高中数学教学中师生问答之间的思考

郭淼红

[摘  要] 教师在宏观上把握教材并根据学生的基础情况、智力水平、学习需要对选择的问题进行多方面的思考与设计，将其作用、探究结果、效果、与其他知识点和思想方法的联系、追问的时机、语言的表达等进行斟酌、预设和实施，将每个学生的目光与注意力聚焦在问题的“凝结核”上并获得思维的发展.

[关键词] 问题;探究;预设;生成;凝结核

案例回顾

教师展示问题：

（1）已知钝角三角形的三边分别是a=k，b=k+2，c=k+4，则k的取值范围如何？

（2）已知锐角三角形的三边分别是a=2，b=3，c=x，则k的取值范围如何？

解：（1）三角形两边之和大于第三边，且由题意可知c>b>a，因此可得k+（k+2）>k+4，解得k>2.

又有△ABC是钝角三角形，因此C是钝角，由余弦定理可得cosC<0，解得2

则k的取值范围为（2，6）.

（2）法1：当x≤3时，b是最大边，则最大角B是锐角，由余弦定理cosB>0，解得x> ，则

当x>3时，c是最大边，则最大角C是锐角，由余弦定理，解得x< ，故3

综上所述，x的取值范围是（ ， ）.

法2：由题意可得该三角形的三个角均为锐角，则有22+32>x2，22+x2>32，x2+32>22，解得

则x的取值范围为（ ， ）.

学生：在钝角三角形情况下，解决问题时考虑了“两边之和大于第三边”这一条件，但在锐角三角形情况下对这一条件为什么没有考虑呢？若模仿（1）中的解题方法解决第（2）小问，结果是一样的，过程如下：当x≤3时，则2+x>3，即x>1，此时b是最大边，最大角B是锐角，由余弦定理cosB>0，解得x> ，故

当x>3时，则2+3>x，即x<5，此时c是最大边，最大角C是锐角，由余弦定理cosC>0，解得x< ，则3

综上所述，x的取值范围是（ ， ）.

您一直跟我们强调，在解决图形问题时首先要保证图形是否存在，此处是忘记检验了吗？还是在锐角三角形情况下是不要检验的呢？此处不去掉cosC≠1又是为何呢？

教师：钝角三角形情况下解题需要检验是一种常识，而锐角三角形和直角三角形情况下并不需要，大家在常见题型及其解法要点上要多进行积累并学会熟练套用解法，以后在解题时根据题型与解法进行套用求解就行了，因此，大家平时要将公式记熟并多加练习，钻牛角尖似的无端多想是没有多少好处的……

学生安静且表现出失望.

事实上，这位学生提出的质疑是多么可贵且值得探究啊！

调查研究与反思

笔者针对知识探索的相关问题在本班学生中进行了问卷调查，每个学生，尤其是优等生在问题来龙去脉上的探究愿望表现得都很明显，对套用常规解法进行解题的这一做法并不赞同，偶有学生对这一观点较为支持，也是很少的一部分成绩中等的学生，绝大部分的学生对于灌输式教学没有好感，认为这种教学方式中的师生互动太少且忽略了学生的质疑[1].

古希腊哲学家亚里士多德早就提出过思维自惊奇和疑问开始的著名论点，学生只有在怀疑中才能获得思考并形成问题，学生只有在提出问题、探究问题、解决问题的过程中才能获得新的问题与数学实践的经验和技巧.因此，教师应积极引导、鼓励学生提出问题并对提问者表示赞赏，使学生在发现问题、提出问题的过程中逐步提升自己的提问能力与探究能力.

问题探究

笔者根据以上学生的疑问在任教班级进行了问题探索的引导与组织.

学生1：我觉得该问题与以下问题等价：如果a，b，c三个正数满足a≤b≤c，若a2+b2≥c2（a2+b2c？

教师：很好，最后所得结论怎样？如何证明呢？

学生2：当a2+b2≥c2时，一定满足a+b>c，当a2+b2c，这就是在锐角三角形和直角三角形情况下不需要验证a+b>c的原因，因为a2+b2≥c2包含了a+b>c. 由条件中给出的平方关系联想三角代换方法：由a2+b2≥c2（a2+b2k≥c（不能保证a+b>c），也就是以正数a，b，c为边的三角形一定（不一定）存在.

学生3：从不等式视角分析，当a2+b2≥c2，能够导出a+b>c. 因为（a+b）2=a2+b2+2ab≥c2+2ab>c2，即a+b>c，反之，当a2+b2

教师：这是化归思想的运用，很好，知道它的几何意义吗？可有其他解法？

学生4：反证法也可用，假设a+b>c不成立，即a+b≤c，则 + ≤1，因此 ， ∈（0，1），则 2+ 2< + ≤1，即a2+b2

教师：这是一个堪称完美的证明方法，还有吗？

学生5：向量数量积的计算中，为了方便，往往先求a·b>0（此时〈a·b〉∈0， ），去掉cos〈a·b〉=1（此时〈a·b〉=0，a，b共线同向）. 若能构成锐角三角形，则其角的取值范围是0， ，对应的余弦值为（0，1），锐角和（0，1）一一对应，这是等价条件，反证也行.

教学思考

1. 转变教学理念势在必行

教师的教学应着眼于学生的长远发展而实施，学生思维发展的日益迅猛应得到教师的充分关注，不仅如此，教师还应及时更新教学理念并不斷补充新的血液，只有这样才能使自己的教学与学生的思想完全吻合. 教师应不断鼓励、引导学生对问题质疑并因此培养学生的探究意识，引导学生在遇到问题时多多思考“为什么”，要充分相信学生的能力并为学生的发展搭建平台，使学生能够拥有尽情探究和展示的舞台并真正成为课堂的主角. 及时发现学生中好的想法与做法并进行肯定以提升学生积极学习的持久动力.

2. 熟悉课程标准

课改至今，仍有不少教师将课程标准搁置一边，没有新课标引领且完全凭借个人经验的教学往往是狂讲猛灌、遍地撒网，追求知识点的覆盖与题型的全面的片面教学往往无法很好地解决学生的疑惑. 比如，“复合函数”的概念在《必修1》中并未明确刻画，教师在实际教学中若对函数的定义域、值域、复合函数单调性等概念纠缠不休，教学进度自会受到影响，教师教学疲累却也无法令学生理解透彻，学生在课业负担加重的同时也会产生畏惧情绪. 事实上，教师如果能够提前对新课标的模块化结构进行理解与思考，深谙教材编写中的“螺旋上升”理念，就能更好地把握问题的重难点，节约更多时间的同时也会为学生创造更多的探究机会，学生也会因此对数学的本质形成更好的理解.

3. 准确把握问题的“凝结核”

学生只有明白数学概念与公式的发生、发展过程，才会有数学学习的热情和兴趣，“掐头去尾烧中间”的教学往往令学生获得听得懂、看得懂、读得懂的局面，但面对很多具体问题却仍旧做不出，这就是探究缺失且满堂灌输的恶果，学生的数学能力没有真正形成，自然也不能获得良好的学习效果. 因此，教师应研究教学内容并精心设计问题，将每个学生的目光与注意力聚焦在问题的“凝结核”上并对其思维进行发散锻炼，使学生能够认清问题本质并理解其中所蕴含的思想方法与精神，使学生能够在问题探究中不断展现出思维的闪光点.

参考文献：

[1]  温建红. 论数学课堂预设提问的策略[J]. 数学教育学报，2011，20（3）：4-6.