使用几何画板，能将静态的图形动态化，帮助学生感知图象变化关系、把握数学本质，将复杂的知识简单化;它还能优化教师的教学方法，丰富教学手段;它还能提供学生独立思考的环境，发展学生的思维想象能力，有利于开展初中生自主学习和合作学习的活动，培养学生的数学素质，促进学生的全面发展.