钢轨焊头平直度检测系统的混沌振动研究

(上海工程技术大学 电子电气工程学院，上海 201620)

然而，在基于视觉的钢轨检测方法中，系统的机械振动会使摄像头或传感器采集到的信息与实际有偏差，最终导致检测效率的下降。一些研究表明，通过分析采集到的图像与振动的关系[3]，改变机械结构[4]或优化控制算法[5]，都能够有效地抑制这种振动。其中采用控制算法抑振可在不改变系统机械结构的情况下，达到最优的控制效果，设计简单，可行性高，无需考虑成本问题[5]。文献[5]针对钢轨焊头平直度检测系统，采用基于有限时间Laplace变换的输入整形器作为前馈控制，使相机传动系统输出的电机转速值最大超调量降低为2.6%，使采集误差稳定在0.03 mm内。其中，输入整形器的抑振效果与系统的频率和阻尼有关[6]，而在相机传动系统中，由于参数的改变和系统对参数初值敏感性引发的混沌现象会使系统产生无规则的振动响应[7-10]，具体表现为功放的输出电流以及伺服系统输出的电机转速值持续波动，最终导致输入整形器对整个系统抑振效果的减弱。为了对工程问题进行精确建模，应考虑非线性因素对系统的影响[11]，并避免其进入混沌状态，从而确保输入整形器的抑振水平。

在常用的消除混沌的方法中，线性反馈控制法在工程上更容易实现，它利用混沌对系统参数初值的敏感性依赖，减小李雅普诺夫指数，从而使系统获得稳定的输出。采用该方法只需要系统的输出或状态信息，无需改变被控系统的结构，具有良好的轨道跟踪能力和稳定性[12]。

因此，本文基于钢轨焊头平直度检测系统，尝试根据功放输出电流的分岔现象，分析相机传动系统中电流反馈系数值与功放输出电流以及输出电机转速稳定性之间的关系，在系统进入混沌状态之前，选择合适的电流反馈系数，保证功放输出的稳定，并设计了基于零极点对消的输入整形法仿真实验加以验证。实验表明，利用分岔图与李雅普诺夫指数谱选取合适的电流反馈系数值，功放的输出电流纹波较小且稳定，减小了相机传动控制系统输出转速的振动频率以及最大超调量，抑制了相机传动控制系统中功放电路的混沌现象对系统振动的影响。

1 相机传动控制系统模型

钢轨焊头平直度检测系统的机械结构示意图与系统框图如图1所示。系统由控制器控制伺服系统，带动激光相机采集钢轨表面信息，然后传送到计算机供后续的图像数据分析，最终得到钢轨的平直度信息。实际检测过程中，由于系统输出电机转速的不稳定而引起的振荡会导致激光相机采集到的信息与实际有偏差，这种偏差影响了系统的检测精度。

相机传动系统的控制框图如图2所示[5]，主要由输入整形、伺服驱动和机械传动几部分组成。伺服驱动主要由速度调节器、速度检测、功放电路和伺服电机几个环节组成。输入整形环节是利用控制器根据系统的伺服驱动环节和机械传动环节的传递函数模型构造的基于零极点对消的输入整形算法。本文根据功放电路的混沌现象，利用分岔图选择合理的电流反馈系数值，确保功放纹波较小且可稳定输出，再采用输入整形作为整个系统的前馈控制，实现系统的抑振控制。

图1 机械结构示意图与系统框图

图2 相机传动系统的控制框图

系统的闭环传递函数G(s)为[5]

G(s)=

(1)

式中,k1为位置调节器的传递函数；k2为速度调节器的传递函数；ki为电流反馈系数；sl为丝杠长度；ωn和ξ分别为伺服电机的转子角速度和阻尼比；ωn1和ξ1分别为传动系统的角速度和阻尼比；kv为速度反馈系数；kp为位置反馈系数；ke为电势系数；i为定子电流。

