浅谈避开题设“陷阱”的巧解方法

韩秀

[摘 要]解答数学题，会遇到设陷阱的题，许多学生一般都会出错。要排除这种障碍，减少失误，省时省力快速解答，获得高分，运用巧妙的解题技巧解陷阱题是最好的方法。

[关键字]巧解;陷阱题;分类

一、巧解陷阱题，问题分类要全面

（典例1）解关于x的不等式|b-ax|0，a≠0）.

【错解】原不等式等价于-m

∴-m-b<-ax

∴ -m+b

∴

故不等式的解集为：

【剖析】 上述解答错误的原因是误认为a>0，其实当a<0时还有一种情况：，此时解集为。

【评注】 含字母系数的不等式，求解时要注意分类讨论。

典例2  “若m>0，则x2+x-m=0有实数根”，此命题的逆否命题为若x2+x-m=0没有实数根，则m≤0为假命题。

【剖析】 当m>0时，x2+x-m=0的判别式△=1+4m>0，所以原命题为真，因而逆否命题也为真.题设结论是错误的，其原因是对复合命题“p或q”的理解有偏差。若x2+x-m=0没有实数根，则△=1+4m<0，所以m<-，而不是m≤0，这种理解是错误的，因为m<- m<0或m=0m≤0， “p或q”有真即真，只要有一个成立即可。

【评注】 对命题、复合命题的理解要到位，尤其是对“p或q”的理解更是如此。

典例3  若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是

【延时成因】考生平时解题中对求空间轨迹问题的题型接触少，本题中求解轨迹方程，受知识所限困难太大，又由于受选择项A与B的干扰，使思维方向集中指向了平面解析几何中的轨迹问题。

【对策】 解选择题也不能一味地追求速度，如在本题中，若胡乱作图后，立即选择答案，而不是考虑选项的科学性，则解选择题的错误率就会很高，排除干扰项的方法常见的有：特殊值法、代入法、图像法、筛选法等。此题的思考方向应在C与D选项上，设线段PB与底面BCD所成的角为α，∠ABP=β，则当且仅当α=β时，P到底面BCD的距离与到棱AB的距离均等于PB  sinα，又由实际作图可得仅选D符合条件，故选D。

二、巧解陷阱题，特殊情况要牢记

典例4  已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别a，b，c，若b是 ，2的等比中项，c是1，5的等差中项，则a的取值范围是______。

【错因分析】 根据余弦定理知，若a是最大边，当b2+c2-a2>0 时，三角形为锐角三角形.由于忽视当c为最大边时的情形，从而掉入漏解陷阱。

【正确解析】 （，10） 因为b是 ，2的等比中项，所以b==1;

因为c是1，5的等差中项，

所以c==3.

因为△ABC为锐角三角形，所以

①当a为最大边时，有

解得3≤a<;

②当c为最大边时，有，

解得2

由①②得 2

【误区警示】 求解此类题需树立分类讨论的思想意识，明确其分类“度”的选择，分类时要做到不重、不漏。

三、巧解陷阱题，排除干扰要果断

典例5  已知数列{an}的首项为4，前n项和sn满足=+1（n≥2） ，则数列{an}的通项公式为_____.

【错因分析】 利用an=sn-s（n-1）） （n≥2） 求数列{an}的通项公式时，未注意到首项a1=4是否满足an=2n+1 ，导致求出的数列{an}的通项公式错误。

【正确解析】 an= 因为=+1（n≥2），且===2，

所以数列 是首项为2，公差为1的等差数列，

所以=2+（n-1）×1=（n+1），

所以sn=（n+1）2.

当n=1时，a1=4;

当n≥2时，an=sn-s（n-1））=（n+1）2-n2=2n+1.

因为a1=4不符合上式，所以数列{an}的通项公式为an=

【误区警示】 对于已知条件中含有可转化为an与 sn关系的数列题，求其通项公式时常利用公式an=进行求解，此时需注意：一定要验证a1是否包含在an=sn-s（n-1）所求得的公式中，若不符合，其通项公式一定要分段来表示，如典例3中，a1=4不符合an=2n+1，所以其通项公式需写成an=.

典例6已知全集U=R，集合A={x│log2（5-x）≤2 }，C={x│-a

【错因分析】本题因思考不严谨，导致实数a 的取值集合求错，一般有两种情形：一是解对数不等式log2（5-x）≤2时，忽视了对数的真数要大于0，导致不等式求解出错;二是想当然地认为集合C不为空集，导致实数a 的取值集合求错。

【正确解析】{a│a≤-1} 因为log2（5-x）≤2 ，所以，解得1≤x<5，所以A={x│1≤x<5}.

因为C∩A=C，所以C∈A.

当C=φ时，满足C∈A，此时-a≥a+3，解得a≤;

当C≠φ时，要满足C∈A，则 .解得-

由①②得，a≤-1，所以实数a的取值集合为{a│a≤-1}.

【误区警示】 已知集合的运算关系式，求解集合中参数的值（或取值范围），这类题往往具有一定的开放性，牵涉因素较多，看上去错综复杂。若严谨思考问题，则能突破解题难点，优化解题思路。

三、巧解陷阱题，思考问题要严谨

典例7  关于x的不等式x+-a2+3a>0 在x∈（2，+∞）上恰成立，则实数a的值为______。

【点拨】将“关于x的不等式x+-a2+3a>0”在x∈（2，+∞）上恰成立”转化为“函数f（x）=x+在（2，+∞）上的值域为（a2-3a，+∞）”，求函数f（x）在（2，+∞）上的值域，得到关于a的方程，求出a的值.

【解析】 -1或4设f（x）=x+，因为x>2，所以f‘ （x）=1-=>0，所以f（x）=x+在（2，+∞）上为单调递增函数，所以f（x）>f（2）=4. 又x+>a2-3a在（2，+∞）上恰成立，所以a2-3a=4，解得a=-1或a=4.

【攻略秘籍】 求解此类含参不等式恰成立问题的关键是过好三关：一是轉化关，即将“关于x的不等式f（x）g（a）在区间D上恰成立”转化为“函数f（x）在D上的值域是（g（a），+∞）”;二是求函数的值域关，可以用函数的单调性法、导数法、图像法等求函数的值域;三是方程关，即列出参数a所满足的方程，可求出a的值 。