满足题意的数列究竟有几个?

云南师范大学数学学院 (邮编：650092)

1 原题重现

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)求数列{an}的前n项和.

所以an=n-2或an=-n.

所以{an}的通项公式为an=n-2或an=-n，n∈N+.

(Ⅱ)当an=n-2时，易知{an}为等差数列，且a1=-1.

当an=-n，易知{an}为等差数列，且a1=-1.

以上为原题及参考答案，事实上几乎所有考生在答卷上也是这样做的.乍看题目及答案都很完美,真的是这样吗?

2 错因分析

下面先研究几个简单，但形似而质异的问题,以便帮助发现错误的原因.

例2 解方程(x-1)(x-2)=0.

解这是一个标准的一元二次方程，显然，方程有两个解，即x=1或x=2.方程的解集为{1,2}，是一个二元集.

例3 解关于x的方程(x-n)(x-2n)=0，n∈N+.

解这同样是一个标准的一元二次方程(只不过方程中含有参数n).所以，方程有两个解，即x=n或x=2n.因为n≠2n，所以方程的解集为{n,2n}，是一个二元集.

有人认为：由于n可以取任意一个正整数，所以解集{n,2n}实际上就是正整数集，从而任何一个正整数都是方程的解.这样的认识是错误的.事实上，虽然n取不同的值时其解集也有所不同，但在这里要动中有静，应把n看成是“常数”；另一方面，从方程角度看，既然这是一个关于x的二次方程，它的解当然最多只能有2个，而不可能是无数个.

例4 求x，使得方程(x-n)(x-2n)=0对任意正整数n都成立.

错解有人认为答案就是x=n或x=2n，即例4同例3是同一问题.

显然此方程组无解. 所以不存在x，使得方程(x-n)(x-2n)=0对一切n∈N+都成立.

例5 求x，使得方程(x-n)(x-2)=0对任意正整数n都成立.

例6 已知数列{an}满足(an-n)(an-2n)=0，求数列{an}的通项公式.

解数列{an}的通项公式为an=n或an=2n，n∈N+.

有人认为：例6同例4结构相同，特别地，若把例6中的符号“an”看成例4中的符号“x”，则例6同例4就完全一样，因此答案也应该相同，即无解.这样的认识问题出在哪里？实际上，在数学中符号“an”具有特别的含义，它是数列{an}的通项，实质上是一个函数an=f(n)，因此不能把符号“an”看成平凡的符号“x”.本质上，(an-n)(an-2n)=0是一个函数(数列)方程，通过解该方程，求出来的an要对一切正整数n使得(an-n)(an-2n)=0恒成立.

例7 已知数列{an}(1≤n≤3)满足(an-n)(an-2n)=0，求数列{an}的个数.

错解数列{an}的通项公式为an=n或an=2n，n∈N+，1≤n≤3.

所以满足要求的数列{an}共有2个，它们分别是an=n，n∈N+，1≤n≤3；an=2n，n∈N+，1≤n≤3.

上述解答看起来简单明了，可却是错误的，问题在哪里？

正解事实上，例7题目的含义为：求an，使得对于从1到3的每一个正整数n，都有(an-n)(an-2n)=0成立.

所以an=n或an=2n，n∈N+，1≤n≤3.①

①式所表达的意思是：对于从1到3的每一个正整数n，只要an=n和an=2n中至少有一个成立即可.又因为n≠2n，所以数列{an}中的每一项都有两种可能的取值，既可以从an=n中取，也可以从an=2n中取.即n=1时，an既可以取1，也可以取2；n=2时，an既可以取2，也可以取4；n=3时，an既可以取3，也可以取6；从而数列{an}的个数就有23=8个.即以下8个数列都满足题意：1,2,3； 2,2,3；1,4,3；1,2,6；2,4,6；1,4,6；2,2,6；2,4,3.借助图象可以更好理解问题的实质：对于取定的n值，其纵向上有两个点(一个是圆点，另一个是方格点)，an的值可以是这两个点中任意一个点的纵坐标.