2 功放电路的混沌现象

伺服电机驱动部分的功放电路采用的是一种三电平调制下的全桥电路拓扑，是一种典型的非线性功放电路，存在着丰富的混沌现象[13]。分析功放电路的混沌现象，首先要建立功放电路的离散模型，基于该模型分析得到功放输出电流的离散映射表达式，最后由该表达式得到随电流反馈系数值变化的输出值分岔情况，从而在系统进入混沌之前选择参数值。

2.1 功放电路的离散模型

三电平调制下的全桥电路拓扑如图3所示。

图3中，U为电压源,VT1～VT4为功率开关管，电感L和电阻R构成了负载线圈，Uab为负载线圈两端的电压，IO为通过电磁线圈的电流。

针对VT1～VT4，可以用以下公式表示其通断[13]：

(2)

(3)

T4=1-T1

(4)

T3=1-T2

(5)

式中,T1～T4分别代表开关管VT1～VT4的导通函数，“0”为关断，“1”为导通;UT(t)为载波当前时刻的值，ΔUC(t)为控制信号。

图3 全桥电路拓扑

负载两端的电压Uab共有3种模态：模态一，Uab=U，电流增加；模态二，Uab=0，续流状态；模态三，Uab=-U，电流减小。在每个载波周期内，都对应包括了模态一、模态二或模态二、模态三。以充电续流的过程为例，同一个周期内，不同时刻功放的输出电流情况可用以下公式表示[13]。

(1)nT～t1：续流状态。

(6)

(2)t1～t2：充电状态。

(7)

(3)t2～t3：续流状态。

(8)

(4)t3～t4：充电状态。

(9)

(5)t4～(n+1)T：续流状态。

(10)

式中，T为开关管的开关信号；in为第n个载波周期电流的初始值；时间常数τ=L/R；E/R为放电时刻末期的电流值；d为全桥电路的占空比。

针对这种工作特性，结合基尔霍夫电压定律和开关管状态，在每个开关周期的开始时刻，对电磁线圈输出电流IO采样，并逐步迭代，分别得到其充电续流与放电续流的电流映射表达式如式(11)、式(12)所示。占空比d、反馈电压ui和sat(ui)的定义如式(13)～式(15)所示[13]。

(11)

(12)

(13)

ui=ki(Iref-if)

(14)

(15)

式中，Iref为参考电流;if为反馈电流。

2.2 输出电流的混沌行为分析

叉型分岔是进入混沌最常见的类型之一，它是指随着参数取值的改变，系统的输出值变得不稳定且不可预测，因此可以通过做分岔图观察系统何时进入混沌。由式(11)与式(12)的输出电流映射表达式，结合式(13)～式(15)，利用Matlab 2014a编写程序，得到输出电流关于电流反馈系数的分岔图如图4所示。

图4 输出电流关于电流反馈系数的分岔图

由图4可知，随着电流反馈系数值的不断增大，功放的输出电流先是逐渐趋于稳定，当电流反馈系数值超过约6.25后，功放的输出电流发生分岔，其值不再稳定，此时系统进入了混沌状态。利用Matlab中Simulink仿真模块搭建功放电路模型，得到电流反馈系数ki=6与ki=8时功放的输出电流情况,如图5所示。

图5 ki分别为6和8时功放电路输出电流

对比图5中的结果可知，当ki= 8时，功放的输出电流不存在确定的周期轨道，此时处于混沌状态，输出电流不稳定。

通过计算李雅普诺夫指数，可以进一步验证随着电流反馈系数的改变，系统是否进入了混沌状态。当李雅普诺夫指数由负变正的时候，说明参数发生分岔，进入混沌，输出变得不稳定；当它由正变负的时候，系统的输出变得稳定，计算公式为

(16)

式中,x1=f(x0)，xi=f(xi-1)，f(x)为求得的输出电流映射表达式。利用Matlab生成电流反馈系数的李雅普诺夫指数谱，如图6所示。

由图6与计算结果可知，当系数超过临界值6.25之后，李雅普诺夫指数由负变正，说明超过该阈值后，系统确实进入了混沌状态。因此，应在该阈值范围内选取电流反馈系数的值。

2.3 电流反馈系数的选取

根据式(1)所示的传递函数，将ki以外的变量看作常量，经过拉氏反变换得到相机传动系统的时域表达式。

(17)

