拟Abelian范畴的平凡扩张范畴

赵 晓， 童智锦

(福州外语外贸学院 公共教学部， 福建 福州 350202)

1 预备知识

拟Abelian范畴是Abelian范畴的基础，也是Abelian范畴的自然推广，建立在拟Abelian范畴上的各种理论更具有一般的理论意义[1]。而范畴的扩张在代数表示论和范畴理论中扮演重要的角色，例如推出范畴、范畴的平凡扩张等。在代数学方面，由一个代数构造新代数是一个重要的研究方法，同样，在范畴理论中由一个范畴构造新范畴也是范畴论一个重要的研究方向，范畴的平凡扩张就是一个精典的例子[2]。文献[3]结合Abel范畴的平凡扩张，定义了一种新的Abel范畴的“平凡扩张”,此外,还对有限范畴进行了讨论，证明了有限范畴的平凡扩张仍然为有限范畴。文献[4-6]也对一些范畴的平凡扩张进行了研究。鉴于此，结合拟Abelian范畴的相关理论对拟Abelian范畴的平凡扩张范畴进行研究。文中所出现的拟Abelian范畴的相关概念参见文献[7]，但为完整起见，将主要概念列示如下：

定义1[7]加法范畴A称为拟Abelian范畴，如果1)每个态射都有核与余核;2)每个严格满态射的拉回是封闭的,即每个严格满态射的拉回是严格满态射,如图1所示。

图1 严格满态射拉回图

图中f是严格满态射,则f′也是严格满态射，其中(PB)表示该图是拉回图。

3)每个严格单态射的推出是封闭的,即每个严格单态射的推出是严格单态射,如图2所示。

图2 严格单态射推出图

图中f是严格单态射,则f′也是严格单态射，其中(PO)表示该图是推出图。

设A,B是两个拟Abelian范畴，F:A→B是加法函子。

定义2[7]称F是强左正合函子，如果对于A中任意严格正合序列0→A→B→C，经F作用后的序列0→F(A)→F(B)→F(C)在B中严格正合。即F是强左正合函子,当且仅当F保持任意态射的核。

定义3[7]称F是强右正合函子,如果对于A中任意严格余正合序列A→B→C→0,经F作用后的序列F(A)→F(B)→F(C)→0在B中严格余正合。即F是强右正合函子,当且仅当F保持任意态射的余核。

2 拟Abeilian范畴的平凡扩张范畴

定义4设A为拟Abeilian范畴，F:A→A为自同构的加法函子。由A和加法函子F可构造得一新的范畴：

obj:a:FA→A,a∈MorA,使a∘Fa=0。

Mor:f:a→b，f:A→B∈MorA，使得b∘Ff=f∘a,其中a:FA→A,f:A→B,Ff:FA→FA,b:FA→B。

将如上构造的范畴称为拟Abeilian范畴A的右平凡扩张范畴，记为A▷F。

对偶的可定义拟Abeilian范畴A的左平凡扩张范畴，记为F◁ A。

定理11)当F是强右正合函子时，右平凡扩张范畴A▷F为拟Abelian范畴；

2)当F是强左正合函子时，左平凡扩张范畴F◁ A为拟Abelian范畴。

我们只证定理1中2)，对偶的可证定理1中1)。对于定理1中2)的证明，可分为以下几个引理来证明。

引理1左平凡扩张范畴F◁A中每个态射都有核与余核。

证明 1)先证每个态射都有余核。

设a:A→FA,b:B→FB∈objF◁A，f:a→b为F◁A中态射，其中f:A→B∈MorA。因为A为拟Abelian范畴，所以可令(C,π)=Cokerf，故存在交换图如图3所示。

图3 F◁A中交换图

因为Fπ∘b∘f=Fπ∘Ffa=F(π∘f)∘a=0，所以由余核的泛性存在唯一的c:C→FC使c∘π=Fπ∘b。下证c∈objF◁A，即要证Fc∘c=0。因为Fc∘c∘π=Fc∘Fπ∘b=F(cπ)∘b=F(Fπ∘b)∘b=F2(π)∘Fb∘b=0，又因为π为满态射，所以Fc∘c=0。

下面再证π:b→c为f:a→b的余核。

∀g:b→d∈MorF◁A，其中g:B→D∈MorA，d:D→FD∈objF◁A满足gf=0，则根据c是f的余核，存在唯一的h:C→D使hπ=g。又由于d∘h∘π=dg=Fg∘b,Fh∘c∘π=Fh∘Fπ∘b=F(h∘π)∘b=Fg∘b，所以d∘h∘π=Fh∘c∘π，又π是满态射，故d∘h=Fh∘c，即h:c→d为F◁A中态射，因此在F◁A中π:b→c为f:a→b的余核。

