对一道动态几何问题的突破与探究

韩晓东

[摘  要] 动态几何是几何研究的重要内容之一，需要学生探索图形中的变化，分析相应的位置关系和数量关系. 以其为基础命制的考题也是中考常见的压轴题，文章以一道中考动态几何题为例，开展思路突破、立意探索，并适度拓展，与读者交流.

[关键词] 动点;几何;面积;模型

真题呈现，思路突破

1. 真題呈现

（2019年苏州中考）已知矩形ABCD中，AB=5 cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=2  cm. 如图1，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）. 设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图2.

（1）直接写出动点M的运动速度为______cm/s，BC的长度为______cm.

（2）如图3，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动. 同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）. 已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即停止运动，记此时△APM与△DPN的面积为S1（cm2），S2（cm2）.

①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围.

②试探究S1·S2是否存在最大值，如果存在，求出S1·S2的最大值并确定运动时间x的值;若不存在，请说明理由.

2. 思路突破

本考题属于动态几何问题，题干给出了对应的图形特性以及点的运动轨迹，第（1）问要求直接写出动点M的运动速度和矩形边BC的长，虽然不需要计算过程，但其分析思路具有一定的代表性：首先需要把握动点M的运动轨迹——A→B→C，然后结合图2的S-t图像分析. 考虑到动点M在运动过程中△APM的面积S会变化，因此可以采用构建动点面积模型的方式，即绘制如图4所示的模型图.

【第一步：分析面积模型】

当点M在AB边上时，可建立模型S△APM= AM·h1（其中h1为定点P到底边AM上的高），因为h1为定值，所以此时S是关于AM的一次函数. 此阶段，随着时间的增加，AM的长增大，则△APM的面积呈增加趋势.

当点M在BC边上时，可建立面积模型S△APM= AP·h2（h2为动点M到底边AP上的高），因为AP为定值，所以此时S是关于h2的一次函数. 此阶段，随着时间的增加，h2的长度减小，即△APM的面积呈减小趋势.

综合可知，动点M沿着轨迹A→B→C运动时，△APM的面积先增加后减小，且在点M运动到点B处取得最大值.

【第二步：数形综合分析】

对于第（1）问，根据运动轨迹可知△APM的面积随点M运动的变化趋势，再结合图2的函数图像变化趋势可确定时间与点M位置的对应关系，即当t=0时，点M位于起点A处;当t=2.5时，点M位于点B处;当t=7.5时，点M位于终点C处. 结合公式“路程=速度×时间”可知AB=vM·2.5，BC=vM·5. 已知AB=5 cm，所以vM=2 cm/s，BC=10 cm.？摇即答案为2，10.

第（2）问在第（1）问的基础上增加了动点N的运动过程，并且利用动点构建了面积S1和S2. 其中第①问求动点N运动速度v的取值范围，而动点N和动点M的运动轨迹属于数学上的相遇问题，需要明确两动点运动的总路程，即AB+BC+CD=20 cm. 相遇问题的运动模型为：总路程=两动点的速度之和×相遇时间，只需要据此构建表达式即可，即（2+v）×x=20，变形可得2+v= . 题干指明两动点在线段BC上相遇（不包含点C），从而可得到时间x的取值范围为2.5≤x<7.5. 对于函数y= ，其为反比例函数，已知x的取值范围，可利用反比例函数的性质求y的范围，即 < ≤8，于是有

第（2）问的第②小问探求S1·S2是否存在最大值，属于经典的几何存在性问题，可整体采用“先假设，后论证”的策略. 具体处理时，应利用数形结合的分析方法，即首先构建动点面积模型，然后利用面积公式转化为代数问题进行分析. 如图5，图中的两块阴影三角形就分别代表△APM和△DPN，过点M作AC的垂线，垂足为H，则图中△APM的面积可表示为S1= MH·AP=-2x+15，由于△DPN为一般三角形，难以直接构建，则可以建立S2=（S1+S2）-S1的关系，S1+S2表示阴影图形总的面积，求其面积可以采用面积割补的方式，将其转化为几个规则图形的组合. S1+S2=S矩形ABCD-S△PAD-S△DCM-S△ABM，代入面积公式可解得S1+S2=15，所以S2=2x. 所以S1·S2=（-2x+15）·2x=-4x- 2+ （其中2.5≤x<7.5），结合二次函数的性质可知当x= 时，S1·S2可取得最大值，且最大值为 .

