七年级数学教学中分类讨论思想的应用分析

2019-11-11 11:12张安定
考试周刊 2019年72期
关键词:分类讨论思想七年级数学教学

摘 要:初中数学是初中教学体系中的重要组成部分,数学学习需要掌握许多数学思想,比如分类讨论思想、数形结合思想、方程思想等。分类讨论思想是一种根据数学对象本质属性的异同,将数学研究对象分为不同种类的数学思想,它贯穿于数学学习的整个过程,也是近年来中考考查的热点之一,是教学的难点。本文结合七年级数学的教学实践来讨论分类思想的实际运用。

关键词:七年级;数学教学;分类讨论思想

一、 步步为营,在初中数学教学的过程中逐步渗透分类思想

(一) 在基本概念的理解中,渗透分类思想

七年级学生刚刚从小学进入中学,初中数学相对于小学数学其难度加大了许多,一些学生内心会产生恐惧心理。因此,教师应根据现阶段学生心理以及身心特点巧妙编写教学方案,将初中复杂的数学知识变得简单化,消除部分同学的畏惧心理,从而提高学生的学习效率。而分类思想刚好能够满足以上需求。教师在教学数学基本概念时可以从实际生活入手,比如,在生活中我们都有将衣服以及文具分类的习惯,教师可以作为切入点,将数学分类思想渗透到数学概念中,以便帮助学生加深对数学概念的理解与认识。如教学有理数的两种分类方法:第一种将有理数分为整数与分数,整数分为正整数、零、负整数;分数分为正分数与负分数。第二种是将有理数分为正有理数、零、负有理数。经过以上两种分类,可以让学生了解到有理数在不同的分类标准下有截然不同的理解,帮助学生在分类的过程中充分的理解有理数。

(二) 在知识生成过程中,巧用分类思想

新课程改革提倡从实际生活引导出数学问题,即以“生活教学”为主。因此,在实际数学教学过程中,尤其是在某些公式或者数学性质的教学时,教师要善于引导学生了解公式或者数学性质的推理过程。例如,教师在教学有理数的乘除法则时,可以从三个方面引导学生进行归纳,分别是同号两数相乘、异号两数相乘以及正负数与零相乘的情况,最后学生可以得出“同号得正,异号得负,任何数与零相乘都等于零”的数学结论,以上讨论的方法具有完整清晰的思路,能够让学生初步体会到分类思想的优势所在。

二、 循序渐进,在解题教学过程中培养应用分类讨论方法

数学的教学是数学思维活动的教学。在注重基础知识和基本技能的教学中,我们更加要注重数学思想方法的培养,分类讨论思想是初中数学的“核心”思想。在实践教学中,针对不同的课型,设计不同的教学思路来渗透数学分类思想,引导学生积极参与数学教学活动,体会数学方法的价值。

(一) 概念型

有些数学题目需要結合数学概念来进行求解。其中最为典型的数学知识点是绝对值问题。例如:

已知|x+1|=5,求x的值是多少?

分析:首先我们从绝对值的基本性质|a|=b,a=b或者a=-b(a不等于0)可以知道x的值有两种情况:第一种,当x+1的值大于0时,即x+1=5,解此方程得x=4;第二种情况,当x+1的值小于0的时候,即x+1=-5;解此方程得x=-6。

所以这一题的答案为x=4或者x=-6。

不难看出,这一题主要考查学生对绝对值基本性质的理解,学生只要在理解绝对值基本性质的前提下,将题目分为两种情况去进行讨论,进而得到问题完整的答案,其主要还是锻炼学生的分类讨论的能力。

思考:数学概念是数学教学的基础,数学概念涉及数学思想方法,如分类讨论思想。在数学教学中,我们要抓住一些典型的数学概念,来引导学生分类讨论。

(二) 不等式型

不等式数学知识点同样是运用分类讨论思想的重点,学生必须根据参数的不同取值来进行讨论。例如:

试比较x-3与3-x的大小。

分析:通常情况下,这类题目每个学生都能做出答案来,但是可能学生答不完全。一般来讲,遇到这种表达式比大小的题目,常常使用作差的方法,通过分类讨论的方法得到x不同的值,所以解决此类问题的具体方法如下:

解:作差:x-3-(3-x)=0,解得x=3;

下面分类讨论:

当x=3时,有x-3=3-x;

当x>3时,有x-3>3-x;

当x<3时,有x-3<3-x;

(三) 图形特征型

有时在学习几何图形的过程中不确定图形的特征,需要进一步讨论得出图形的完整信息。例如:

已知△ABC,其周长为20cm,AB=BC,其中一边边长是另一边边长的2倍,问AC长多少?

