从一道高考题所想到的

洪伍周

首先，让我们共同思考一道广东新课标数学高考试卷的压轴题.

21.（理科）设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）.

（1）证明：，;  （2）求数列的通項公式;

（3）若，，求的前项和.

（文科）设数列满足，，（…）.数列满足…）是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有…。

（1）求数列和的通項公式;

（2）记…），求数列的前项和

这两道题的关键是求解数列的通项公式，要使学生能够快速准确地求解这类题型，笔者认为在平时课堂教学中应对<<如何求解数列的通项公式>>这个专题进行深入探索与研究。下面是笔者对求解数列的通项公式的求法的点滴体会以期能抛砖引玉。

一、公式法

1、形如（ b为常数）型的问题，解题时可用等差、等比数列的通项公式求解。此类问题解答较容易，略举说明。

2、形如型的问题，可利 用（通过验证，若符合，则合并写）求解。

例题：  已知数列的前项和，求.

解析：当时，

时 ，.

又時，;

。

二、观察归纳法

例题：  ①、数列1，3，6，…，10，15，…，的一个通项公式.

②、1，1，2，2，3，3，…，的一个通项公式.

解析：① 通过观察发现：…，因而.

② 通过观察发现：n为奇数时，;n为偶数时，。

因而

.

三、迭加法

形如的問题可使用迭加法消去中间项，求出。

例题：已知数列满足，求出。

解析： 由

…

…

…

  又，  。

四、累积法

形如的问题可使用累积法消去中间项，求出。

例题：已知数列满足，求出。

解析：由，

….…

即…。

五、迭代法

形如的問题，可使用迭代法（或构造新数列法）求出。

例题：已知数列满足求出。

解析：

， …… ，

…

。

六、数学归纳法：首先由已知递推关系计算得出前几项，据此猜想的表达式，再用数学归纳法加以证明。

例题：已知数列满足，求。

解析：由;

由此可猜想：。

下面用數学归纳法证明：

①  当时 ，显然成立.

②假设当时等式成立，  即.

当时，.

即当时， 等式也成立.

由①②可知：本题猜想结论对于一切自然数都成立， 所以.

七、构造新数列法

1、形如：的问题，除了迭代法，还可用构造新数列法求解。

例题：已知数列满足，且，求。

法一： 由

， 即。

為首项，公比为2的等比数列。

又

即。

法二：由，即。

数列{}是首项为，2为公比的等比数列。

即。

2.形如：（A，B不為0）且的问题，可用构造新数列的方法求解（将代入递推式得，数列是以为公比的等比数列）。

例题：已知数列，其中，且当时，。求。

解析：由。

数列是以为首项，公比为的等比數列。

。

……

即。

。

3、形如：，型的问题，可使用构造新数列的方法求解。

例题：已知数列满足，且，求。

解析： 由，

.

數列是以为首项，公差为2的等差数列。

，  即.

4. 形如：（p，q为常数）型的问题，解题时可运用构造新数列的方法求解通项公式，主要的处理策略是两边除以.

当然，除了以上列举的四种题型外，还有一些问题也是只要将题设进行适当等价变形后，就能使用构造新数列法求通项公式，这里就不一一枚举.通过以上知识的讲解后，学生对求解数列的通项公式的题目可能就得心应手了.以下笔者利用上述方法来妙解本文开头引入的广东数学高考试卷的压轴题。

（文科）  解析：（1）（其中1，属于构造新数列方法的第2种题型）.

（n≥3）   又a₂-a₁=1≠0，

是首项为1公比为的等比數列，

.（再使用迭加法求解数列的通项公式）…

…

即.

由得，由得，...

同理可得当n为偶数时，;当n为奇数时，;

因此.      （2）略解.

（理科） （1）略解.

（2） 由（1）可知

由

數列是首项为，公比为的等比数列，

数列是首项为，公比为的等比数列.

① ，②

当时， ①-② 可得即

.

当时，即.

數列是首项为，公差的等差数列.

， 即.

综上：.

（3） 略解 .

笔者认为：为了使学生能够在新课标区的高考中取得优异的数学成绩，做到以下两点尤为重要.第一，强调学生务必熟悉教材知识网络体系;第二，师生共同学习研究<<普通高中新课程教学要求>>，熟悉<<普通高中新课程教学要求>>对所学知识点的考试要求程度;然后再对必须延伸与拓展的知识点设置专题研究，师生共同探索，从而一旦考试中出现该知识点的运用时，学生方能运筹帷幄，不致于手忙脚乱，束手无策。