常见“保值”问题的求解策略

江苏

王安寓

(作者单位：江苏省南京市六合区实验高级中学)

在函数的家族中，存在很多天才.这些天才俊杰在数学王国中纵横驰骋呼风唤雨，手段诡秘.有一种对应，将集合A中的元素x保持不变地对应到它自身，我们称其为恒等变换.在恒等变换作用下，函数的定义域与值域相同.神奇的是，不是恒等变换的对应，也能使函数的定义域与值域相同.我们称这类函数为“保值”函数，有的资料也称其为“闭函数”,对应的定义域为“保值”区间.

与“保值”函数有关的题型，主要有三类：①判断一个函数是否是“保值”函数；②求一个函数的“保值区间”；③由函数具有“保值”性求参数范围.而“保值”函数的试题呈现的方式多变，可直接命题，可命制探索性问题或存在性问题等.那么，求解“保值”问题的常用策略有哪些呢？本文作一点探讨，以期抛砖引玉.

策略一、运用常见函数的值域解决“保值”函数

最典型的“保值”函数是一次函数.一次函数的定义域和值域都是(-∞,+∞)，根据保值函数的定义可知，一次函数必是保值函数.特别地，一次函数中，y=x恰是恒等变换.除了一次函数外，反比例函数也存在“保值”函数，三角函数也可构造“保值”函数.

【例1】(1)若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定义域和值域都为R，则实数a的取值范围是

( )

A.a=-1或3 B.a=-1

C.a>3或a<-1 D.-1

②你能根据该题再举出一个含有sinx的“保值”函数吗？你举出的函数为________.

分析：(1)由于函数f(x)的定义域和值域都是R，而f(x)的解析式是最高次方为二次的多项式函数，故f(x)只能是一次函数.由此确定函数的类型进而求解.

(2)当x>0时，f(x)>0等价于a2-2a>0，解不等式即可.

解析：(1)若a2-2a-3≠0，则f(x)为二次函数，值域不为R，不合题意；

若a2-2a-3=0，则a=-1或3；

当a=3时，f(x)=1，f(x)的值域为{1}，不合题意；

当a=-1时，f(x)=-4x+1，f(x)的值域为R，符合题意.

故选B.

(2)依题意得a2-2a>0，解得a<0或a>2.故实数a的取值范围是a<0或a>2.

变式1：若函数f(x)=2x-m是(0,+∞)上的“保值”函数，则实数m的值是________.

答案：m=1.

策略二、单调递增“保值”函数，转化为方程有异根

从数的角度看，若函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增函数，且是“保值”函数，则f(a)=a,f(b)=b，即f(x)=x在定义域内有两个不相等的实数根a,b，从而转化为关于x的方程f(x)=x在定义域内有两个不相等的实数根，运用根的分布求解.

从形的角度看，若函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增的，且是“保值”函数，由于x∈[a,b]时，f(x)∈[a,b]，故f(a)=a,f(b)=b，于是，函数y=f(x)过点(a,a),(b,b)，故函数y=f(x)的图象与直线y=x的图象有两个不同的交点.再考虑直线与曲线有两个不同交点的情形，根据相应的几何意义求得参数范围.

1.保值区间，求解方程

对于“保值”函数的“保值”区间，只能通过解方程(组)完成.根据“保值”函数的定义，将“保值”函数转化为方程(组)，运用消元法求解.这是最基本的方法.

【例2】已知函数f(x)的定义域为区间A，若f(x)的值域也为A，则称区间A为f(x)的“保值”区间，f(x)是区间A上的“保值”函数.

(1)求函数f(x)=x2的形如[n，+∞)(n∈R)的保值区间；

(2)设f(x)=x2+m是[a,b]上的“保值”函数，求m的范围及对应y=f(x)的“保值”区间[a,b].

分析：(1)根据“保值”函数的定义，条件转化为f(x)=x在[n，+∞)上有异根，解方程即可；

(2)由“保值”函数的定义，结合函数单调性及最值，转化为方程或方程组求解.

解析：(1)∵x2≥0，且f(x)=x2的值域为[n，+∞)，∴n≥0，易知函数f(x)=x2在[n，+∞)上单调递增，∴f(n)=n2=n，解得n=0或n=1，∴函数f(x)=x2的形如[n，+∞)的“保值”区间为[0，+∞)或[1,+∞).

(2)易知f(x)=x2+m在(-∞,0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增.

①若a

③当a<0

若f(m)≥f(b)，则0

点评：“保值”函数的本质是求函数的最值或值域，而二次函数在区间上的最值问题是学生司空见惯的.当函数在区间上单调递增时，根据函数的单调性，将“保值”函数问题转化为方程的解的问题，可直接解方程或应用根与系数的关系.欲求“保值”区间，必解方程，因此，本题只能运用方程思想(数的角度).

解析：易知f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，且f(x)在R上单调递增.则M=N，得a,b是f(x)=x的两个相异实根.f(x)=x，即x|x|=x，解得x=0或x=±1，注意到a

2.根之分布，参数范围

“保值”函数都是满足一定条件的，而这个“条件”对应的就是参数的范围.已知“保值”求参数，往往转化为根的分布、不等式或两个函数有相异交点问题求解.

( )

分析：(1)紧抓闭函数定义，转化为方程有解.

(2)紧抓闭函数定义，转化为方程有解，进而转化为两个函数有不同交点.

故选D.