为了表示方便，将式(1)中k1等固定参数简化表示为常数变量c4～c9，其中c4远大于其余整数变量，ri为闭环传递函数特征多项式的特征根。观察可知，式(17)第4项构成了输出的主要部分，且随着ki的增大，输出值逐渐减小，所以，应在阈值范围内，取较大的ki值，保证较低的振荡幅值。为验证理论分析的正确性，利用Matlab中Simulink仿真模块搭建了系统模型并得到了输出电机转速的仿真图如图7所示，其中电流反馈系数ki分别取8，6，4，2。

图7 不同电流反馈系数下系统的振动情况仿真图

由图7可知，随着ki的增大，相机传动系统输出的电机转速振幅逐渐减小，但当ki超过阈值6.25之后，如图7中ki=8时，由于输出电流处于混沌，不存在确定的周期轨道，所以导致电机转速即使在稳定后，也会持续着约20 r/min的波动，而在其他情况下，则可以保持稳定的转速，因此应选择ki= 6.25作为电流反馈系数的值，这样既可以保证转速较小的振幅，又可以保证稳定的输出。

3 基于零极点对消的输入整形

为了验证电流反馈系数值对输入整形器的抑振控制效果的影响，采用Matlab中Simulink仿真模块搭建了基于零极点对消输入整形法的仿真抑振实验。

3.1 输入整形函数的构造

输入整形器是由系统振动频率和阻尼比设计的用于前馈控制脉冲序列，其频域表达式为

(18)

式中，ti和Ai为脉冲序列的时滞及其对应的幅值;n为脉冲个数。根据系统的闭环传递函数求出该表达式参数就可以实现输入整形抑制振动的目的[14]。

伺服驱动部分可以等效为一个二阶系统，其闭环传递函数为

(19)

(20)

令实部虚部分别为零，得到式(21)与式(22)。

(21)

(22)

根据时间最优原则，令t1=0，求解可得到由两个脉冲构成的输入整形器公式：

C(s)=A1+A2e-t2s

(23)

进一步可得：

(24)

(25)

k可以取不同值，因此输入整形器的零点就可能有无数个，选取其中一组零点与系统主导极点对消，可得：

(26)

(27)

由式(27)可知，当k=1时，时滞t2最小。

为了使系统达到原来的输出点，需要添加约束方程A1+A2=1，其中Ai>0，联立可得：

(28)

(29)

根据系统参数计算得到输入整形函数:

C(s)=A1+A2e-t2s=0.7025+0.2975e-0.1011s

(30)

3.2 结果仿真与分析

原系统与采用不同抑振方法得到的系统输出电机转速的振动情况仿真图如图8所示。

图8 原系统及采用不同抑振方法后系统振动情况的仿真图

观察图8可知，采用本文的方法，系统的振动情况明显改善，输出转速的具体评价指标如表1所示。

表1 系统输出振动情况的评价指标

结合图8与表1分析可知，文献[5]能够较好地抑制原系统的振动，调节时间大幅缩短，系统能够快速稳定，转速值的振荡周期变大，最大超调量变小，而本文的算法与文献[5]相比，考虑了混沌对系统输出的电机转速振荡情况的影响，在保持调节时间几乎不变的情况下，进一步将最大超调量降低至0.5%，将振荡周期增大到了212 ms，使原系统频率高、振幅大的振动，变成了一种频率低、振幅小的振动，改善了转速的振动情况，有效提高了系统的抑制振动水平。

4 结束语

本文针对钢轨焊头平直度检测系统工作时，系统振动影响检测精度的问题，研究了驱动功放部分的混沌现象与系统输出的电机转速振荡情况之间的关系，分析了电流反馈系数对于输出振荡情况的影响。实验表明，在系统进入混沌之前选取合适的控制系统参数，可以有效改善系统输出的振荡情况，该分析为通过混沌理论提高系统的抑振水平提供了理论支撑，有利于进一步提高钢轨焊头平直度检测系统的抑制振动水平以及检测精度，具有理论和实际应用价值。