钢筋混凝土框架柱类构件的非弹性稳定性验算方法研究

刘绪超 魏巍 白绍良

(重庆大学土木工程学院 400045)

引言

在钢筋混凝土多、高层建筑结构中，因材料的综合强度明显低于钢材，导致其中柱类构件长细比相对偏小，一般不存在真正意义上的失稳风险，故各国混凝土结构设计规范虽都在柱类构件设计中考虑了二阶效应的不利影响，但除去对高层建筑结构给出整体侧向稳定验算方法[1]外，至今均未给出单根柱类构件的失稳验算规定。尽管如此，面对某些长细比、轴压力偏大的柱类构件，如越层柱等，结构设计时仍需考虑其是否存在失稳风险的问题。

到目前为止，已有研究者提出过建筑结构中钢筋混凝土压杆失稳判别的建议[2-4]。在对这些建议进行分析和理解后，本文出于结构设计的实际需要，以结构静力非弹性分析或非弹性动力反应分析的结果为出发点，在整个结构体系满足重力荷载作用下侧向整体稳定性的前提下，试图对这类构件的失稳判别提出相对更具优势的方法。在建立该方法时遵循的三项基本原则是：(1)从概念上严格符合稳定理论；(2)充分考虑钢筋混凝土杆件的非弹性性能；(3)方便工程设计应用。

本文简要梳理涉及压杆稳定问题的基本概念，给出在某个偏不利时点或状态下求解框架柱“非弹性计算长度”的方法，并通过对框架柱对应的非弹性单杆模型的有限元模拟，获得非弹性单杆模型在各主要因素影响下稳定临界荷载的变化规律并据此拟合出其数学表达式，在此基础上提出了框架柱沿一个平面主轴的稳定性验算方法。

1 压杆稳定问题的基本概念

1.1 压杆的两类基本稳定问题

经典稳定理论以两端铰支轴心压杆或两端铰支等偏心压杆为基本模型，并将压杆的失稳方式分为两类。一类是弹性轴心压杆，当轴压力达到临界荷载Pcr时，压杆将形成随机朝左、右任一侧的屈曲状态，这类失稳方式称为“分枝失稳”或“第一类稳定问题”，如图1中的OAB线或OAB′线所示。另一类是偏心压杆。若压杆材料为弹性，则当轴压力逼近Pcr时，如图1中的 OC 线所示，压杆的侧向挠曲变形将以AB线为渐近线而无限增大，称为“渐近线失稳”；若压杆材料为非弹性，则如图1中的ODE线所示，压杆侧向变形首先随着轴压力增大而递增，接着当轴压力增至极值点后，因轴力产生的外力矩增量已超过材料抗力所提供的内力矩增量，故只有减小轴压力才能使杆件继续保持稳定，因此，极值点D即为此类压杆的失稳临界点，对应的失稳方式称为“极值点失稳”。“渐近线失稳”和“极值点失稳”统称为“第二类稳定问题”。

图1 压杆的荷载-位移曲线Fig.1 Load-displacement curve of column

1.2 压杆的计算长度

根据弹性稳定理论的研究成果，当压杆两端不符合铰支条件时，即可根据杆件在真实端约束条件下受侧向干扰形成的挠曲线形状，以其中两个反弯点之间的竖向距离l0作为当量两端铰支杆的长度，l0被定义为压杆的“计算长度”。按挠曲线反弯点确定计算长度系数μ的几个典型例子如表1所示。

表1 典型支承条件下轴心压杆的计算长度系数Tab.1 Effective length coefficients of axial compressive column under typical supporting conditions

把这一概念推广到已完成非弹性分析的各类结构中即可确认，只要已知某根柱在某个受力状态下的非弹性受力特征和对应的挠曲线，即可按该挠曲线反弯点之间的直线距离确定该柱当量两端铰支杆的“非弹性计算长度”。当然，此时也需要考虑当量两端铰支杆的材料非弹性来确定其极值点失稳轴压力。