点评：先判断函数单调性，再根据函数单调性将闭函数(也是“保值”函数)问题转化为方程有解问题，然后应用根的分布求解，也可直接解出方程，研究方程的根.本题的方法一和方法二的求解过程是从数的角度实施的，方法三是从形的角度求解的.

用形求解，还可以先做适当变形，再画图求解(方法二和方法三).

对比三种方法，方法二最直观，既便于观察又避开了切线的难点.方法三平移抛物线，不如平移直线，相对来说不便于操作.

当然，本题还可仿照例3(1)的前两种方法从数的角度求解.

( )

A.[-1，0] B.[1，+∞)

解析：易知函数f(x)是[1,+∞)上的增函数.

故选D.

3.韦达定理，函数最值

“保值”函数问题转化为方程的解，可利用韦达定理，将目标转化为关于参数的函数最值问题求解.

分析：先判断函数单调性，再转化为方程有不等实根，应用韦达定理，构造关于t的函数求解.

点评：将“保值”函数转化为方程有异根后，巧用韦达定理将目标转化为关于t的函数，通过配方求得目标的最大值.本题的求解过程充分体现了转化与化归思想、函数与方程思想.本题容易遗漏求参数范围——新函数的定义域.

a+b=4+4m∈(4,6].

策略三、单调递减“保值”函数，转化为方程组有两解

从形的角度看，若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减，且是“保值”函数，由于x∈[a,b]时，f(x)∈[a,b]，故f(a)=b,f(b)=a，于是，函数y=f(x)过点(a,b),(b,a)，故函数y=f(x)的图象与直线y=-x+a+b有两个不同的交点.再考查直线与曲线有两个不同交点的情形，根据相应的几何意义求得参数范围.

分析：由函数的单调性，将值域转化为方程组，研究方程组有不同实数解即可.

策略四、不单调“保值”函数，分类讨论各个击破

若函数f(x)既有增区间又有减区间，又是“保值”函数，则分类讨论，在各单调区间内研究函数值域，各个击破.在增区间内，用策略二；在减区间内，用策略三；在既有增区间又有减区间的区间内，先确定一个最值，再讨论第二个最值.

1.分类讨论，各击“保值”

“保值”函数本质是求函数y=f(x)在定义域为[a,b]时的值域.当函数单调性不止一种时，就要分类讨论，各个击破.

分析：二次函数f(x)既有单调递增区间，又有单调递减区间，由f(x)的定义域[a，b]求函数f(x)的值域，就要分类讨论.

故答案为5.

解析：显然m,n同号.

综上，实数a的取值范围为a=0或a>2.

2.联袂导数，共谋“保值”

当“保值”函数的形式复杂，不易判断函数单调性时，可借助导数研究函数的单调性.

【例7】若函数g(x)=x-ln(x+m)的“保值”区间是[2，+∞)，求实数m的取值范围.

分析：考虑两个方面：①函数g(x)在[2，+∞)上有意义；②如何求函数g(x)的值域.

解析：由x+m>0得x>-m，因为g(x)的“保值”区间是[2,+∞)，所以2+m>0，即m>-2.

当2≤1-m，即-2

当2>1-m，即m>-1时，函数g(x)在[2，+∞)上单调递增，故g(x)min=g(2)=2，即2-ln(2+m)=2，解得m=-1，与m>-1矛盾，舍去.

综上，m=-1.

点评：对于复杂函数的单调性，常用导数作为手段来研究.

变式7：已知函数f(x)=x3+ax+b的图象关于原点对称，且与x轴相切.

(1)求实数a,b的值；

(2)是否存在实数m,n，使得g(x)=3-|f(x)|在区间[m,n]上的值域仍为[m,n]？若存在，求出m,n的值；若不存在，请说明理由.

解析：(1)a=b=0，过程略；(2)易知g(x)=3-|x3|在(-∞,0]上单调递增，在[0,+∞)上单调递减.

当n>m≥0时，g(x)=3-x3在[m,n]上单调递减，则g(m)=3-m3=n,g(n)=3-n3=m，两式相减得n3-m3=n-m，n2+mn+m2=1，0

当m<0

综上，不存在满足题意的m,n.

通过例2-例7的求解，我们得到解决“保值”函数问题的步骤：先研究函数的单调性，再根据函数的单调性情况实施转化.若能判断“保值”函数是增函数，则运用策略二；若能判断“保值”函数是减函数，则运用策略三；若“保值”函数既有增区间又有减区间，则运用策略四.

求解“k倍”函数、“镜像”函数、“调和”函数、“平方”函数等函数问题的方法与求解“保值”函数问题的方法基本相同，仍可从数(方程或方程组)的角度和从形(转化为根的分布或两个函数的交点)的角度两个角度入手转化求解.

【例8】对于函数y=f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时，f(x)的值域为[ka,kb](k>0)，则称y=f(x),x∈[a,b]为“k倍”函数.若f(x)=lnx+x是“k倍”函数，则实数k的取值范围是________.

分析：由函数的单调性破解“k倍”函数的本质，转化为方程有解.

方法二：仿方法一得lnx+x=kx有两个相异正根，即lnx=(k-1)x有两个相异正根.

设函数y1=lnx,y2=(k-1)x，则转化为y1与y2的图象有两个相异的交点.y2是过原点的直线.

通过例8的求解，我们得到解决类“保值”函数问题的方法同于“保值”函数问题.