W=Flcosθ适用范围之探

刘永飞　李玉兰　徐恒震

摘   要：功的公式是定量研究功能关系的一个重要端口，但其适用范围在实际教学中却存在认知盲点。从大学力学的视角结合微积分对W=Flcosθ适用于曲线运动进行严密论证，并依托矢量运算对其在中学中的适用性进行推导，进而结合具体问题实例，从性质力与合力两种恒力类型展开分析，并将论证结果置于中学情境中予以说明，以此对一线教师的教学、变式教育提供有价值的参考。

关键词：物理教学;功的公式;适用范围

中图分类号：G633.7    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2019）29-0033-04

众所周知W=Flcosθ是恒力下的直线运动功的表达式，也适用于重力及静电力的做功问题，对后者在任意路径下的求解，人们往往基于它们的保守力特征得出。经深度探究发现，其同样适用于曲线运动，这不仅科学、适用于高中阶段，还极富功能问题解决的价值。

一、W=Flcosθ适于曲线运动的论证

（一）大学力学视角的科学论证

展开矢量式，则W=Flcosθ，其中F表示力的大小，l表示位移的大小，θ表示力和位移矢量间的夹角，这与恒力在直线运动情况下所做功的公式完全相同。由此可见，只要物体受到恒力作用，无论其运动轨迹是直还是曲，均能直接应用W=Flcosθ进行求解。

二、W=Flcosθ在问题解决中的实用价值

功能教学在高中物理教学中占据举足轻重的地位，功的计算更是定量研究能量问题的重要一环。作为其中一类重要的延伸知识，计算任意运动轨迹的物体所受恒力做功往往是难点。基于以上论证，我们认为在实际问题中运用此结论能实现速解、妙解相关问题，同时还能搭建发散思维和抽象思维的支架，以此提高学生解决问题的能力。

对沿任意运动轨迹运动的物体，只要其受恒力作用，W=Flcosθ皆可适用，下文就不同性质力与合力做功的求解，择两例具体阐释。

（一）曲线运动下不同性质的恒力做功求解

因重力、恒定静电力等两种性质的力在高中屡见不鲜，所以其求解过程不再赘述。

案例1：如图3为一简易电梯模型，当电梯以速度v1做匀速向上运动时，电梯中有一学生以大小恒为F的推力，将一质量为m的箱子从电梯一侧（初始空间位置，记为A点）推向另一侧（末态空间位置，记为B点），水平方向上推出的距离为L，在此过程中电梯上升的高度为H。已知箱子与电梯间的摩擦系数为μ，求从A到B的过程中，箱子所受支持力和滑动摩擦力所做的功（当地重力加速度记为g）。

1.方法一：常规（即微元）法求解

经受力分析可得，箱子从A到B的过程中，受到支持力、滑动摩擦力、重力和推力四个力的作用。

（1）对支持力做功的求解

如图4，类比教材中关于任意路径下重力做功的推导，我们将运动路径分成许多很短的间隔，则每段间隔皆可视为一段倾斜的直线。由于箱子在竖直方向上处于平衡状态，所以FN=G，由此可知支持力在整个运动过程中为恒力。设每段小斜线的高度差分别为△h1，△h2，△h3，△h4…由公式WN=FNlcosθ，可得通过每段小斜线时支持力所做的功分别为FN△h1，FN△h2，FN△h3，FN△h4…;箱子通过整个路径时支持力所做的功等于支持力在每小段上所做的功的代数和，即：

WN=FN△h1+FN△h2+FN△h3+FN△h4+…

WN=FN（△h1+△h2+△h3+△h4+…）

WN=FN△h=GH=mgH

（2）对滑动摩擦力做功的求解

根据滑动摩擦力的公式f滑=μFN可知，滑动摩擦力在整个运动过程中为恒力。应用与上述求解恒定支持力做功时同样的方法，我们可以得到箱子通过整个路径时滑动摩擦力所做的功：Wf滑=-f滑L=-μFNL=-μGL=-μmgL.

2.方法二：公式（也即W=Flcosθ）法求解

如图5，分析可得，在整个运动过程中支持力和滑动摩擦力为恒力，因此可直接运用恒力功公式求解：

WN=FNlcosθ=FNH=GH=mgH（θ为支持力与位移之间的夹角）

Wf滑=f滑lcosθ=-f滑L=-μFNL=-μGL=-μmgL（θ为滑动摩擦力与位移之间的夹角）

3.价值分析

除了常见的重力和匀强电场中的静电力等两种性质的力之外，滑动摩擦力和弹力也可以在曲线运动中充当恒力角色。针对摩擦力与弹力这两类不同性质的恒力做功的问题，并基于论证的结论来求解此案例，如此能够巧妙规避“微元”思想的冗长演化，并搭建抽象思维的支架，使学生灵活转换思维，以此训练学生的敏捷性和深刻性。

（二）曲线运动下多力合成的恒定合力做功求解

案例2：如图6所示，在竖直平面内有一场强为E的匀强电场，其方向与水平方向成α=30°斜向上，在电场中有一电荷量为q的带点小球，用长为L的不可伸长的绝缘细线挂于O点，当小球静止于M点时，细线恰好水平。现用外力将小球拉到最低点P，然后无初速度释放，求小球从P到M的过程中，合外力对它做了多少功？

1.方法一：先求出各分力做功的值再取代数和求解

如图7，分析可知拉力不做功。

3.价值分析

对于恒定合力，我们在求其做功问题时，若直接利用论证结论，则可规避“先求出各分力的做功值再取代数和”分步求解的复杂性，由此可实现复杂问题的速解、妙解。

三、对教学的启示

“对W=Flcosθ适用于曲线运动的思考”扩宽了做功公式的适用范围，为后期重力和静电力沿任意曲线做功问题的教学提供了一条新思路，进而可以此简化教师的教學过程，减轻学生的思维负担。事实上，在实际教学中，这种巧妙创设探究性学习情境，以学生的“最近发展区”为依托，以“过程性变式教学”为抓手的教学，正是突破思维定势的壁垒，构建深度学习的有效探索。

参考文献：

[1]漆安慎，杜婵英.普通物理学教程.力学[M].北京：高等教育出版社，2012：126～127.

[2]四川大学数学学院高等数学教研室编.高等数学第2册[M].北京：高等教育出版社，2009：206～227.

[3]人民教育出版社课程教科书研究所.普通高中课程标准实验教科书物理（必修2）[M].北京：人民教育出版社，2007：63～64.