小结例2是一个标准的一元二次方程问题，其解集为二元集{1,2}；例3是个含参数的一元二次方程问题，其解集为二元集{n,2n}；例4、例5是方程恒成立问题，其本质为解一元二次方程组，其中例4的解集是空集∅，例5的解集是单元素集{2}；例6、例7尽管也是恒成立问题，但例6、例7是(数列)函数方程，因此要用函数的观点来看待，即“an”是随着n变化而变化的函数.因此它们的求解并非像例4、例5那样去解方程组；例7中满足题意的an为①式,但满足题意的数列的个数不是2个，而是8个，这是例7与例3不同的地方.

3 对例1中错误的分析

根据上述错因分析可知，例1中，(Ⅰ)的解答是正确的，即{an}的通项公式为an=n-2或an=-n，n∈N+.但其含义为数列{an}中的每一项都有两种可能的取值，既可以从an=-n中取，也可以从an=2n中取，因此满足题意的数列{an}有无数个.从而问题(Ⅱ) 求数列{an}的前n项和，就变成了要去分别求无数个数列的前n项和了，这显然是不可能完成的.从这个意义上说，例1本身就是道错题.

4 类似的含“或”字恒成立易错题

例8 已知不等式|3x-a|>2x-4对x∈[0,2)恒成立，求a的取值范围.

错解原不等式转化为3x-a<4-2x对x∈[0,2)恒成立，或3x-a>2x-4对x∈[0,2)恒成立.

所以a>5x-4对x∈[0,2)恒成立，或a

所以a≥6，或a<4.

故a的取值范围是(-∞,4)∪[6,+∞).

错解的原因参见例9.

正解注意到当x∈[0,2)时，2x-4<0.

又因为|3x-a|≥0显然成立，所以a可以取任意实数，即a的取值范围为(-∞,+∞).

例9 已知命题p：任给实数x，恒有|x|>-2成立；命题q：任给实数x，恒有x<2或x>-2成立.命题r：任给实数x，恒有x<2成立，或任给实数x，恒有x>-2成立.判断p、q、r的真假.

解容易知道p是真命题.

任给实数x，对于x<2和x>-2，至少有一个是成立的，所以命题q是真命题.

因为“任给实数x，恒有x<2成立”是假命题；“任给实数x，恒有x>-2成立”也是假命题.根据逻辑中的或取规则“两假便假”，可知r是假命题.

值得注意的是：p是简单命题；理解q时，务必要把“x<2或x>-2”看成一个整体；命题p等价于命题q；r是复合命题；q与r并不等价.

例10 定义在R上的函数f(x)满足|f(-x)|=|f(x)|，判断f(x)的奇偶性.

错解由题意得f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，

即对于R内的任意一个x都有f(-x)=f(x)成立，或对于R内的任意一个x都有f(-x)=f(x)成立.

所以f(x)是奇函数，或者是偶函数.

正解题意为对于R内的任意一个x，都有|f(-x)|=|f(x)|.

即对于R内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立，

也即对于R内的任意一个x，f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)至少有一个成立即可，其含义为当自变量x取相反数时，函数值在相等、相反、既相等又相反(此时函数值为0)三种情况中至少满足一种.

所以f(x)可能是奇函数，也可能是偶函数，也可能是既奇又偶函数，也可能是非奇非偶函数.

5 总结

恒成立问题，与一般的解方程、解不等式问题很容易混淆，但它们是两类不同性质的问题.特别地，含“或”的恒成立问题：“∀x∈M,p(x)∨q(x) ”并不等价于“∀x∈M,p(x)或∀x∈M,q(x) ”.前者的含义为：对于M中的任意一个x，p(x)和q(x)中至少有一个成立；后者的含义为：对于M中的任意一个x，p(x)都成立，或者对于M中的任意一个x，q(x)都成立. 显然，前者推不出后者，但后者可以推出前者.

数列方程与一般的方程在意义上有所不同.如数列方程an=n实际上是函数，其表示数列1,2,3,4，…；而方程x=n是一个平凡的方程，表示x就等于n.

含“或”字的数列方程与含“或”字的一般方程在解的个数上也是不同的.如由方程(x-n)(x-2n)=0，n∈N+，解得x=n或x=2n，方程的解集为{n,2n}，是2个元素的集合；而数列{an}满足(an-n)(an-2n)=0，解得an=n或an=2n，此时数列{an}的第n项，既可以取n，也可以取2n，因此满足要求的数列{an}的个数有无穷多.