圆与方程常见典型考题赏析

■赵玉静 欧阳亮 孔东华

题型1：求圆的方程

求圆的方程主要有两种方法,即几何法和代数法。几何法是利用圆的一些常用性质和定理求解的;代数法是由题目给出的条件,列出等式,求出相关量得解的。

例1已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且在直线xy-3=0上截得的弦长为6,则圆C的方程为_____。

解：由所求圆的圆心在直线x+y=0上,可设所求圆的圆心为(a,-a)。

因为所求圆与直线x-y=0相切,所以半径。 又所求圆在直线x-y-3=0 上截得的弦长为6,圆心(a,-a)到直线x-y-3=0 的距离d=,所以,即,解得a=1。 故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2。

跟踪训练1：经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积S=( )。

A.π B.2π

C.3π D.4π

提示：根据A,B两点的坐标特征可知圆心在直线x=1 上,设圆心坐标为(1,a),则r= 4+a2= (a-2)2,所以a=0,r=2。故圆的面积S=4π。应选D。

题型2：与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题是高考的热点,这类问题着重考查数形结合与转化思想的应用。常见的命题角度有:①斜率型最值问题,即形如的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②截距型最值问题,即形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③距离型最值问题,即形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题;④建立目标函数求最值问题。

例2圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y= 2 的距离的最大值是( )。

A.1+ 2 B.2

C.1+ 2 2D.2+2 2

解：将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,可知圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1= 2+1。应选A。

跟踪训练2：已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则的最大值为____,最小值为____。

提示：原方程可化为(x-2)2+y2=3,此方程表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆。的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,可设=k,即y=kx。如图1所示,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取得最大值或最小值,此时,解得k=。故的最大值为3,最小值为

图1

题型3：与圆有关的轨迹问题

求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:①直接法,即根据题目提供的条件列出方程;②定义法,即根据圆的定义列出方程;③几何法,即利用圆的性质列出方程;④相关点代入法,即找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式。

例3点P(4,-2)与圆x2+y2=4 上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( )。

A.(x-2)2+(y+1)2=1

B.(x-2)2+(y+1)2=4

C.(x+4)2+(y-2)2=4

D.(x+2)2+(y-1)2=1

解：设中点为A(x,y),圆上的任意一点为B(x',y')。

跟踪训练3：已知圆x2+y2=4 上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点。

(1)求线段AP中点的轨迹方程。

(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程。

提示：(1)设AP的中点为M(x,y)。

由中点坐标公式可知,点P的坐标为(2x-2,2y)。

因为点P在圆x2+y2=4 上,所 以(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1。

(2)设线段PQ的中点为N(x,y)。在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|。设O为坐标原点,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,可得x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4。故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0。

题型4：直线与圆的位置关系问题

直线与圆的位置关系的常见判断方法:①几何法,即利用d与r的关系判断。②代数法,即联立方程利用判别式判断。③点与圆的位置关系法,如若直线恒过定点且定点在圆内,则直线与圆相交。

例4直线mx-y+2=0 与圆x2+y2=9的位置关系是( )。

A.相交 B.相切

C.相离 D.无法确定

解：已知圆x2+y2=9的圆心坐标为(0,0),半径为3,直线mx-y+2=0 恒过定点A(0,2),而02+22=4＜9,所以点A在圆的内部,可知直线mx-y+2=0 与圆x2+y2=9相交。应选A。

或者,利用圆心到直线的距离,也可以判断(解略)。

跟踪训练4：若曲线x2+y2-6x=0(y＞0)与直线y=k(x+2)有公共点,则k的取值范围是( )。

A.[-34,0) B.(0 ,34)

C.(0,34] D.[ -34,34]

提示：已知直线过定点(-2,0)。

x2+y2-6x=0(y＞0)可化为(x-3)2+y2=9(y＞0),所以此曲线表示圆心为(3,0),半径为3的上半圆(图略),它与直线y=k(x+2)有公共点的等价条件是圆心(3,0)到直线y=k(x+2)的距离d≤3,且k＞0,所以≤3,且k＞0,解得0＜k≤。应选C。

题型5：圆与圆的位置关系问题

判断两圆的位置关系常用几何法,即用两圆的圆心距与两圆半径的和与差之间的关系,一般不采用代数法。当两圆相交时,求公共弦所在的直线方程或公共弦长,只需把两圆的方程相减就是公共弦所在的直线方程,再根据其中一个圆和这条直线即可求出公共弦长。

例5 若圆C1:x2+y2=m2(m＞0)内切于圆C2:x2+y2+6x-8y-11=0,则m=____。

解：由x2+y2=m2(m＞0),可得圆心C1(0,0),半径r1=m。圆C2的方程可化为(x+3)2+(y-4)2=36,则圆心C2(-3,4),半径r2=6。 因为圆C1内切于圆C2,所以|C1C2|=6-m。 又因为|C1C2|=5,所以m=1。

