破解几何难题 感悟解法规律

杨春华

[摘  要] 平面几何图形作为高中数学考试的一个重要载体，在高考及各级各类模拟考试中频繁出现，它能有效考查学生的综合能力.文章对一道模考试题进行解法研究，总结解法特征，归纳解题策略，感悟解法规律.

[关键词] 平面几何问题;解题;规律;策略

平面几何图形作为高中数学考试的一个重要载体，在高考及各级各类模拟考试中频繁出现，它的题面一般仅与图形有关，但考点丰富，设计精巧，问题的设置往往独具匠心，解法灵活，能有效考查学生对基本知识的掌握以及转化和化归的能力，给学生造成不小的挑战，得分率往往很低.文章结合一道模考试题，谈谈处理这些问题的几个策略.

【题目】（2017台州高三年级期末质量评估16题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点P是其外接圆O上的任意一点，若a=2 ，b=c= ，则 2+ 2+ 2的最大值为________.

解法研究

1. 坐标化——适时地建系求解

建立直角坐标系，将题中的条件坐标化，用代数方法解决最值问题是常用的方法.

解法1：建系角参法

以外接圆的圆心O为坐标原点，过O且与BC平行方向为x轴，建立平面直角坐标系.

则A0， ，B- ，- ，C ，- ，外接圆O的方程为x2+y2= .

设P cosα， sinα，则 2+ 2+ 2

= cosα + sinα-  + cosα+  + sinα+  + cosα-  + sinα+

= - sinα≤ .当且仅当sinα=-1时， 2+ 2+ 2取得最大值 .

评注：把几何图形放置在适当的坐标系中，就赋予了有关线段和有关点的坐标，有了坐标就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使得问题得以顺利解决.

2. 投影化——合理转化向量求解

问题中的三个向量的平方和经过适当转化，变成某个动态向量的投影问题，结合图形来解决最值问题，此法形象直观，便于理解.

解法2：由解法1可知△ABC外接圆的半径R= .

取BC中点D，连接OA，OB，OC，OP，则A，O，D三点共线，且 + =2 .

在△ABC中可知，BC边上的高AD=2，OA=R= ，所以OD=AD-OA= .

2+ 2+ 2=（ + ）2+（ + ）2+（ + ）2

=6R2-  · cosα=6R2- ·R· cosα.

只要 在 方向上的投影最小值即可. 结合图形，显然当 与 方向相反的时候，投影 cosα取得最小值-R. 所以 2+ 2+ 2最大值为 .

评注：平面向量中有关取值范围的问题通常有二种：一是“数化”，即将平面向量的问题转化为代数（通常是函数）问题，从而借助函数来解决取值范围和最值问题;二是“形化”，即是利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值和范围问题.

3. 简便化——善于应用现有的结论

三角形中有许多重要的结论，熟练掌握它们对于快速解题有不可低估的作用.

解法3：应用卡诺重心定理求解

应用此定理可以将问题转化为外接圆上一点到三角形重心的距离的最值问题，考虑到△ABC是一个定三角形，重心是个定点，所以外接圆上的动点到一定点的距离的最大值是显而易见的.？摇？摇

设△ABC的重心为G，连接PO，PG，则 + + =0.

2+ 2+ 2=（ + ）2+（ + ）2+（ + ）2

=3 2+ 2+ 2+ 2，因此只需要求PG的最大值.

再设△ABC的外心为O，BC的中点为D，设AD与△ABC的外接圆交于点P′，则PG≤PO+OG=OP′+OG=P′G，当且仅当点P与P′重合时，P到A，B，C的距离的平方最大，所以，DP′=2R-AD= ，所以 2+ 2+ 2最大值为 2+ 2+ 2=2（BD2+DP′2）+（2R）2= .

解法4：应用托勒密定理求解

托勒密定理具有鲜明的代数特征，是解决代数问题的强有力的工具，也是數形结合的典范，通过此题可以领悟它们在剖析教材，解得高考试题等方面的价值.

（1）当P在优弧BC上时，由托勒密定理可知：BC·PA+AB·PC=BP·AC.

即2 PA+ PC= PB，所以12PA2=7（PB-PC）2，由余弦定理可知cos∠BAC= = ，所以cos∠BPC= . 在△BPC中，由余弦定理可知：

a2=PB2+PC2-2PB·PC·cos∠BPC，即PB2+PC2- ·PB·PC=12. 则PA2+PB2+PC2=PB2+PC2+ （PB-PC）2= 19·12+ -14·PB·PC=19- PB·PC≤19.当且仅当PB·PC=0，即P与B或者C重合时取等号.

（2）当P在劣弧BC上时，同理可得当PA2+PB2+PC2=19+ PB·PC.

又因为S△ABC= ·PB·PCsin∠BPC，当S△ABC最大时，PB·PC最大，此时AP为圆的直径. 所以PB·PC= ，PA2+PB2+PC2=19+ PB·PC≤19+ · = .

综上可得 2+ 2+ 2最大值为 .

4. 分类化——利用特殊位置求解

解法5：①当P与A重合时， 2+ 2+ 2=14.

②当P与B或C重合时， 2+ 2+ 2=19.

③当P异于A，B，C 时，设圆心O到PA，PB，PC的距离分别为d1，d2，d3，则PA2=4（R2-d ），PB2=4（R2-d ），PC2=4（R2-d ）.

所以 2+ 2+ 2=4×[3R2-（d +d +d ）].

要使 2+ 2+ 2最大，只要d +d +d 最小即可. 必有d1=0或d2=0或d3=0.

若d1=0时，则d2=d3= .

2+ 2+ 2=4·3× - = ;

若d2=0时，d1= ，d3= ;若d3=0时，d1= ，d2= .

2+ 2+ 2=4·3× - = .

综上可知 2+ 2+ 2最大值为 .

近些年来，这类题型一直是江苏、浙江等省份的高考热点题型，教师在教学中应予以重视. 其基本题型是根据已知条件求某个变量的最值或范围，解题思路是建立目标函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量有着“数”与“形”的双重身份. 解决它的另一种思路是数形结合，利用图形的相关几何性质解决问题.我们在思考问题的时候，应尽可能从数与形两个方面进行联想，可以相互验证.