合情推理思维情景下突破“负负得正”

江苏省南京市第五初级中学 (邮编：210005 )

“有理数的乘法”是初中数学的教学难点，“负负得正”的意义也被戏称为“世界性难题”.有一些教师称有理数的乘法是一个数学规定，计算教学只要学生把法则背诵下来，反复练习就可以达到又对又快，似乎没有必要花时间去讨论算理，这种观点显然不对．那到底需不需要创设实例情景引入呢？算理和法则如何生成呢？苏教版中通过水位的例子进行解释，解释起来很困难，原因是引入了时间变量，涉及到三个不同的量，因此关系变得复杂，学生不易接受，本文结合教学实践，谈谈自己的想法．

1 有理数乘法的教学困境和成因分析

有理数乘法法则学习中，乘法法则的形成和理解是一个难点，其主要原因有如下几个方面．

1.1 乘法法则的数学本质

小学阶段，学习了在非负有理数集上，定义了加减乘除四则运算，并在非负有理数集可用加法分配律、加法结合率、加法和乘法之间的分配率，在初中引入了负数之后，在有理数集上的运算是否可行？运算律是否成立？对于加法和减法，学生理解运算法则和运算律相对容易，教材中的实例情景也有效的帮助学生进行理解，对于乘法中的正数乘以正数，3×4=3+3+3+3=12，负数乘以正数，如(-3)×4=？，学生可以根据小学学过的乘法是数自身的连加，类比得到(-3)×4=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12，虽然所有教材的逻辑顺序安排符合学生的认知和数学发展的顺序，但并没有也不能给予数学上严格的证明．因为数学发展过程中，关于数学的群、环、域相关的知识和运算比较抽象，严格的证明更加繁琐，很多知识在大学数学才有涉及，这个问题对于刚升入初中的学生是难以理解的，也不宜花时间去学习．

1.2 创设实例情景要贴近实际

1.3 创设实例情景要基于学情

创设情景要基于学生的学情和认知，在小学的运算中，基本都用了一些实例设置情景，符合学生的认知，有利于学生的理解．但学生的思维的深度和广度还没有达到一定的水平，刚升入初中的学生，在学习有理数乘法之前，学习过了负数、数轴、绝对值、相反数等概念，以及有理数的加减运算．无论是苏教版中用水位变化还是有的设计在数轴上理解数的变化，也就是一些基本的对应，很多有理数乘法创设的情景案例中利用数轴去理解还是对学生的思维有一定的挑战，对法则的形成有一定的障碍，不符合学生的学情，所以水位变化实例情景是解释“负负得正”的好情景，但不一定是基于学情的好情景．

2 合情推理思维情景下的教学设计

义务教育课程标准(2011版)指出在教学中要处理好合情推理与演绎推理的关系，推理包括合情推理和演绎推理.义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式.教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求.[1]推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理也称归纳推理，由个别事实推演出一般结论的推理，称为归纳推理．其思维过程：实验，观察，概括，推广，猜测一般性结论．很多著名的数学猜想如歌德巴赫猜想，费马猜想都是合情推理提出的猜想．合情推理在数学学习中也有很好的作用．

初一学生在小学数学知识的学习中，很多概念的形成也是通过合情推理得到，由特殊到一般，通过特例实验操作，归纳出一般的结论.再如，苏教版教材中加法的交换律的形成：下面的两块黑板上左边的两个算式相等吗？把△、Ο中的数换成其他的有理数，两个算式的结果仍然相等吗？让学生通过实例验证，从而说明加法交换律在有理数范围内仍然适用．

合情推理在学生的认知中有思维的情景，因此，可以由此设计负负得正．

教学设计片段：

问题1 ①(+4)×3=______； ②(-4)×3=______．

学生根据小学乘法的经验，(-4)×3=(-4)+(-4)+(-4)=-12很容易得出．

问题2 比较①②两式，你有什么发现?

生：结果互为相反数．

问题3 将①②两式的+4，-4分别换成其他互为相反数的两个数，上述结论成立吗?你能归纳一般性的结论吗?

生：结论仍然成立．两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来积的相反数．

通过从特殊到一般，归纳出一般性的结论，符合合情推理的特征和学生的认知．

问题4 ③(+4)×(-3)______；④(-4)×(-3)=______．

生：根据(+4)×3=12和上述结论，可知(+4)×(-3)=-12．

根据(-4)×3=-12和上述结论，可知(-4)×(-3)=12．

教师板书：①(+4)×3=12；③(+4)×(-3)=-12.

②(-4)×3=-12；④(-3)×(-4)=12．

问题5 观察四个式子，你能从乘数和积的符号得到什么结论?积的绝对值如何确定?

生：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负．积的绝对值是乘数绝对值相乘所得．

问题设计引导学生从符号和绝对值去思考回答．

问题6 若一个乘数是0，上述结论还成立吗?

生：结论仍然成立，不过结果是0．

问题7 尝试概括有理数乘法法则．

生:两数相乘同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，0与任何数相乘都得0．

……

从学情出发，根据学生的认知和已有的思维情景(合情推理)出发，设计有理数乘法运算，形成法则，比较流畅自然．从特殊到一般，符合数学本质特征，对于实例情景创设不应强作要求，可以放到课后阅读让学生进一步感悟有理数乘法法则．适合的才是最好的．