学好一次函数，善于梳理总结是关键

王玉新

【摘要】函数是研究现实世界的一个重要模型，应让学生掌握以下几点：（1）一次函数的解析式的特征及常见的考题;（2）一次函数的图像及性质常见的考点;（3）根据k，b的符号确定函数经过的象限或根据图像确定k，b的符号的常见考点;（4）确定一次函数的表达式;（5）一次函数与方程、不等式、不等式组的关系;（6）用一次函数解决生活中的实际问题.

【关键词】函数的解析式;数形结合法;待定系数法;象限

函数是研究现实世界的一个重要模型，它是数与形的有机结合体，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容.其中一次函数及其图像是初中代数的重要组成部分，也是学习高中解析几何的基石，更是中考所考查的重点内容.但很多学生都觉得学函数如同老虎吃天——无处下口.那么，怎样组织学生学好“一次函数”这一内容呢？笔者觉得在教学中善于梳理总结是学生学好的关键，下面谈一下笔者的一点浅见.

一、让学生掌握一次函数的解析式的特征及常见的考题

一次函数解析式的结构特征：y=kx+b是关于x的一次二项式，其中常数b可以是任意实数，一次项系数k必须是非零数即k≠0，因为当k=0时，y=b（b是常数），由于没有一次项，这样的函数不是一次函数;而当b=0，k≠0，y=kx既是正比例函数，也是一次函数.

对应考点有：

（一）根据一次函数的定义求代数式的值

例如，函数y=（k-1）x+k2-1中，当k时，它是一次函数，当k它是正比例函数.

（二）一次函数的图像及性质常见的考点

一次函数的图像及性质的学习，最有效的手段是形结数合.本部分的常见考题，笔者以例子的形式总结，如函数y=3x-6，要求学生按以下步骤去做.

1.作图形：通过如下3个步骤：（1）列表;（2）描点;（3）连线，可以作出一次函数y=3x-6的图像是—条直线.我们知道，作一次函数的图像只需知道两点，并连成直线即可.因此，对上述函数最好取图像与x轴和y轴的交点即（0，-6）（2，0）作图.

2.看图像说明函数图像经过的象限.

3.计算图像与x轴和y轴围成的三角形的面积.

4.写出图像与x轴和y轴交点的坐标.

5.x满足什么条件：（1）y>0;（2）y=0;（3）y<0.

6.y随x怎么变化？

7.直线y=3x-6是哪个函数怎样平移得到？

（三）根据k，b的符号确定函数经过的象限或根据图像确定k，b的符号的常见考点

1.根据函数y=kx+b中，k，b的符号确定函数图像及经过的象限.其中k的符号决定经过的两个对称性的象限，b的符号确定一次函数的图像经过的第三个象限.b>0时图像与y轴正半轴相交，b<0图像与y轴的负半轴相交.具体如下：

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小.

当b>0时，直线必通过一、二象限;当b<0时，直线必通过三、四象限.

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像.

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;當k<0时，直线只通过二、四象限.

例如，当k>0，b<0时，函数y=kx+b的图像经过哪几个象限？

分析：k>0，图像经过对称性的一、三象限.b<0说明图像与y轴正半轴相交，故经过一、二、三象限.

2.根据函数的图像确定k，b的符号.

（四）确定一次函数的表达式

求函数的表达式通常用待定系数法，它的类型常见的有：给定两点法求函数关系、图像法求函数关系式、给定表格求函数关系式，以及综合求函数关系式.下面笔者分别举例说明.

类型（一） 已知点A（x1，y1）;B（x2，y2），请确定过点A，B的一次函数的表达式.

1.设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b.

2.因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b.所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ①和y2=kx2+b ②.

3.解这个二元一次方程，得到k，b的值.

4.最后得到一次函数的表达式.

类型（二） 已知一次函数y=kx+b的图像如图所示，求其函数关系式.

分析：从图形中找到两点（0，3）（2，0）代入可解.

类型（三） 大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数.下表是测得的指距与身高的数据：

求出h与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）.

类型（四） 已知一次函数的图像与y=-12x的图像平行，且与y轴交点（0，-3），求此函数关系式.

分析：一次函数平行的条件为k值相等，因此，所求函数关系式中k=-12，又经过（0，-3）点即b=-3，至此问题可迎刃而解.

（五）用一次函数解决生活中的实际问题

这一考点重在让学生根据实际问题写出一次函数的关系式，也就是考查学生分析问题解决问题的能力.

总之，要学好一次函数这部分知识，关键是要善于梳理总结，让学生知道这一章的重点和考点，学生就会学得轻松自如，从而达到事倍功半的效果，大家不妨也试试.