完备非紧梯度扩张Ricci孤立子的刚性

陈佳蕊,刘建成

(西北师范大学 数学与统计学院,兰州 730070)

1 引言与主要结果

若Riemann流形(Mn,g)上存在光滑函数f,使得

Ric+Hess(f)=λg,

(1)

则称Riemann流形(Mn,g)为梯度Ricci孤立子,记为(Mn,g,f),其中f称为势函数,Hess(f)表示f的Hessian,Ric表示Mn的Ricci曲率张量,λ∈.当λ>0(λ=0或λ<0)时,称(Mn,g,f)为梯度收缩(稳定或扩张)Ricci孤立子.若梯度Ricci孤立子(Mn,g,f)是积流形Nn-k×k的有限商,则称该梯度Ricci孤立子(Mn,g,f)是刚性的,其中Nn-k是(n-k)维Einstein流形,k是Gaussian孤立子[1].

梯度Ricci孤立子是Ricci流的自相似解,其刚性性质对于了解Ricci流解的几何结构具有重要意义.近年来,关于完备收缩Ricci孤立子刚性问题的研究已取得了重要进展,例如：文献[2]证明了任意完备的3维梯度收缩Ricci孤立子(M3,g,f)或者是3的有限商,或者是S3的有限商,或者是S2×的有限商;文献[3]在Weyl张量W=0(即Mn局部共形平坦)的条件下,将文献[2]的结果完全推广到了任意维数情形;文献[4]引入了调和Weyl张量的概念,即

并在该条件下证明了完备梯度收缩Ricci孤立子(Mn,g,f)或者是Einstein流形,或者是Nn-k×k(k>0)的有限商,其中Nn-k是(n-k)维Einstein流形;文献[5]在更弱的条件,即假设Weyl张量的四阶散度

的条件下得到了相同的结果；文献[6]通过对Bach张量

进行适当限定,得到了一个更细致的刚性结果,证明了当Bij=0(即MnBach平坦)时,完备梯度收缩Ricci孤立子(Mn,g,f)或者是Einstein流形,或者是n的有限商,或者是Nn-1×的有限商,其中Nn-1是(n-1)维Einstein流形.

对于完备非紧的梯度稳定Ricci孤立子;文献[7]在Weyl张量W=0的条件下,证明了其或者是n的有限商,或者是一个Bryant孤立子;文献[8]在Ricci曲率为正且Bach平坦的条件下,证明了完备梯度稳定Ricci孤立子是一个Bryant孤立子,并证明了完备梯度扩张Ricci孤立子是旋转对称的.

本文基于上述工作,在Weyl张量四阶散度非负的条件下研究梯度扩张Ricci孤立子的刚性问题,得到如下结果：

定理1设(Mn,g,f)(n≥4)是完备非紧梯度扩张Ricci孤立子,其径向曲率为0,且Ricci曲率非负.若div4(W)≥0,则(Mn,g,f)是刚性的.

注1文献[5]在Ricci曲率非负且div4(W)=0的条件下证明了完备梯度扩张Ricci孤立子有调和Weyl张量.本文将div4(W)=0的条件减弱为div4(W)≥0,得到了梯度扩张Ricci孤立子的刚性结果.

2 预备知识

Riemann流形(Mn,g)上的Weyl张量W在局部坐标系下定义为

其中Rijkl,Rij,R分别表示(Mn,g)的Riemann曲率张量的分量、Ricci曲率张量的分量和数量曲率.文献[5]研究表明,Weyl张量满足如下对称性质：

Wijkl=-Wjikl,Wijkl=-Wijlk,Wijkl=Wjilk,

且

类似地,由文献[9]知,Riemann流形(Mn,g)上的Cotton张量C可局部地表示为

其关于前两个指标反对称,即Cijk=-Cjik,且

由第二Bianchi恒等式易证,Weyl张量W与Cotton张量C具有如下关系:

(2)

利用Weyl张量和Cotton张量,Bach张量B可局部地定义为

由式(2)及Ricci恒等式[6]可知,Bach张量B与Cotton张量C满足如下关系:

(3)

一般地,梯度Ricci孤立子(Mn,g,f)的数量曲率和Ricci曲率张量满足:

(4)

事实上,一方面,对第二Bianchi恒等式做缩并得

iR=2gjkjRik.

(5)

另一方面,Ricci孤立子方程(1)局部地表示为Rij+ijf=λgij.结合Ricci恒等式,有

(6)

对式(6)中指标j和k做缩并,得

将其代入式(5)即得式(4).

引理1[9]设(Mn,g,f)(n≥4)是一个梯度Ricci孤立子,则

引理2[5]设(Mn,g,f)(n≥3)是一个梯度Ricci孤立子,ψ:→是C2-函数.若ψ(f)在Mn上有紧致支撑集,则

3 定理1的证明

若梯度Ricci孤立子(Mn,g,f)的径向曲率张量为0,即R(·,f)f=0,则易知其径向平坦,即

K(E,f)=〈R(E,f)f,E〉=0,

其中E是Mn上的任一坐标基向量.下面先证明Mn的数量曲率为常数,分两种情形讨论.

情形2) 若集合{p∈M|f(p)≠0}在Mn上是稠密的,因为径向曲率为0,所以

其中{Ei}是Mn的任一切标架.在梯度Ricci孤立子上有R=2Ric(f,·),故

0=2Ric(f,f)=〈R,f〉.

进一步,由引理1知

由式(3),有

因此,要证Mn上有常数量曲率,只需证明在Mn上Cotton张量C=0即可.

下面在定理1的条件下证明梯度扩张Ricci孤立子(Mn,g,f)(n≥5)上的Cotton张量C=0.

设Φ: [0,+∞)→是C3类函数,且对(0,+∞)上任意一固定点s,在[0,s]上Φ恒为1,在[2s,+∞)上Φ恒为0,在[s,2s]上Φ′≤0.取Ψ(f)=efΦ(-f),由定理1的条件可知,对任意的s>0,截断函数Ψ(f)在Mn上有紧致支撑集[7].由引理2知,

易见式(7)左侧非负,下证式(7)右侧非正.

由式(2)可知

结合假设div4(W)≥0,故

注意到在[0,+∞)上Φ(-f)≥0,Φ′(-f)≤0,进一步可知,式(7)中

(8)

因为Ψ=efΦ′(-f)是C2函数,由引理2知式(7)中最后一项

(9)

结合式(7)～(9),必有

可知在紧集Ωs={f≤s}上C恒为0,取s→+∞,可知在整个Mn上有C恒为0,进而(Mn,g,f)有常数量曲率.再结合文献[1]中定理1.2即可得梯度扩张Ricci孤立子(Mn,g,f)是刚性的.证毕.