浅谈新教材中引入例题的合理性

——以指数函数的引入例题为例

浙江省杭州学军中学 张 玮 (邮编：310012)

2019年下半年，浙江将使用新版的人教版教材.之前笔者也参加过一些关于新教材的培训，对新教材也略知一二.今天笔者有幸参加了在杭州第二中学举行的杭州市高中数学青年教师核心组主题研讨会暨课堂教学实践研究(新教材研究)主题活动.主办方早上安排了展示课，下午安排了人民教育出版社中数室的李龙才老师关于新教材的专题报告.早上的展示课内容是新教材指数函数第一课时，学生是已经学习过指数函数的高一学生.

展示课的执教老师按照新教材的例题顺序给出了第一个例子.

例1 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A、B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.下表给出了A、B两地景区2001年至2015年的游客人次及逐年增加量.

随后教师让学生做了3个探究.(1)根据两地游客的变化人次，探究两地的游客人次变化规律；(2)对于B景区游客的年增加量越来越大，能否有更好的刻画方式；(3)写出B地景区人数变化规律的函数解析式.对于A地景区，变化规律较容易得出，学生马上就得出了结论.对于B地景区，学生显得有些困难，在老师提醒下，有部分学生借助图形计算器做了游客人次比值的运算.结果发现相邻年份的比值大约是1.11，使得课堂得以继续.

时间/年A地景区B地景区人次/万次年增长量/万次人次/万次年增长量/万次200160027820026099309312003620113443520046319383392005641104274420066509475482007661115285320086711058860200968110655672010691107297420117029811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126

1 质疑的产生

至此，笔者有一些疑问.

疑问1 如果教师不提醒，学生是否能想到求比值？即使老师提醒了，有多少学生能领会教师的意图？

疑问2 是否会有学生用其他的函数，比如二次函数，来代替指数函数？

对于疑问2，笔者也将数据用Excel画成了图，如下所示：

若从学生的角度来看，二次函数应该是首选.要观察公比为1.11的等比数列，从学生的认知结构来讲，之前没有类似的经验，在处理数据的时候，会遇到很大的问题.故笔者认为该例题的数据，无法有效的引入指数概念.

新课标提出了数学学习的六大核心素养，而核心素养要在教学中落实，又离不开数学“四基”的教学，即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.新的课程目标也指出，要让学生通过高中数学的学习，获得“四基”，提高“四能”，在学习和应用数学的过程中，发展核心素养.学生在分析例1的数据时，出现了困难，使得数学活动无法进行下去.而数学教学是数学活动的教学，因此通过例1的学习和思考，学生无法获得基本的活动经验以及提高解决问题的能力，从而无法发展学生数据分析和数学抽象这两大核心素养，即例1放在此处并不合适.

2 释疑及改进

课后跟几位刚刚上课的学生进行了交流，发现只有少数学生能想到求比值，其他学生都没想到考虑比值的做法.而对于想到求比值的学生，问其原因，则是因为看到了“指数函数”的课题，故而想到.由此也证实了之前的想法，即对于疑问1，能想到通过比值去观察数据之间关系的学生，可谓是凤毛麟角.对于已经学习过指数函数的学生，都很难想到用比值去分析，那么对于还没有指数函数概念的学生，要让学生自主的通过数据分析，从例1得出指数函数的概念，难度很大，几乎不可能.也就是说，这里的数据分析，一定是由教师代替学生分析的.对于疑问2，大多数学生不是很清楚，只是说要画图.也有学生想到了二次函数，但是不确定是否能找到比较好的二次函数满足题意.

在教学过程中，数学核心素养的渗透可以借助“两个过程”的合理性，即数学知识发生发展过程的合理性和学生思维过程的合理性[1].在李龙才老师的报告中提到，在加强两个过程的合理性的同时，还要让学生经历完整的学习过程.所谓完整，是指我们应该要对多个实例进行观察、比较、分析，归纳出共性，抽象出(或提取出)本质特征.然后推理出性质，并建立相关知识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结果，最后通过建模，解决数学内外的问题.而新教材中新增加的例1，其目的也在于结合教材中的例2，让学生对多个实例进行观察、比较、分析，然后一起抽象概括出指数函数的概念.