2 框架柱类构件沿一个平面主轴的非弹性稳定性验算思路

下面以某个完成了非弹性动力反应分析的结构为例，说明结构中某根框架柱沿一个平面主轴稳定性验算的主要思路。

2.1 选择待考察的框架柱和拟验算的时点

从原则上讲，设计人需根据结构非弹性动力反应分析的结果，针对结构不同部位框架柱在分析过程中的不同受力特征和变形特征，选取其中长细比和轴压力均偏大从而可能存在较高失稳风险的框架柱逐一进行验算。

在选择待考察的框架柱和拟验算的时点时，需要关注如下两个问题：

(1)在高层建筑结构中，因水平荷载作用下的楼层倾覆力矩大，故外围框架柱的最大轴力都是发生在竖向荷载和水平荷载共同作用下且水平荷载产生压力的一侧外围柱内。以往某些建议只用竖向荷载下轴压力做柱类构件稳定验算的做法，对结构平面中间部分的柱是基本可行的，对外围柱则是偏不安全的。

(2)在柱类构件截面特征和材料特征已知的条件下，柱的抗失稳能力主要取决于其“非弹性计算长度”以及竖向及水平荷载最不利组合下的构件轴压力。在结构的非弹性动力反应分析过程中，随着结构层间位移的增大，受压增大一侧柱内轴压力和相应的“非弹性计算长度”也将达到较大值；但已有工程经验表明，柱类构件的层间位移最大时刻与轴压力最大时刻可能不在同一时刻，因此，严格意义上就需要在若干个预计有可能是最不利的时点对同一根压杆分别进行稳定性验算，并以其中的最不利结果作为失稳判断依据。

2.2 获取待考察框架柱“非弹性计算长度”的方法

根据本文第1.2 节给出的定义，所考察的任意一根端约束条件与两端铰支压杆不同的构件的计算长度均应取为该构件挠曲线反弯点之间的直线距离，但常见框架柱的实际变形状态多如图2a中粗实线所示，即只有一个反弯点位于柱段高度范围内。根据稳定理论的以往做法，在这种情况下，只要已知反弯点以上或以下柱段的长度和挠曲线的数学表达式，或者说已知图中A、C两节点处柱的侧向位移和挠曲线转角，即可从柱的BA段和BC段分别推出外延的计算长度，即图中BD段和BE段的直线长度。这意味着，计算长度分别为图中lu，t和lu，b的“等代两端铰支柱”即可分别表达框架柱上、下柱段的稳定性能，且其中长度较大者将对整根框架柱的稳定性起到控制作用。考虑到框架柱上段和下段的弯矩通常为三角形分布，且柱内作用等剪力，故把等代柱的受力模型选为与所考察柱段相当的如图2b、c 所示的高度中点作用集中水平力的两端铰支柱。

由于本文对框架柱的稳定分析选定结构的非弹性受力状态作为出发点，故例如图2a 柱上、下段的挠曲线和图2b、c 的等代柱挠曲线本也应取为非弹性挠曲线，但考虑到非弹性挠曲线的公式形式较为复杂，明显加大单杆稳定性验算的复杂程度，故从简化验算方法出发，建议以图2b、c 所示等代柱的弹性挠曲线来取代其非弹性挠曲线。

图2 框架柱各柱段的非弹性计算长度和等代柱示意Fig.2 Diagrams of inelastic effective length of frame column segments and equivalent columns

为了比较等代柱的弹性挠曲线与非弹性分析实际获得的挠曲线，本文利用Perform-3D 软件对包含细长越层柱的某高层建筑结构作了7 条单向地面运动输入下的非弹性动力反应分析，并在越层柱的层间位移最大时点得到了7 条非弹性挠曲线。7 条地面运动输入下的对比结果表明，两者误差均在工程可接受的较小范围内，其中一组对比结果如图3所示。得到这一结果的主要原因是：在越层柱的总变形中，非弹性变形所占比例相对较小，且越层柱的非弹性变形特征主要体现在柱两端的非弹性挠度和转角上，等代柱的弹性挠曲线只是在满足该特征的条件下在细部意义上稍稍改变了非弹性挠曲线的局部走势，故利用等代柱的弹性挠曲线方程求解越层柱各柱段的非弹性计算长度是有效的。本文虽用弹性挠曲线取代了各柱段的非弹性挠曲线，但仍把所得的计算长度称为“非弹性计算长度”的原因是该计算长度是基于柱段的非弹性受力及变形状态导出的。