跟踪训练5：在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0 及点A(-1,0),B(1,2)。在圆C上存在点P,使得|PA|2+|PB|2=12,则点P的个数为( )。

A.1 B .2

C.3 D .4

提示：设点P(x,y),圆C的方程可化为(x-2)2+y2=4。由|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,可得x2+(y-1)2=4。因为所以圆(x-2)+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交,可知点P的个数为2。应选B。

题型6：圆的弦长问题

计算弦长时,要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形求解。一般地,圆锥曲线的弦长公式是:或,其中A(x1,y1),B(x2,y2)为弦的两个端点。

例6已知直线l:x+y-1=0截圆O:x2+y2=r2(r＞0)所得的弦长为 14,点M,N在圆O上,且直线l':(1+2m)x+(m-1)·y-3m=0过定点P,若PM⊥PN,则|MN|的取值范围为( )。

A.[2- 2,2+ 3]

B.[2- 2,2+ 2]

C.[6- 2,6+ 3]

D.[6- 2,6+ 2]

解：依题意可得,解得r=2。由直线l':(1+2m)x+(m-1)y-3m=0过定点P,由此可得点P(1,1)。设线段MN的中点为Q(x,y),则OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化简可得,所以点Q的轨迹是以为圆心,为半径的圆。因为,所以的取值范围为,则|MN|的取值范围为[6- 2,6+ 2]。应选D。

跟踪训练6：已知直线l经过点P(-4,-3),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦长为8,则直线l的方程是____。

提示：由已知条件知圆心为(-1,-2),半径r=5,弦长m=8。设弦心距为d,由勾股定理可得r2=d2+,即得d=3。

若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-4,圆心到直线的距离是3,符合题意。若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y+3=k(x+4),即kx-y+4k-3=0,可得,即9k2-6k+1=9k2+9,解得k=,可知直线l的方程为4x+3y+25=0。综上可得,直线l的方程是x+4=0或4x+3y+25=0。

题型7：与圆有关的定点问题

直线或圆过定点问题(其他曲线过定点太复杂,高中阶段一般不涉及),其实质是:当动直线或动圆变化时,这些直线或圆相交于一点,即这些直线或圆绕着定点在转动。这类问题的解法有两种,即特殊推理法和直接推理法。

例7已知圆O:x2+y2=1,点P为直线上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点( )。

解：因为点P是直线上的一动点,所以设点P(4-2m,m)。

因为PA,PB是圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,所以OA⊥PA,OB⊥PB,所以点A,B在以OP为直径的圆C上,即弦AB是圆O和圆C的公共弦。

因为圆心C的坐标为,且半径的平方为,所以圆C的标准方程为,而圆O的方程为x2+y2=1,两方程相减可得(2m-4)x-my+1=0,即公共弦AB所在的直线方程为(2x-y)m+(-4x+1)=0。

跟踪训练7：在平面直角坐标系xOy中,已知圆C与y轴相切,且过点M(1,3),N(1,- 3)。

(1)求圆C的方程。

(2)已知直线l与圆C相交于A,B两点,且直线OA与直线OB的斜率之积为-2。求证:直线l恒过定点,并求出定点的坐标。

提示：(1)因为圆C过点M(1,3),N(1,- 3),所以圆心C在线段MN的垂直平分线上,即在x轴上,可设圆心为C(a,0),易知a＞0。又因为圆C与y轴相切,所以圆C的半径r=a,所以圆C的方程为(x-a)2+y2=a2。因为点M(1,3)在圆C上,所以(1-a)2+(3)2=a2,解得a=2。故圆C的方程为(x-2)2+y2=4。

(2)记直线OA的斜率为k(k≠0),则其方程为y=kx。

由k·kOB=-2,可得kOB=,所以直线OB的方程为y=,在点A的坐标中用代换k,可得点

当直线l的斜率不存在时,由,可得k2=2,由此可得直线l的方程为,这时直线l过定点

当直线l的斜率存在时,由,可 得k2≠2,则 直 线l的 斜 率 为,由此可得直线l的方程为,这时直线l过定点

故直线l恒过定点,其定点坐标为

编者注：本文系2019年度郑州市教育科学规划研究项目 “高中数学导数及其应用微课程与微课程资源开发研究”(2019-ZJKYB-S24-002)、2017年河南省教育科学 “十三五”规划重点项目 “高中数学竞赛微课程资源开发与应用研究”(2017-JKGHDHZX-094)、2019年河南省基础教育教学重点研究项目 “基于LFSTM 模式的中学数学解题靶向研究”(JCJYB19030012)的研究成果。