考题点评，立意探究

本题属于中学数学常见的动点几何问题，涉及动点运动参数分析、线段求值和几何存在性分析，可以充分考查学生的几何知识和综合分析能力. 本考题以动点作为变化起点，构建了相应的图形形状变化、面积变化，实现了位置关系和数量关系的转化，是代数与几何两大知识内容的融合. 试题整体遵循数学探究思路，呈现如图6所示的思路结构.

题干首先给出矩形ABCD的特征，以及动点的运动轨迹和参数，然后提出相应的动点问题和几何面积问题，需要研究因动点引起的特殊位置和特殊形状. 后续需要建立相应的几何模型，然后基于模型转化为具体的代数问题，通过代数分析实现求解. 在解题探索过程中需要关注以下几点.

1. 把握动态条件

上述真题将点的运动、图形变化和函数图像三者相结合，具有极强的综合性，动态形成的起点是点的运动，因此在问题分析时应准确把握动态形成的条件——动点的轨迹、运动参数、限制条件. 其中点运动的轨迹直接决定了后续几何图形的形状变化，而运动参数细化了动点的运动，同时也是几何线段长形成的关键.

2. 构建动态中的模型

动态几何问题突破的关键是构建几何图形与代数之间的关系，利用数量运算来分析几何变化，而运动模型是两者关系构建的桥梁，即解题时需要在动态变化中构建模型，实现动态问题的参数化. 例如上述真题在分析时分别利用运动公式和面积公式构建了相应的模型，然后利用相应的性质实现了解题突破.

3. 采用合理的策略

相对而言，动态问题的解题难度较大，对学生的解题思维要求较高，解题突破时需要学生采用合理的解题策略来降低思维难度. 对于动态几何问题，一般采用数形结合的分析方法，善用“动”中取“静”的转化策略，准确把握其中的“不变量”和“不变关系”，利用其中的“不变”来构建代数式.

深度探究，应用拓展

上述真题的问题核心是第（2）问探究两个三角形面积之积的最大值，从代数几何问题来看，需要利用面积公式，将问题转化为分析代数式，而解题的难度在于对一般三角形的面积转化. 上述采用的是几何问题常用的面积割补法，即通过作辅助线的方式将一般图形分割为几个规则的特殊图形，则原图形的面积就为几个规则图形的面积组合，后续只需要代入规则图形的面积公式求解即可. 该方法可以有效降低思维难度，且在中学数学中有着广泛的应用，下面结合实例探究其在函数问题中的应用.

试题？摇（2018年资阳中考）如图7，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交于A（0，6），B（6，0），C（-2，0）三点，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.

？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

（1）求抛物线的解析式;

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

解析？摇 第（1）问只需结合抛物线上A，B，C三点的坐标，采用待定系数法即可获得其解析式. 即把A（0，6），B（6，0），C（-2，0）的坐标代入y=ax2+bx+c，可求得抛物线的解析式为y=- x2+2x+6.

第（2）问分析几何面积的最大值，△PAB为一般三角形，无法利用函数上的点来构建面积模型，所以采用面积割补的方式求解. 过点P作x轴的垂线，垂足为M，交AB于点N，再过点A作PM的垂线，垂足G，如图8所示. 则S△PAB=S△PAN+S△PBN= PN·AG+ PN·BM= PN·OB，设Pt，- t2+2t+6，利用点的坐标求线段长，代入公式即可求得S△PAB=

- （t-3）2+ ，所以当t=3时，△PAB的面积有最大值，且最大值为 .

上题属于二次函数问题中的面积割补法应用，通过作辅助线，能将一般的三角形割补为面积易得的特殊三角形，从而构建相应的面积模型，最后利用二次函数的性质获得相应三角形的面积最大值. 与动态几何问题相比，其特殊之处在于需要充分利用拋物线上已知点的坐标，这样利于后续线段长的代入.

写在最后

动态几何问题作为中考较为常见的问题类型，图形结构较为复杂，设问也更为灵活，对学生运用知识突破考题提出了较高的思维要求，这是素质教育的必然趋势，也应成为课堂教学的目标，包括提升学生的动态思维，提升学生理解运动过程的能力，提升学生利用知识构建数学模型的能力，以促进学生的学科素养发展.