非弹性计算长度的具体推导过程见第3 节。

2.3 获得待考察框架柱非弹性极值点失稳轴压力的方法及思路

算得待考察框架柱的“非弹性计算长度”后，还需建立对应于这一“非弹性计算长度”的用于计算待考察框架柱非弹性极值点失稳轴压力(称为“稳定临界荷载”，用Pu表示)的非弹性单杆模型。

为了实现这一目的，非弹性单杆模型应满足如下两个主要要求：

(1)与待考察框架柱的截面尺寸、材料强度和配筋形式完全相同，并考虑模型受力过程中的材料非弹性性能和几何非线性。

(2)与待考察框架柱在拟验算时点的变形特征一致，即非弹性单杆模型在尚未受荷时的初始形状与该时点框架柱的侧向变形状态相同，从而保证两者的稳定临界荷载具有一致性。

满足上述两个要求的非弹性单杆模型(简称为“模型柱”)如图4所示，即长度等于“非弹性计算长度”、与待考察框架柱截面特征相同且具有对应初始弯曲的非弹性两端铰支杆。

经分析可知，模型柱的长细比、相对初始弯曲(沿需要验算的平面主轴方向)、纵筋配筋率、混凝土强度等级、截面高宽比(或宽高比)这几个参数对其稳定性均有显著影响；在通过非线性有限元分析获得上述各参数变化对模型柱稳定临界荷载Pu影响规律的基础上，应用数值拟合方法给出了Pu的数学表达式；在实际验算某根框架柱的稳定性时，只需将待考察框架柱对应模型柱的相关参数代入该数学表达式即可算出其稳定临界荷载Pu。

相关内容见第4 节的说明。

2.4 判断待考察框架柱沿一个平面主轴的稳定性

比较待考察框架柱在拟验算时点作用的轴压力N与拟合公式算出Pu的大小即可完成沿一个平面主轴的稳定性验算：若N＜Pu，则待考察框架柱无发生失稳破坏的风险；否则，待考察框架柱有发生失稳破坏的风险。

3 框架柱类构件非弹性计算长度的推导过程

在上述假定下，以结构的非弹性动力反应分析为背景，说明待考察框架柱在拟验算时点非弹性计算长度的推导过程。推导过程涉及的参数符号及内力方向均应符合图2和图5的规定，其中基本参数包括该时点待考察框架柱上、下端截面转角θt、θb，柱两端的层间位移Δ，柱上、下端截面弯矩Mt、Mb，柱轴力N及剪力V，以上这些参数均可从拟验算时点的非弹性动力反应分析结果中直接提取；其余未知参数可由以上基本参数一一算出。推导过程简述如下。

图5 待考察框架柱在拟验算时点的几何参数、变形参数和柱端内力示意Fig.5 Diagrams of geometric parameters，deformation parameters and internal forces of frame column to be investigated at checking time point

3.1 计算待考察框架柱在拟验算时点的未知参数

如图5a所示，未知参数包括拟验算时点框架柱反弯点上、下柱段的长度lt、lb及柱上、下端截面相对于反弯点的侧向挠度Δt、Δb，其计算方法如下：

式中：lc为待考察框架柱的长度，对于底层柱，取基础顶面到柱上端所在楼层楼盖顶面的高度；对其余各层柱，取柱上下端所在楼层楼盖顶面之间的高度。

3.2 计算待考察框架柱上、下柱段对应等代柱的弹性挠曲线方程和转角方程

通过对平衡微分方程的求解[5]，上、下柱段对应等代柱的弹性挠曲线方程可表示为：

为了保证上、下柱段对应等代柱与待考察框架柱的弯矩分布与剪力分布一致，式中P取待考察框架柱在拟验算时点的作用轴力N，Q取待考察框架柱在拟验算时点作用剪力V的2倍，则式(5)可进一步表示为：

