追根溯源寻本质 分析理解辨差异

摘 要：抓住概念本质是理解概念的关键.本文例谈了分式方程的增根和无解问题，通过对不同题型中两者关系的“等同”“包含”“无关”等情形的分类解析，感悟两者的区别和联系，并借助分析归因，追寻概念的本质，理解解法的差异.

关键词：分式方程;整式方程;增根;无解

作者简介：郭源源（1988-），男，江苏南京人，本科，中学一级教师，研究方向：初中数学课堂教学设计研究.

分式方程的增根和无解是分式方程中常见的两个概念，也是分式章节常考的题型.部分学生在学完分式方程后，会对这两种概念混淆不清，错误地认为分式方程中，它们是同一种情形，有增根就是无解，无解就是有增根，解法思路都一样.然而事实并非如此.本文结合自己在教学中的实践所得，以近年的中考题和其变式为例，谈谈两者本质上的差异及其解法上的不同.

1 “无解”等同“有增根”情形

例1 （2019年烟台）若关于x的分式方程 3xx-2-1=m+3x-2有增根，则m的值为.

解 方程两边同乘以（x-2），得3x-（x-2）=m+3，整理得 2x=m+1，此整式方程的解为x=m+12.

又因为原分式方程有增根，则x=2.

所以可得m+12=2，解得m=3.

评注 解题的基本思路是：（1）将原分式方程去分母转化成整式方程，并解出整式方程x的值;（2）分析出原方程有增根时x的值;（3）两者x值相等列式，解出参数m即可[1].还可以不解整式方程，直接将增根代入其中，求出参数m，两种方法本质是一样的.解此类题的关键是读懂“有增根”背后的隐藏条件，即“增根是分式方程分母为0时未知数的值”.

例2 若关于x的分式方程 3xx-2-1=m+3x-2无解，则m的值为.

解 由例1可知，去分母转化成整式方程2x=m+1后，此整式方程有唯一的解x=m+12.而条件中原分式方程最终无解，由此可判断，整式方程的唯一解是分式方程的增根，只有这样，原方程才会无解.故此情形和例1一样，列出m+12=2，解得m=3.

评注 分式方程“化整”后，所转化的整式方程在已确定只有唯一解的情形下，原分式方程“有增根”和“无解”两个问法是一样的.因为在此种情形下，无解产生的原因，就是唯一解是增根.故例1和例2参数值求法是一样的.

2 “无解”包含“有增根”情形

例3 （2019年巴中）若关于x的分式方程 xx-2+2m2-x=2m有增根，则m的值为.

解 方程两边同乘以（x-2），得x-2m=2m（x-2），整理得（1-2m）x=-2m.

由原分式方程有增根，可判断此整式方程一定有解，故（1-2m）≠0，即m≠12.

此时整式方程解为x=-2m1-2m.

又因为原分式方程有增根，则x=2.

所以可得-2m1-2m=2，解得m=1.

评注 本题的关键在于化整后的整式方程（1-2m）x=-2m，因系数（1-2m）不确定是否为0，故此整式方程解的情况也不确定，需要进一步分析推断.通过原分式方程有增根，推断出整式方程有解，且是唯一解.故解法和例1一致.

例4 若关于x的分式方程 xx-2+2m2-x=2m无解，则m的值为.

解 去分母转化成整式方程（1-2m）x=-2m.

因为原分式方程无解，推断可能有两种情况：①此整式方程无解;②此整式方程有解，但唯一的解是增根.故可作以下分类：

①若此整式方程无解，则1-2m=0，即m=12.符合题意;

②若此整式方程有解，則唯一的解为x=-2m1-2m.此时同例3解法，m=1.符合题意.

综上所述，m=12或m=1.

评注 分式方程“化整”后，所转化的一次整式方程在不确定是否有解的情形下，原分式方程“无解”包含了“整式方程无解”和“整式方程唯一解是增根”两种情况.故例3和例4的求法不一样，例3只属于例4中的一种情况.

3 “无解”无关“有增根”情形

例5 若关于x的分式方程2xx+1-mx2+x=x+1x有增根，求m的值.

解 方程两边同乘以x（x+1），得2x2-m=（x+1）2，整理得x2-2x-m-1=0.

由原分式方程有增根，可判断此整式方程一定有解，且解中含有增根.

因为原分式方程有增根为x=0或x=-1，

则当x=0时，将其代入整式方程解得m=-1.

当x=-1时，将其代入整式方程解得m=2.

综上所述，m=-1或m=2.

评注 分式方程“化整”后为一元二次方程，无法推断一元二次方程的解就是增根，只能推断一元二次方程解中含有增根，所以代入增根求参数的方法较合理.