由于学生在对例1进行数据分析时，会遇到困难，因此要通过例1来抽象出指数函数的概念，这显然违反学生思维的合理性原则.若说例1是因为考虑到学生的熟悉程度，那么新教材中的例2(生物体死亡后C14的含量)，学生也是相对陌生的；若说例1是考虑到数学要来源于生活，那么把银行存款利息的例子作为问题引入，则更适合，因为数据间的关系更加明显.因此，笔者认为还是银行存款利息的例子更为合适，这个例子学生更容易接受，而且也能完成例1所要完成的任务.

如此一来，是否要将例1删除，或者跳过呢？笔者以为如果仅仅是因为数据分析不容易做，那么可以把例1延后，即在把指数函数概念抽象出来之后，再把例1作为例题，则比较合适.因为在有了指数函数的概念之后，学生再想到指数函数的模型应该更为简单一些.此问题来源于生活，可以让学生找到数学在日常生活中的运用实例.与此同时，也可以利用模型对下一年做出预测，即通过建模，解决数学内外的问题，即实现了数学的有用性，学生经历的学习过程也就相对完整了.

3 再质疑

对于例1，笔者还有2个疑问.

疑问3 由于例1中的数据符合的太过完美，相邻的两个数据之间都是1.11倍的关系.所以例1中的B地景区的游客人数，是真实的数据么？

疑问4 学生想到的二次函数模型是否会比指数模型更好呢？

对于疑问3，在下午李老师的报告中，偶然间得知，B地景区就是杭州的西湖景区.笔者在政府网站[2]上搜索了一下历年的西湖游客人次，发现例1中的数据跟网站上的数据有比较大的出入.例如2015年，接待游客量为1200万人次，而例1中给出的是1244万人次；2014年，接待游客量为1000万人次，增长13.9%，而例1中给出的是1118万人次.由2014年的数据可以推算出2013年的接待游客量为877.96万人次，而例1中给出的是1005万人次.

由此看来教材中的数据应该是做了改动，表格中给出的数据并非原始数据.也就是说教材为了要引出指数函数，将真实的数据做了修改，使得数据符合预期.数学源于生活，教材用一个真实的生活场景来作为问题引入，笔者以为应该要保证数据的真实性，否则还不如用其他的例子作为引入.另外改造真实情境的数据，会更加让人体会到数学的无用性，因此改造真实数据的情境，不适合放入教科书作为引入或者例题，以免引起误导.

对于疑问4，由于新教材所给的数据有误，故不宜采用问题1中的数据进行拟合.笔者搜索了政府网站[2]上的数据，得到了2013年到2018年的西湖景区历年游客量，最后用Excel进行数据拟合.从Excel的结果可知，若拟合函数是二次函数，则R2=0.9974；若拟合函数是指数函数，则R2=0.9911(其中R2等于回归平方和与总平方和的比值，即该比值等于1或越趋近于1，说明拟合程度越好).由此看来，从2013年到2018年的游客量，指数模型并非是最好的拟合函数模型.另外笔者还查阅了2001年到2018年杭州市历年的游客量[3]，通过Excel进行数据拟合得到如下结果：若拟合函数是二次函数，则R2=0.9981；若拟合函数是指数函数，则R2=0.9929.由此可知，对于反映游客量变化规律的函数模型，从拟合程度来看，二次函数比指数函数拟合程度更好.因此，例1不适合用指数模型来进行拟合，即将例1的情境放在指数函数的引入上不合适.

4 一点感想

本次新教材的编写，对很多模块都做了调整，除此之外，还有一些新的东西进入了新教材.由此可以看出新课标对一线教师在如何教的问题上提出了更高的要求，一线教师也应该尽快的领悟和消化新教材的精髓.但是对于引入例题的合理性，是否可以再斟酌一下.至少笔者以为，无论从学生思维过程的合理性角度，或者是从数据真实性的角度，抑或是从数据拟合的角度来看，例1都不是一个好的引入，应该从教材中删去，换一个数据真实简单的、更加符合学生思维过程的问题来作为引入.

5 尾声

新教材要求教师尽可能将数学思维的发生和发展过程充分的暴露在学生面前，吸引学生积极参与知识的再创造和发展的过程，让学生在数学课堂会话中验证，实现意义建构，进而实现“两个过程”的合理性，即数学知识发生发展过程的合理性和学生思维过程的合理性.