对式(6)求一阶导数，得上、下柱段对应等代柱的转角方程为：

需要注意的是，对于上、下柱段相应的等代柱，式中的参数EI应分别取EIt、EIb，参数k应分别取kt、kb，参数l应分别取lu，t、lu，b。

3.3 判断起控制作用的等代柱并求解待考察框架柱的非弹性计算长度

上、下柱段对应等代柱在图2b、c中A′点、C′点与待考察框架柱在A点、C点的挠度和转角应相同，故：

将式(9)代入式(6)和式(7)中，联立方程组消去lu，t；再把式(10)代入式(6)和式(7)中，联立方程组消去lu，b。在上柱段对应的等代柱中，得：

在下柱段对应的等代柱中，得：

注意到式(11)和式(13)均为关于参数kt、kb的超越方程，本文的求解思路是将两个方程等式左侧用泰勒级数展开并取展开式的前两项，将超越方程化简为二次方程从而求得其近似解。式(11)的近似解为：

式(13)的近似解为：

经验证，近似解的精度足以满足工程应用的一般要求。

最后将式(15)和式(16)的结果分别代入式(9)和式(10)中，即可反算出参数lu，t、lu，b的值：

起控制作用的等代柱长度(即待考察框架柱的非弹性计算长度)lu取lu，t与lu，b的较大值，参数keq的取值也应与lu，t与lu，b的较大值相对应(例如，若lu，t大于lu，b，则keq取kt；反之亦然)。

4 模型柱稳定性的有限元模拟和Pu计算公式的数值拟合

4.1 模型柱的有限元建模方法

本文采用ABAQUS对140余根不同参数变化条件下的模型柱进行了模拟，建模的过程包含如下要点：(1)比较不同模拟方式所得结果以验证模型的有效性；(2)考虑模型柱的初始弯曲；(3)考虑钢筋屈服和混凝土材料非线性的影响；(4)考虑模型柱受力过程中的几何非线性；(5)钢筋和混凝土的强度指标取平均值。其中较为重要的是第(1)～(4)点，现分述如下。

1.对有限元模型有效性的验证

目前ABAQUS对钢筋混凝土柱类构件的模拟方式主要有两类：(1)分离式模型，即钢筋和混凝土分别采用桁架单元和三维实体单元模拟，再通过“Embedded region”的相互作用实现单元节点变形的相互协调；该方式计算量稍大但可得到较精确的应力和变形结果。(2)整体式模型，即首先采用梁单元完成对混凝土柱的建模再通过“*Rebar”命令修改模型关键字实现梁截面中纵筋纤维的嵌入；该方式基于平截面假定，缺点是无法直接考虑箍筋对混凝土的约束作用且梁单元在大变形下的计算精度有所下降。

本文从上述模型柱中选出9根并分别用两类模拟方式算得其稳定临界荷载Pu。根据非弹性极值点失稳的概念，模型柱的稳定临界荷载应取为轴力P-柱高中点侧向变形δ曲线的峰值点所对应的轴压力Pu(如图6所示)。模拟结果如图7所示，可以看到，两类模拟方式算出的Pu基本一致，其差异在工程可接受范围内，但为了得到更为精确的应力和变形结果，本文最终选用分离式模型完成对各模型柱的模拟分析，该模拟方式是有效的。

图6 模型柱的轴力P-柱高度中点侧向变形δ 曲线Fig.6 Axial force P-column height midpoint lateral deformation δ curve of model column

2.确定模型柱的初始弯曲状态

为了满足第2.3节所述的第(2)点要求，严格意义上应把框架柱在拟验算时点的非弹性挠曲变形作为模型柱的初始弯曲状态；然而，目前ABAQUS软件尚未提供为模型设置任意给定的初始弯曲变形的建模方法，可选用的初始弯曲变形通常来自于模型的弹性屈曲分析所得到的变形形状，对于本文所述的两端铰支杆该变形形状即为半个正弦波；已有分析研究表明，在初始弯曲变形相对于模型的长度属于小变形的前提下，模型柱的极值点失稳状态主要取决于初始弯曲变形的幅值，初始弯曲变形对应挠曲线的局部走势对此影响极小，故把半个正弦波的幅值调整到与图4所示模型柱在初始弯曲状态下柱高中点的挠度δ0相同，所得稳定临界荷载Pu的误差就在可忽略范围内。

