全国卷高考背景下浅谈“统计”教学的策略及建议

广州市铁一中学(510600)范选文

一、近五年理科数学全国卷概率统计试题特点分析

年份试卷分类考察知识点2017年1 卷二项分布、正态分布3σ 原则、平均数和方差计算2 卷频率分布直方图、2×2 列联表、独立性检验3 卷随机变量分布列及数学期望2016年1 卷相互独立事件、随机变量分布列及数学期望2 卷条件概率、随机变量分布列及数学期望3 卷折线图、相关系数、线性回归方程及预测2015年1 卷散点图、非线性拟合函数、线性回归方程及预测2 卷茎叶图、样本的集中程度估计整体、相互独立事件2014年1 卷频率分布直方图及平均数、方差计算、正态分布、二项分布2 卷线性回归方程及预测

年份试卷分类考察知识点2013年1 卷相互独立事件、随机变量分布列及数学期望2 卷频率分布直方图、随机变量分布列及数学期望

从近五年全国高考新课标卷概率统计试题来看,概率统计试题对知识点的考查较为全面,以理科数学为例,考点覆盖了概率统计必修与选修的各个章节内容,考查了抽样方法,统计图表,数据的数字特征,用样本估计总体,回归分析,独立性检验,古典概型,几何概型,条件概率,相互独立事件的概率,独立重复试验的概率,离散型随机变量的分布列、数学期望与方差,超几何分布,二项分布,正态分布等基础知识和基本方法.从全国I 卷特点分析,统计思想占主导地位,以实际问题为背景,计算量较大,涉及的基本概念较多,学生需要具备较强的分析阅读能力和比较全面的概率统计基本知识.

二、高中统计教学内容的两条主线

新课程将统计作为高中数学课程的必修内容,在高中必修3 部分要求学生理解数据处理的全过程—提出问题、收集数据、整理数据、分析数据、解释数据、作出判断,进一步体会统计思想的重要性,而选修部分则加深了统计教学的难点,通过案例研究,体会统计思想并加以应用.所以教师应该从教材整体上把握统计教学的内容,笔者认为高中统计教学主要有以下两条主线：

1 研究统计的基本过程

数据收集→数据整理→数据分析处理→估计推断

数据收集数据整理数据分析、处理估计推断简单随机抽样系统抽样分层抽样频率分布直方图茎叶图散点图2×2列联表集中程度(中位数、众数、平均数)离散程度(极差、方差、标准差)两个变量之间是否线性相关两个分类变量是否有关系用样本估计总体回归分析独立性检验

2 是研究随机变量的基本过程

概率分布模型→概率计算→估计推断

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三、高中教材中统计内容分析

1.统计与统计观念的渗透

“统计”可以指统计数据的搜集活动,即统计工作;也可以指统计活动的结果,即统计数据;还可以指分析统计数据的方法和技术,即统计学.《课程标准》将“统计观念”作为教育阶段数学课程的重要目标之一,学生学习统计的核心目标是发展自己的“统计观念”.那么统计观念的内涵是什么? 它是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的感觉,是能自觉地想到运用统计的方法解决有关问题的感觉,即“信息感”或“数据感”.统计观念的具体表现在以下两个方面：(1)是能从统计的角度思考与数据信息有关的问题,即当遇到有关问题时能想到去收集数据和分析数据;(2)是能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策,认识到统计对决策的作用.

2.统计内容与其它内容的区别

首先是推理方式的不同,经典的数学一般以演绎的方式来搭建平台,具有严密的逻辑推理的特点,它有助于培养人们的确定性思维.在解决数学问题时,已知条件算出一个确定的结果,或者推导出一个明确的结论.统计是一个包括数据的收集、整理、描述和分析的完整过程.统计研究要深入具体对象,收集有代表性的数据,统计学的一个重要思想就是利用样本的信息推断总体的有关信息,以样本特征数估计总体特征数,以样本频率估计总体概率等,它以归纳的方式给人们提供了另一种有效的思维模式,即不确定思维或统计思维.

其次是推理的结果不同,统计的特征之一是通过部分的数据来推测全体数据的性质,因此,统计结果具有随机性,统计推断是可能犯错误的,这一点与确定思维不同.所以教学中应该让学生从中体会统计思维与确定思维的差异,主要把握两方面含义：首先是样本频率分布和数字特征具有随机性,这种随机性使得统计推断是有可能犯错误的;其次是合理的选取样本,并利用样本规矩总体是一种非常有价值的思想,在实际生活中有着重要作用.

四、高中教材中渗透的统计思想

高中教材在必修部分要求学生学会运用随机抽样方法收集数据,学会用样本信息估计总体信息,也要求学生经历数据处理的全过程—-提出问题、收集数据、整理数据、分析数据、解释数据、作出判断,进一步体会统计思想的重要性,而选修部分则加深了统计教学内容的难度,辅以如回归分析、独立性检验等统计案例来研究体会统计思想并加以应用.所以高中数学统计教学内容总共蕴含了下面四个统计思想.

1.随机抽样思想

统计过程的一个重要步骤就是收集数据,在实际收集数据时,我们需要注意三个问题：(1)清楚收集对象;(2)明确收集目的;(3)确保收集质量;要保证每个个体被抽到的机会是均等的.那么在数据收集的过程中,我们应该采用什么样的方法呢? 随机抽样,就是要保证在抽样过程中每个个体都可能被抽到,且被抽取的可能性相等.高中教材中总共介绍了三种随机抽样：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样.

