直线与方程常见典型考题赏析

■赵 昆

题型1：求直线的倾斜角或斜率

求倾斜角时要注意斜率是否存在,求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率k=tanα的取值范围;②利用三角函数的单调性,借助图像,确定倾斜角α的取值范围。斜率的两种求法:①利用定义求斜率;②利用公式求斜率。

例1若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是( )。

A.(-2,1)

B.(-1,2)

C.(-∞,0)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

解法1：因为过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,所以直线的斜率小于0,即,也即,解得-2＜a＜1。应选A。

解法2：当a=0时,点P(1,1),Q(3,0),由＜0,此时过点P(1,1),Q(3,0)的直线的倾斜角为钝角,可排除C,D。当a=1 时,点P(0,2),Q(3,2),因为kPQ=0,所以不合题意,排除B。应选A。

跟踪练习1：若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=____。

提示：若A,B,C三点共线,则kAB=kAC,即,整理可得a(a2-2a-1)=0,解得a=0或a=1± 2。

题型2：求直线的方程

求直线方程时,应选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件。用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线。

例2已知菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(-4,7),C(6,-5),BC边所在的直线过点P(8,-1)。

(1)求AD边所在的直线方程。

(2)求对角线BD所在的直线方程。

解：(1)由题意可得kBC=2。因为AD∥BC,所以kAD=2,所以AD边所在的直线方程为y-7=2(x+4),即2x-y+15=0。

跟踪练习2：过点A(3,-1),且在两坐标轴上的截距相等的直线是( )。

A.x-y-2=0或x+3y=0

B.x+y-2=0或x+3y=0

C.x+y+2=0或x-3y=0

D.x-y+2=0或x-3y=0

提示：①当所求直线在两坐标轴上的截距都不为0时,设直线方程为x+y=a,把点(3,-1)代入可得a=2,则所求直线的方程为x+y=2,即x+y-2=0;②当所求直线在两坐标轴上的截距为0 时,设直线方程为y=kx,把点(3,-1)代入可得,则所求直线的方程为,即x+3y=0。

综上可得,所求的直线方程为x+y-2=0或x+3y=0。应选B。

题型3：直线方程的应用

与函数相结合命题,一般是利用直线方程中x,y的关系,将问题转化成关于x的某函数,借助函数性质来解决;与方程、不等式相结合命题,一般是利用方程、不等式等知识来解决。

例3三条直线l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0 能构成一个三角形,则k的取值范围是( )。

A.k∈R

B.k∈R 且k≠±1,k≠0

C.k∈R 且k≠±5,k≠-10

D.k∈R 且k≠±5,k≠1

解：由l1∥l3,可得k=5。由l2∥l3,可得k=-5。由x-y=0,x+y-2=0,解得x=1,y=1,若点(1,1)在l3上,则k=-10。

由上可知,若l1,l2,l3能构成一个三角形,则k≠±5且k≠-10。应选C。

跟踪练习3：若直线x-2y+b=0 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1,那么b的取值范围是( )。

A.[-2,2]

B.(-∞,-2]∪[2,+∞)

C.[-2,0)∪(0,2]

D.(-∞,+∞)

提示：令x=0,可得,令y=0,可得x= -b,所以所求三角形的面积为,且b≠0。 由题意可得≤1,所以b2≤4,且b≠0,可得b的取值范围是[-2,0)∪(0,2]。应选C。

题型4：两条直线的平行问题

(1)已知两条直线的斜率存在,两条直线平行⇔两条直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等。当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况。(2)已知直线

例4若直线l1:x+ay+6=0 与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为____。

解：由l1∥l2,可得(a-2)×a=1×3,且1×2a≠6×(a-2),解得a=-1,所以l1:=0。由此可得直线l1与l2之间的距离为

跟踪练习4：若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0,l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点距离的最小值为_____。

提示：由题意可知,点M所在直线与l1,l2平行且与两直线距离相等。设该直线方程为x+y+c=0,则,解得c=-6。因为点M在直线x+y-6=0 上,点M到原点的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即

题型5：两条直线的垂直问题

(1)已知两条直线的斜率存在,两条直线垂直⇔两条直线的斜率之积等于-1。当直线的斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况。(2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0。

例5已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0垂直,垂足为(1,p),则n的值为( )。

A.-12 B.-14

C.10 D.8

解：因为直线mx+4y-2=0 与直线2x-5y+n=0垂直,所以2m-4×5=0,解得m=10。由垂足为(1,p),把点(1,p)代入10x+4y-2=0,可得10+4p-2=0,即p=-2。把点(1,-2)代入2x-5y+n=0,可得2+10+n=0,即n=-12。应选A。

跟踪练习5：若直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,则a=_____。

提示：由题意可得,(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即(a-1)(a+1)=0,解得a=1或a=-1。

题型6：距离公式的应用

距离公式包括两点间的距离公式、点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式。高考对距离公式的考查主要有以下三种命题角度:①求距离;②已知距离求参数值;③已知距离求点的坐标。

例6当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值为____。

解：已知直线mx-y+1-2m=0 过定点Q(2,1),所以点P(3,2)到已知直线的距离最大时,PQ垂直已知直线,即m·-1,可得m=-1。

跟踪练习6：若m,n,a,b∈R,且满足3m+ 4n= 6,3a+ 4b= 1, 则的最小值为____。

提示：点(m,n)为直线3x+4y=6上的动点,点(a,b)为直线3x+4y=1上的动点,的最小值即为两动点间距离的最小值,易知最小值就是两平行线间的距离,所以

题型7：对称问题

对称问题主要有中心对称问题和轴对称问题。中心对称问题主要有两种题型:点关于点的对称问题和直线关于点的对称问题。轴对称问题主要有两种题型:点关于直线的对称问题和直线关于直线的对称问题。

例7已知坐标原点关于直线l1:xy+1=0的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为_____。

解：设点A(x0,y0),依题意可得方程组解得即点A(-1,1)。设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,当d=|AB|时取最大值,此时直线l2垂直于直线AB,所以,由此可得直线l2的方程为3x-2y+5=0。

跟踪练习7：如图1 所示,已知点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射又回到P点,则光线所经过的路程是( )。

图1

A.2 10

B.6

C.3 3

D.2 5

提示：直线AB的方程为x+y=4,则点P关于直线AB的对称点为P1(4,2),点P关于y轴的对称点为P2(-2,0)。由光的反射原理可知P1,M,N,P2四点共线,则光线所经过的路程是|P1P2|=。应选A。

题型8：直线过定点问题

求解含有参数的直线过定点问题的两种方法:①给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题中含参数直线所过的定点,从而问题得解。②分项整理,令含参数的项和不含参数的项分别为零,解方程组所得的解即为所求的定点。

例8不论k取何值,直线l:(k+1)x+y+2-k=0恒过定点,则这个定点的坐标为____。

解：直线l的方程可化为k(x-1)+x+y+2 = 0,由k的任意性可得解得故所求定点的坐标为(1,-3)。

跟踪练习8：已知直线mx-3y+2m+3=0,当m变动时,所有直线都经过的定点坐标为( )。

A.(-2,1) B.(1,2)

C.(1,-2) D.(2,1)

提示：直线mx-3y+2m+3=0可化为3-3y+(x+2)=0,令解得x=-2,y=1。

故当m变动时,所有直线都经过定点(-2,1)。应选A。