图7 分离式模型与整体式模型对模型柱稳定临界荷载的模拟结果Fig.7 Results of stable critical load simulated by separated models and monolithic models

根据上述分析，模型柱在初始弯曲状态下柱高中点的挠度δ0可由式(6)求得，令式中x=lu/2，得：

式中，各参数的含义和取值参考第3节的规定。

3.钢筋和混凝土的本构模型

钢筋的本构模型采用各向同性的理想弹塑性模型。

混凝土的本构模型采用混凝土损伤塑性(Concrete Damaged Plasticity)模型。该模型的特点是通过定义混凝土材料的单轴应力-应变曲线、损伤因子和刚度恢复系数分别考虑材料的单轴受力性能、在反复荷载作用下的卸载刚度退化和再加载时的刚度恢复，再通过设定基本塑性参数考虑混凝土在多轴受力状态下的屈服准则和流动法则。在参考了相关文献[6-11]的建议后，部分参数的取值如表2所示。

表2 混凝土基本塑性参数取值Tab.2 Value of concrete basic plastic parameters

4.考虑几何非线性的方法

在ABAQUS中考虑几何非线性的方法是在分析步(Step)之中打开几何非线性(Nlgeom)的开关，此时的分析具有两个特征：(1)节点位移与单元变形之间不再是线性关系；(2)每个单元的平衡方程均在已变形的单元之上建立[9]。

4.2 对影响模型柱Pu主要因素的考察

1.主要影响因素及影响因素的取值范围

经过分析研究，本文确定的影响模型柱稳定临界荷载的主要因素及因素的取值范围如表3所示。

表3 模型柱Pu的主要影响因素及影响因素的取值范围Tab.3 Main factors affectingPu of model columns and their value range

2.各主要影响因素对Pu的影响规律

(1)长细比lu/h的影响规律如图8所示。不同相对初始弯曲下的结果均表明Pu随着构件长细比的增大而逐渐减小，且相对初始弯曲越大的构件Pu减小的幅度也越大，说明Pu对初弯曲较为敏感。

图8 长细比对模型柱Pu 的影响Fig.8 Effect of slenderness ratio on Pu of model columns

(2)相对初始弯曲δ0/lu的影响规律如图9所示。不同长细比下的结果表明Pu随着构件相对初始弯曲的增大而减小，且长细比越大的构件因在轴压力作用下的附加挠度增长越快，故相应的Pu减小幅度也越大。

图9 相对初始弯曲对模型柱Pu 的影响Fig.9 Effect of relative initial deflection on Pu of model columns

(3)纵筋一侧配筋率As/bh的影响规律如图10所示。不同长细比下的Pu随着纵筋一侧配筋率的增大而近似线性增大。需要说明的是，图10中各曲线在纵轴上的截距均大于0，这说明Pu包含了混凝土和纵筋两部分的贡献。

图10 纵筋一侧配筋率对模型柱Pu 的影响Fig.10 Effect of longitudinal reinforcement ratio on Pu of model columns

(4)混凝土强度的影响规律如图11所示。本文采用混凝土棱柱体抗压强度的平均值fc，m作为混凝土强度指标，不同长细比下的Pu随着fc，m的增大而近似线性增大。另外，图11中各曲线在纵轴上的截距均大于0，也证实了Pu包含混凝土和纵筋两部分贡献的观点。

(5)截面高宽比h1/b1和宽高比b2/h2的影响规律分别如图12和图13所示。可以看出，不同长细比下的Pu随着h1/b1或b2/h2的增大而近似线性增大。值得注意的是，在其他条件相同时，截面高宽比和宽高比相同的构件模拟得出的Pu也基本相等，这说明Pu与构件的截面面积具有相关性。同时，图12和图13中各曲线在纵轴上的截距均十分接近于0，说明Pu与构件的截面面积近似成正比。