例6 若关于x的分式方程2xx+1-mx2+x=x+1x无解，求m的取值范围.

解 去分母转化成整式方程x2-2x-m-1=0.

因为原分式方程无解，推断可能有两种情况：①此一元二次方程无解;②此一元二次方程有解，但所有解都是增根.故可作以下分类：

①若此一元二次方程无解，则b2-4ac=4-4（-m-1）=4m+8<0，即m<-2.符合题意.

②若此一元二次方程有解，则b2-4ac=4-4（-m-1）=4m+8≥0，即m≥-2.

由韦达定理知此一元二次方程的两解x1+x2=-ba=2.

因为原分式方程有增根为x=0或x=-1，

则当x1=0时，代入解得m=-1，但同时求得另一个根x2=2，此情况不满足一元二次方程所有解都是增根，故m≠-1.

当x1=-1时，代入解得m=2，但同时求得另一个根x2=3，此情况也不满足一元二次方程所有解都是增根，故m≠2.

综上所述，m<-2.

评注 分式方程“化整”后，若转化成一元二次方程，则在不确定其是否有解的情形下，原分式方程“无解”包含了“一元二次方程无解”和“一元二次方程所有解都是增根”两种情况.例5中的一元二次方程暗示“解中含有增根”，而例6中暗示“所有解都是增根”，故它们的答案也截然不同.

4 “有解”并且“只有一个实根”情形

例7 只有一个实数是关于x的分式方程2xx+1-mx2+x=x+1x的根，求m的值.

解 去分母转化成整式方程x2-2x-m-1=0.

只有一个实数是原分式方程的根，推断可能有两种情况：①此一元二次方程有两个相等的实数根;②此一元二次方程有两个不相等的实数根，但有一个是增根.故可作以下分类：

①若此一元二次方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=4-4（-m-1）=4m+8=0，即m=-2.符合题意;

②若此一元二次方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac=4-4（-m-1）=4m+8>0，即m>-2. 且两个根中，必须有一个是增根，原分式方程有增根为x=0或x=-1.由例6中的解法知：

当x1=0时，代入解得m=-1，同时求得另一个根x2=2，符合题意.

当x1=-1时，代入解得m=2，同时求得另一个根x2=3，符合题意.

综上所述，m=-2或m=-1或m=2.

评注 本题的关键在于解读条件“只有一个实数是原方程的根”，它包含了上述的两种情况.此时它与增根的关系也是不确定的，情况①原方程无增根;情况②原方程有增根.

综上，分式方程的增根和无解问题看似虽小，没有繁琐的计算和冗长的证明，考题中也多以选择、填空的形式出现，但其实质却蕴含着丰富的数学知识和思想方法，包括对数学概念的理解，对题目条件的解读和对方程细节的处理，整个过程涉及到隐藏条件的分析、转化思想的运用、分类策略的掌握等，思维含量很高，对提升学生思维的严谨性和全面性有很大的帮助.

初学者对于增根和无解问题似是而非、似懂非懂的现象不在少数，究其原因，是对概念本质的不理解.数学家华罗庚说过：复杂的问题要善于退，足够的退，退到最原始而又不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍.筆者认为，要想彻底弄清这类问题，需退回到理解增根和无解产生的原因.去分母的依据是等式的基本性质，可等式的基本性质中同乘或除以的必须是一个不为零的整式，而分式方程去分母却无法保证同乘的整式是否为零，故这一步是有漏洞的，因此最后的解需要代入同乘的整式中检验，若整式不为零，则去分母步骤成立，解也没问题;若整式为零，则去分母步骤错误，最后的解也就成为了增根.追根到底，增根产生的原因是去分母同乘了零，导致未知数的取值范围被扩大，而分式方程无解原因有两种：（1）“化整”后的整式方程无解;（2）“化整”后的整式方程有解，但解都是增根[2] .所以掌握分式方程增根和无解的问题，如文中的各类情形，靠的不是学生的死记硬背，而是带着理解去分析，准确解读出条件背后的涵义，严谨有序的逐一划归解决.由此可见，只有站在概念的角度追根溯源找寻本质，才能从根本上理解分式方程增根与无解各自产生的原因以及辨析它们之间的差异，从而真正帮助学生从数学内涵和数学发展上更清晰更深刻地认识数学知识.

参考文献：

[1]丁祖元.强化数学思辨 凸显内在关联 提升核心素养——以分式方程有增根和无解为例[J].中学数学月刊，2015（12）：21-22.

[2]杨勤春.分式方程的增根和无解一样吗[J].中小学数学（初中版），2018（Z2）：40-41.

（收稿日期：2019-07-22）