立足规律超越规律——兼谈《钉子板上的多边形》教学

赵国防（特级教师）

探索规律作为《数学课程标准（2011版）》（下称《课标》）规定的教学内容之一，在学生的数学学习中起着重要的作用。通过探索规律的教学，一方面可以引导学生发现和总结数学中的一些重要规律，同时感受规律之美、数学之美，另一方面引导学生在探索规律的过程中积累研究经验，感悟数学思想，提升数学素养。《课标》对小学阶段分别提出了探索规律的任务与要求：第一学段是“探索简单情境下的变化规律”，第二学段要“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势。”可见，规律教学既要把握规律的内涵，探寻深层的、本质的规律，又要尊重学生的认知水平，逐步深入，层层提高，方能拨开云雾，遇见规律之外的“规律”。

一、把握规律内涵，抓准教学之“根”

规律是客观事物发展过程中的本质联系，是事物本身所固有的、深藏于现象背后并决定或支配现象的一种稳定关系。这种稳定关系具有四个特点：一是必然性，规律所反应的关系尽管是在变化中发生的，但它却具有确定不移的、必然如此的联系，是事物本质的联系，也是稳定不变的联系。二是普遍性，规律是存在于客观世界的一种普遍性的本质关系，它具有普遍性，如太阳东升西落、奇数加奇数等于偶数等等。三是客观性，规律是客观存在的，不受人为因素等外界干扰，它是客观世界现象背后的一种应然存在。四是永恒性，正因为规律是事物的本质联系，是一种稳定关系，所以规律在任何年代、任何时期都依然存在，一成不变，这也恰是它上述三个特点的一种综合而必然的结果。

在把握了规律的内涵和基本特点之后，我们再来审视数学中的规律，视域将更开阔，认识将更深刻。数学上的规律很多，但它们无非都是数和形在变化过程中呈现出来的一些固定不变的特征或关系。就拿《钉子板上的多边形》一课来说，其中的规律就是多边形面积和钉子数之间的关系。（以面积用S，多边形内钉子数用a，边上钉子数用n表示为例）第二层次的规律，已经是高度概括和抽象的一种关系表达。

本课中，仅规律就有两个层次。（见上表）第一层次，就是钉子板内钉子数是具体数时，多边形的面积和边上钉子数、内部钉子数之间的关系。这一探索过程的思维方式主要是归纳推理，即借助具体数据进行探索研究，发现和总结规律。第二层次，就是利用研究所得到的规律，进行观察、对比、分析与概括，此时所用的思维方式主要是类比推理。

规律的探索过程是一个动中有静、静中有动的变化过程，教学中要努力挖掘和提炼规律的基本特点，帮学生多角度认识规律、研究规律、发现规律、总结规律、应用规律。

如周敏君老师的课堂，围绕“多边形内只有1枚钉子”的情况，引导学生进行了深入而完整的探索与发现。尤其是当得到S=n÷2时，她及时提升“……但我们只是通过这四个例子有所发现，只能说是一个初步的猜想，还需要列举更多的例子来进行验证。是不是内部只有1枚钉子的多边形都符合这个发现呢？……请多边形内部只画有1枚钉子的同学介绍图形的面积、边上的钉子数分别是多少。其他同学也迅速地举例验证，看看是否符合刚才的发现，并找找有没有反例。”在追问中释放任务，在追问中延展思维，在追问中导向深刻。牢牢地抓住“多边形内只有1枚钉子”的情况，引导学生经历了“分析研究——提出猜想——充分验证——总结应用”规律教学的完整过程，渗透了数形结合思想和符号化思想，为学生后续的规律探索提供了研究参照和方法导引，也为深入研究奠定了基础。多边形内钉子数是2、3、4……的研究，均是“多边形内只有1枚钉子”的延伸和拓展，变的只是数据大小，不变的是内在的本质关系。