图11 混凝土强度对模型柱Pu 的影响Fig.11 Effect of concrete strength on Pu of model columns

图12 截面高宽比对模型柱Pu 的影响(b1 =500mm)Fig.12 Effect of section depth-width ratio on Pu of model columns

图13 截面宽高比对模型柱Pu 的影响(h2 =500mm)Fig.13 Effect of section width-depth ratio on Pu of model columns

4.3 对框架柱类构件Pu计算公式的数值拟合

1.对Pu计算公式的拟合结果

在分析了各主要影响因素对模型柱的非弹性稳定临界荷载Pu影响规律的基础上，本文运用非线性拟合软件1stOpt按照最小二乘法的思路拟合出了符合上述规律的数学表达式。

经反复调整后，最终确定Pu的表达式为：

式中：lu按照第3节所述方法确定(mm)；δ0由式(19)算得(mm)；h、h0分别是模型柱在弯曲受力方向的截面高度和有效截面高度(mm)；Es是钢筋的弹性模量(N/mm2)，一般可取为2×105；As是模型柱沿弯曲受力方向的一侧配筋面积(mm2)；fc，m是模型柱混凝土的棱柱体抗压强度平均值(N/mm2)；Ac是模型柱的毛截面面积(mm2)；βc是与混凝土强度有关的参数，可按照表4取值，未列出数据可采用线性插值处理。

表4 βc的取值Tab.4 Value range of βc

2.Pu拟合公式计算值与ABAQUS模拟值的对比

如图14所示，通过对140余组数据的统计分析，式(20)的计算值与ABAQUS的模拟值的最大相对误差为11.53%，最小相对误差为-7.33%，相关系数R2为0.998，符合程度良好。

3.对Pu拟合公式的说明

(1)式(20)适用于钢筋混凝土结构中对称配筋、矩形截面的框架柱类构件的稳定临界荷载计算。适用范围原则上不超过表3所列举的参数取值范围。

(2)式(20)暂未考虑结构可靠度的影响，结构设计时可根据结构分析对可靠度的具体要求选取同等可靠度水准的材料强度代入计算，则计算结果也具有相应的可靠度水准。例如，若采用荷载标准值进行结构在罕遇地震水准下的非弹性动力反应分析时，则与此对应的式(20)中的材料强度也宜选用标准值。

图14 Pu 拟合公式计算值与ABAQUS 模拟值的对比Fig.14 Comparison of Pu calculated by fitting formula and simulated by ABAQUS

5 结论

通过上述工作，所得主要结论有：

1.本文采用获得广泛认可的通用有限元分析软件ABAQUS对有侧移结构中框架柱的等效非弹性单杆模型完成了系列模拟分析，模型考虑了材料非弹性特征与几何非线性的影响，故模拟结果是具有参考价值的。

2.目前，国内外有关于细长钢筋混凝土柱稳定性研究的试验成果极少，已有的少量试验结果也表明，细长钢筋混凝土柱的稳定性能对试验条件十分敏感，通过试验得出的稳定临界荷载依然误差很大。因此，应用计算机模拟分析手段获得稳定临界荷载是更为合适的方法。本文严格按照稳定理论的基本原理，得出了符合稳定理论要求的单杆分析模型，并验证了其有限元模型的有效性(如图7所示)。

3.对于已完成例如多遇水准地面运动激励下弹性分析的建筑结构，也可用本文建议方法的思路验算其中单根框架柱的稳定性。从概念上讲，弹性或非弹性受力状态下框架柱段的计算长度均可取为相应弹性或非弹性挠曲线反弯点之间的直线距离，因此只需用本文第3节所述方法求解待考察框架柱在特定受力和变形状态下的“弹性计算长度”，再按照第2节所述思路即可完成其稳定性验算。

需要说明的是，现行混凝土结构设计的一般思路是结构内力分析按弹性方法计算，而构件截面设计则按承载能力极限状态计算，这一思路也可移植到以上第3点所述的框架柱稳定性验算中；虽然在考虑材料非弹性特征的条件下给出的计算框架柱稳定临界荷载的公式(20)与结构分析所采用的弹性假定存在着不协调的问题，但根据该式得出的验算结果是偏安全的。