含刚性段复合压杆的稳定性分析1)

冯 侃

(江苏大学土木工程与力学学院，江苏镇江212013)

1 问题的提出

压杆稳定性实验是材料力学中一个重要实验内容[1-2]。在两端铰支的压杆稳定性实验(图1(a))具体实施时，通常需在压杆端部放置小圆柱或小滚珠以实现自由转动的铰支边界条件[3]。然而，为了保证端部加载沿压杆轴线方向，避免偏心，往往需要在杆件端头附加夹持构件，如图1(b)～图1(d)所示。这部分夹持件的刚度远高于压杆失稳屈曲的刚度，可近似看成刚性。因此，如何考虑该部分刚性段的影响，如何选取合适的刚性段长度，以减小实验测试临界失稳载荷与稳定性理论预估的误差，都迫切需要进行深入的理论分析。

图1 压杆稳定性实验装置

2 复合压杆临界载荷的求解

考虑一根两端铰支的复合压杆AD(不计自重)，两端受轴向压力F作用，如图2所示。压杆分为三段，其中AB和CD都为刚性杆，长度分别为a1和a3；BC为柔性杆，长度为a2，其截面弯曲刚度为EIz。

图2 结构模型图

首先，按图3建立坐标系。假设结构失稳后的变形如图3所示，图中θ1和θ2为两端刚性段的转角。

图3 压杆失稳变形后的示意图

对于柔性段BC有挠曲线微分方程为

其中，v为挠度，k2=F/EIz。引入参数s=x−a1可得

其通解为

其中，A和B为待定系数。

将s=0和s=a2处的位移以及转角边界条件代入通解式(1)中，可得

当结构发生失稳时，挠曲线方程存在非零解，即A和B不能同时为零。因此，从边界条件中约去待定系数A和B，可得

式(2)为一超越方程，需通过数值计算求解计算出k，并取最小值，进而得出临界失稳载荷Fcr。

3 结果讨论

(1)当不包含刚性段时，即a1=a3=0

式(2)退化为tan(ka2)=0，也即sin(ka2)=0。其解就是两端铰支压杆失稳的临界载荷。

(2)当两端刚性段相等，即a1=a3，设柔性段占比为a2/L=α，L为复合杆总长，代入式(2)有

在不同α情况下，通过数值求解式(3)，可得对应的压杆临界载荷。若将其与原始长度为L的欧拉压杆的临界载荷进行对比，可以得到刚性段带来的相对误差，即

图4 含刚性段杆临界载荷与柔性杆临界载荷的相对误差

从图4中可知，包含刚性段的复合压杆的临界载荷要高于整体柔性杆，且随着刚性段的减少而趋近两端铰支压杆的临界载荷。

为了进一步验证理论分析的结果，采用有限元数值计算的方法对该复合压杆进行分析。采用有限元商用软件COMSOL，按实验中压杆的实际材料性质和几何构型建模[3]。取材料的弹性模量E为206 GPa，泊松比为0.33，密度为2700 kg/m3。压杆总长L为357 mm，是上滚珠到下滚轴的距离，杆件宽度和厚度分别为20 mm和1.8 mm。压杆两端分别为铰支约束，并施加轴向单位载荷F，如图5所示。若按整体柔性杆计算，通过欧拉临界载荷公式可解得临界载荷约为155 kN。为方便计算，两侧刚性段等长，中间柔性段取为αL。

图5 数值模拟示意图

通过采用参数扫描方式，将α取值范围设定在0.4～0.9，间隔0.1，计算结构的临界失稳载荷，并将其与整体柔性杆的欧拉临界载荷比较，结果如图4中菱形点所示。可见数值模拟与之前理论分析的结果吻合较好。

由图4可知，当α>0.6时，即柔性段长度占比大于总长的60%时，临界载荷结果的相对误差可小于10%。这说明两端刚性杆的影响并不大。这是因为弹性杆屈曲时杆件靠近端部那部分本来弯曲程度就不大，故换做刚性杆后误差也较小。若实验中柔性段对复合杆总长的占比大于90%，从图4中可知，刚性段的影响完全可以忽略，其误差接近于零。

4 总结

本文针对材料力学中压杆稳定性实验中的实际问题，分析了两端包含刚性段的复合压杆的稳定性。首先采用弹性系统的稳定性理论中的欧拉方法，对该问题进行理论分析，并通过数值求解，分析了刚性段不同占比情形下压杆的临界载荷。同时，采用有限元数值模拟方法验证了理论分析的结果。根据所得结果，本文得出结论：在实验中测试压杆的临界失稳载荷时，当柔性段对复合杆总长的占比大于90%时，可选取两端铰支点之间的距离作为杆长L进行计算。