蔡小钢老师的课堂，当学生利用四个多边形得到初步结论后，教师及时追问：“是不是所有的多边形面积都符合上述规律？”引导学生拿出课前围成的多边形，独立验证。接着教师再次追问“为什么有些多边形符合猜想，而有些多边形却不符合呢？”引导学生观察、比较、发现，“符合规律的多边形里面都只有1枚钉子。”教师顺势引导概括规律，“你能完整地表达这个规律吗？如果用N来表示多边形内的钉子数，谁能把结论完整地表达出来？”在得到初步猜想之后，他运用了在“大量实例中验证规律”的思路，即让学生拿出课前围的多种多边形，让学生去验证，去发现。此时的验证，是一种多元素材背景下的验证，最终得到结论：“符合规律的多边形，里面都只有1枚钉子。”再次强化和印证了初步猜想——多边形内只有1枚钉子时，多边形的面积=边上的钉子数÷2。在上述验证过程中，变化的是多边形内的钉子数，不变的是多边形内只有1枚钉子时，多边形的面积=边上的钉子数÷2，凸显了规律本质，深化了认知与理解。

二、重视探索过程，凸显教学之“魂”

探索规律的教学，自然是以规律探索为重点，但它具有双重任务，一是规律探索，二是过程经历，即既重视结果，又重视过程。探索规律的过程，就是学生围绕教师设计的学习活动展开系列猜想——验证——概括——应用的过程。探索中，有两条主线同时行进，一条是“明线”，即规律探索的活动线索，另一条为“暗线”，即探索过程中的思维训练及情感培养线索。“明线”是具有可视化、过程性的活动线，便于观察与评价。而“暗线”则是隐匿于“明线”背后不具可视化、不便于评价的隐含要素，它比规律更为重要。“暗线”直接指向学生数学学习的思想方法、情感与态度，是对学生今后学习与生活起着重要作用的“隐形力量”，应该是教学之“魂”。教学中，教师要在抓准教学之“根”——“规律”的基础上，凸显教学之“魂”——思想方法和情感培养。

在《钉子板上的多边形》这一课中，“明线”是规律探索，“暗线”则是思想方法。那么本课都涉及哪些思想方法呢？首先是“数形结合思想”。比如学生在探索“多边形内只有1枚钉子”的时候，借助直观图形，以1厘米为基本单位去数边长、算面积，然后将所得数据汇总到表中。在此基础上，引导学生对照图形和数据，对表格中的数据进行横向比较和纵向比较。在这一过程中，一方面借助于数的精确性（边上的钉子数）来阐明了形的属性（面积大小），另一方面，借助形的几何直观性（面积大小）来阐明与数（边上的钉子数）之间的某种关系（多边形面积=边上的钉子数÷2）。多种角度、不同方向渗透了数形结合思想。

实际上，“数形结合思想”在本课的多个环节都得到了应用和训练。通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

其次就是“符号化思想”。符号化思想作为一种重要而基本的思想存在于数学之中，对学生的学习和发展起着决定性的支撑作用。在《钉子板上的多边形》一课中，多处渗透了符号化思想。比如在蔡小钢老师的课上，他放手让学生探究了“图形内钉子数为1”的情况后，引导学生用字母N表示多边形内的钉子数，用L表示多边形边上的钉子数，并让学生一步步概括规律，得到了“当N=1时，S=L÷2”。在这一过程中，为了便于表达采用了字母这种数学符号，体现了符号化简明、精确、抽象的优势。在得到“图形内钉子数为1”的多边形的面积规律后，教师及时引导学生探索了“图形内钉子数为2”的多边形的面积规律，并顺势追问：“当 N=1 时，S=L÷2，当 N=2 时，S=L÷2+1，当 N=3、4、5……时，S 与 L 之间又有什么关系呢？你们打算如何验证？”启发学生展开合作探究与验证，并围绕“这个公式适用于N=0时的情况吗？”这种特例进行了验证。验证的过程，就是一种数字和符号相互作用的过程，更是一种符号化的过程。

再次是“函数思想”。在研究多边形边上钉子数与多边形面积之间的规律时，就涉及到了一元函数。在考虑到多边形内钉子数的要素后，便会得到：多边形的面积=多边形边上的钉子数÷2+（多边形内的钉子数-1），即 S=n÷2+（a-1），此时便是二元函数。尤其是把得到的数据填入表格中，在观察、比较、分析时，函数的变与不变思想便会体现得淋漓尽致。

此外，本课还涉及到了归纳推理思想、分类讨论思想、类比思想等等，在此不再一一赘述。

学生在具体情境中，一步步发现，一步步验证，一步步总结归纳，一步步实践应用，完整经历了规律探索的“全过程”，不仅达到了《课标》中“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”的教学要求，更重视了过程经历，强化了经验积累与思想感悟，凸显了数学教学之“魂”，让规律教学真正超越了“规律”。