解析:由于AC边不固定,可以分两种情况来考虑,第一种:2AB=2BC=AC;

第二种:AB=BC=2AC。所以具体解题过程如下:

解:设AB=BC=x

①当2x=AC时,

列得方程式x+x+2x=20;解得x=5cm;则AC=10cm。由三角形任意两边之和必定大于第三边的性质可以知道x=5不符合题意,故舍去。

②当AC=x2=AB=BC时;

可以列得方程x+x+0.5x=20,解得x=8cm,则AC=0.5x=4cm;符合题意。

答:AC长为4cm。

思考:在问题解决过程中,可以利用分类讨论的思想,反思数学解题过程。如本题设计的三角形三边问题,三边长能不能构成三角形,需要在学生解完题目后进一步思考:结果完整了吗?答案全面了吗?在问题的解决中,分类思想有利于培养学生数学问题思考的全面性和严谨性。

(四) 方程型

有些应用题必须通过列方程进一步讨论才能得出最终的答案。例如:

初春之际,七一班与七二班两个班级的学生准备去某一个景点春游,现在已知景点的售票模式是这样的:当购票人数在1~50人之间,门票价格是每人15元,购票人数在51~100人之间,门票价格是12元,100人以上,门票价格是每人10元,现在已知两个班级共103人(七一班人数多于七二班人数),若每一个班单独购买门票,需要的总费用是1500元;问:

(1)若两个班合在一起购买门票需要多少钱?

(2)每个班各有多少名学生?

解析:第二问对于同学来讲或许有些难度,不过在已知条件下可以推理出,七一班人数已经超過50人,因此,学生可以这样解决第二问:先设七二班人数有x人,当x>50时有12(103-x)+12x=1500;当x<50时,有12(103-x)+15x=1500;这样就可以得出x的具体数值,之后根据实际情况求解即可。

总的来讲,这也是考查学生分类讨论思想的一种。

思考:分类是讨论的前提,讨论是分类的目的;任何知识的学习,如果知识停留在数学问题的解决上,效果是不明显的,学生也不能很好的把握。在实际问题解决中,结合问题情境来引导学生分类讨论。

(五) 图形结合型

由于七年级学生空间思维想象能力有限,在遇到比较抽象的题目时就显得吃力,教师要善于将数形结合思想与分类讨论思想互相融合,帮助学生理解抽象的数学题目。例如:

已知现在平面内有三条直线,现在让这三条直线的任意两条相交,问三条直线的交点有几个?

解析:解决这类题目,只靠自己想象很难想到全面的答案,这时候就要用到数形结合与分类讨论的方法了。就像这题,可以这样画出图形:

经过以上分析,可以了解到何时使用分类讨论的思想去解决问题,同时可以得出进行分类讨论的基本方法:首先通读整个题目,了解题目要考查的属于哪一方面的知识;其次,根据考查的知识点,确定分类标准,进行正确合理的分类;最后对分类进行必要的讨论并与实际情况相比较,进行归纳总结,得出合理的答案。

三、 夯实提升,让分类思想成为数学学习中基本的数学思想

(一) 培养学生良好的数学学习习惯

良好的数学学习习惯是学好数学基础知识的前提,特别是初一的学生。在方法教学过程中,我们要注重学习习惯的培养,如认真审题的习惯,先读懂题目,抓住一些关系的条件或信息;学会分析题目,能够结合题目,从数和形两个角度来引导学生分类;学会问题反思的习惯,能够结合实际,用分类思想来反思自己的解题是否完整。

(二) 强调分类讨论过程的原则性

“不重不漏”,这是数学中分类讨论问题必须遵循的基本原则。分类应按同一标准进行,每次分类不能同时使用几个不同的分类根据,即为同一性原则,以避免分类过程的“不重”。还有分类应当遵循相称性原则,即分类后子项外延的总和,应当与母项的外延相等,这就是分类要做到的“不漏”。

(三) 提高学生在分类讨论时的思维缜密性

扎实的数学知识是学生进行多种情况讨论问题的基础,只有见过这类题目,才能相应的给出解决方案。因此,教师在教学过程中要为学生还原问题的全部情况,确保讲解过程中思维的缜密性,提高学生的学习效率与解题能力。

四、 结束语

分类思想是数学教学中基本的数学思想。在解题过程中运用分类讨论思想能够将复杂的数学问题简单化,使解题思路变得清晰,有助于提高学生的解题效率和正确率,为以后的数学学习打下坚实的基础。

参考文献:

[1]汪小燕.七年级数学教学中渗透数学思想方法策略初探[J].中学数学研究(华南师范大学版),2018(2):36-37+4.

[2]容伊梦.分类讨论思想在七年级数学教学中的有效植入[J].新课程(中学),2016(11):78.

作者简介:张安定,浙江省永康市,浙江省永康市油川初级中学。

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