2.样本估计总体思想

通过随机抽样,可以从总体中抽取样本,获取样本信息.用样本信息估计总体信息,是研究统计问题常用的基本方法.我们可以通过画图、列表和计算等方式去发现样本数据的规律,通过图表等直观且容易理解的形式,将样本数据所包含的信息呈现出来.这样我们就能够通过样本信息对总体作出相应的估计.教材里总共介绍了以下两种估计方法：(1)用样本的频率分布估计总体的分布;(2)用样本的数字特征来估计总体的数字特征(例如平均数、中位数、众数、方差等)

(1)用样本的频率分布估计总体分布

我们通过随机抽样方法所获得的数据一般都是杂乱的,很难直接从数据中看出规律,为此,就需要对获取的数据进行统计、整理和分析.分析数据时,从一个包含大量数据的样本中直接得到样本所包含的信息比较困难,这时就需要把这些数据转化成频数分别直方图或者频率分布直方图等图表形式,通过对图表的观察分析就可以比较清楚直观地看出数据信息的特征,从而能够较好的估计出总体的分布情况.

(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征

用图、表来表现样本数据,然后通过样本的频率分布估计总体的分布.但是为了更好地理解样本估计总体,更好的从整体上把握总体的规律,在分析和解释数据时,还需要进一步的研究,即通过样本的数据信息来研究总体的数字特征(如众数、中位数、平均数、方差等).平均数可以用来反映样本数据的平均水平,众数和中位数则反映的是样本数据的“重心”,而方差、标准差与极差则反映的是样本数据的波动情况、离散程度,即样本数据的均衡性、

3.回归分析的思想

现实生活中的变量与变量之间的关系有两种：一是确定的函数关系;二是两个变量之间存在着一定的关系,但又不像函数关系那样具备确定性,它们之间的关系具有一定的随机性.由于相关关系具有随机不确定性,所以在判断两个变量间的相关关系是,首先要收集数据,然后对数据进行统计分析(画出散点图),根据散点图发现其中的规律(直观感受两个变量是否相关),最后才是对两个变量间的相关关系进行定量分析(利用最小二乘法得出的公式对数据进行计算从而得到回归直线方程).但是只有确定两个变量之间具有线性相关关系时,才能运用回归分析方法求出相应的回归直线方程.那如何判断两个变量之间具有线性相关关系呢? 方法有两种：一是从散点图中直观发现;二是利用相关系数公式计算出相关系数r,当|r|越接近1,说明相关性越强.

在回归分析的过程中,需要对样本数据进行拟合,利用回归直线方程进行预测,预测所得数值也不是精确值,具有随机性.在这整个过程中,都体现出对数据的处理以及具有随机性的统计过程,突出统计思想的内涵,即统计思想是一种根据样本信息来估计总体信息的思想方法,是一种“由局部到整体”的归纳思想,是一种注重数据处理、注重统计过程的具有随机性的思想.两个变量之间具有相关关系的前提是这两个变量间的关系是随机不确定的,这本身就很好的体现了随机性的思想.

4.独立性检验的思想

在日常生活中,我们经常需要判断两个分类变量之间是否存在一定的关系.例如,性别是跟喜欢数学课程有关? 秃顶与患心脏病之间是否有关系? 吸烟与肺癌之间是否有关系?等等.独立性检验是一种常用的统计推断方法,它主要用来检验两种分类变量之间是否有关系.它的基本原理是：在一个已知假设下,如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生,就推断这个假设不成了,且该推断犯错误的概率不超过这个小概率.它依据的是实际推断原理,即小概率原理：“小概率事件在一次实验中是不可能发生的”.在中学阶段我们一般只研究两个分类变量,且每个分类变量只有两个可取的值,这时得到的列联表称为2×2 列联表,由列联表可以粗略地估计出两个变量(两类对象)是否有关(即粗略地进行独立性检验),但2×2 列联表中的数据是样本数据,它只是总体的代表,具有随机性,故需要用独立性检验的方法,即利用卡方计算公式进行计算K2值后来确认所得结论在多大程度上适用于总体.

五、教学策略与建议

1.重视考纲考点的变化,改变教学方式和教学观念

高考全国卷概率统计解答题一直都比较重视数学应用,考查的知识点主要以统计为主,概率为辅,这个符合高考大纲对统计和概率教学的要求.但大部分复习备考教师们则还是以概率教学为主,在备考中较少渗透统计思想,导致每年的试题出来后总是超出教师的想象,感觉与复习的有较大出入.其实每年的试题虽有变化,但其中集中程度高,都是围绕考纲来命制.所以建议教师在教学中多研究考纲考点,改变对概率和统计教学的教学方式和教学观念,必须引导学生经历统计模型的构建过程和应用过程,让学生真正懂得统计思想,从而应对“活”的统计问题.

2.重视通过案例教学,突出统计思维特点和作用

新课标中强调,“统计观念和随机思想将成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式,要使学生形成尊重事实,用数据说话的态度,能有效地利用统计分析的方法,科学合理地利用数据信息”.因此,统计课程的教学重点应是对统计意义的理解,对统计方法的选择,对统计结论的鉴别.强调统计教学学必须通过一些典型案例来进行,例如对于“最小二乘法”的教学中,可以通过一个学生感兴趣的案例,比如学生身高与体重的关系,让学生根据收集的数据作出散点图,利用散点图直观认识到变量间存在着线性相关关系,然后鼓励学生自己想办法确定一条“比较适合”的直线描述这两个变量之间线性相关关系,在此基础中再引入最小二乘法,并给出线性回归方程.具体的案例能让学生理解问题和方法的本质,对统计思想的理解会更加深入和牢固.