2)下面我们用F为强正合函子来证F◁A中每个态射都有核。

因为Ff∘a∘i=b∘f∘i=0,Fi:FK→FA为Ff的核，故存在唯一的k:K→FK，使a∘i=Fi∘k。于是可得正合的交换图，如图5所示。

图4 行正合交换图

图5 图4相应的正合的交换图

因为F2i为单态射，F2i∘Fk∘k=Fa∘Fi∘k=Fa∘a∘i=0，故有Fk∘k=0，因此k:K→FK∈objF◁A。往证i:k→a为f:a→b的核。∀g′:e→a∈MorF◁A，其中e:E→FE∈objF◁A，∀g':E→A∈MorA满足f∘g′=0。因为i:K→A为f的核，故存在唯一的h′:E→K使g′=i∘h′，则有Fg′=Fi∘Fh′。又a∘g′=a∘i∘h′=Fi∘k∘h,Fg′∘e=Fi∘Fh′∘e,a∘g′=Fg′∘e，所以Fi∘k∘h′=Fi∘Fh′∘e，又Fi为单态射，因此有k∘h′=Fh′∘e，即h′:e→k为F◁A中态射，故在F◁A中i:k→a为f:a→b的核。

由定义1可知，在拟Abelian范畴A中，f:A→B为严格满态射，g:C→B为任意态射，则存在(f,g)的拉回(f′,D,g′)，且f′为严格满态射。

引理2若强左正合函子F作用于该拉回图，则有(Ff′,FD,Fg′)为(Ff,Fg)的拉回。

证明 1)Ff∘Fg′=F(f∘g′)=Fg∘Ff′;

2)∀T∈A，m:T→FC,n:T→FA使Fg∘m=Ff∘n，拉回考察图如图6所示。

图6 拉回考察图

因为F是自同构的加法函子，所以存在F-1，用F-1作用于图6后的拉回图如图7所示。

图7 F-1作用于图6后的拉回图

由于F-1(Fg∘m)=F-1(Ff∘n)，即g∘F-1m=f∘F-1n，其中F-1m:F-1T→C,F-1n:F-1T→A,(f′,D,g′)为(f,g)的拉回，所以存在唯一的h:F-1T→D使得F-1m=f′∘h,F-1n=g′∘h。从而也存在Fh:T→FD使m=Ff′∘Fh,n=Fg′∘Fh。若还有Fh′:T→FD使m=Ff′∘Fh′,n=Fg′∘Fh′，则Ff′∘Fh=Ff′∘Fh′,Fg′∘Fh=Fg′∘Fh'，即F(f′∘(h-h′))=0,F(g′∘(h-h′))=0，由h的唯一性知h′=h，所以Fh′=Fh，因此图6为拉回图。

定义5称f:a→b即f:A→B∈MorA为F◁A中严格满(单)态射，如果f:A→B为A中严格满(单)态射。

引理31)F◁A中每个严格满态射的拉回是封闭的；

2)F◁A中每个严格单态射的推出是封闭的。

证明 只须证1)，对偶的可证2)。设f:a→b即f:A→B∈MorA为F◁A中严格满态射，则f:A→B为A中严格满态射，g:c→b为F◁A中任意态射，其中g:C→B∈MorA，所以在A中存在(f,g)的拉回(f′,D,g′)使得g∘f′=f∘g′，且f′为严格满态射。由引理2知(Ff′,FD,Fg′)为(Ff,Fg)的拉回。严格满态射的拉回交换图如图8所示。

图8 严格满态射的拉回交换图

又因为Ff∘a∘g′=b∘f∘g′=b∘g∘f′=Fg∘c∘f′，所以由拉回的性质知存在唯一的d:D→FD使得Ff′∘d=c∘f′,Fg′∘d=a∘g′，即g′:d→a,f′:d→c为F◁A中态射，且f′为F◁A中严格满态射，由引理2可知(F2f′,F2D,F2g′)为(F2f,F2g)的拉回。所以由拉回的唯一性可知Fd∘d=0，即d:D→FD∈objF◁A。

注1:若F为强正合函子，则左平凡扩张范畴F◁A和右平凡扩张范畴A▷F均为拟Abelian范畴。

F◁A中的序列图如图9所示。

图9 F◁A中的序列图

证明 在A中若kerf=0，则f为单态射。因为F为强左正合函子，所以Ff为单态射，所以在F◁A中Ff∘f=0。又Ff为单态射，所以在F◁A中f=0。反之，当f=0时，显然kerf=0。

以上F◁A的性质，A▷F有对偶的结论。因此，定理1的证明可以由引理1及引理3直接得证。

3 拟Abeilian范畴的平凡扩张范畴的局部类

1)若s∈S，则Fs∈S；

2)s∘t∈S当且仅当s∈S,t∈S。

(m,v)的拉回交换图如图10所示。

图10 (m,v)的拉回交换图

因为m,c为范畴A中的态射，A为有核的加法范畴，所以(m,-c)在A中有核。设(v,u)T为(m,-c)的核，则(u,T,v)为(n,c)的拉回。又s是严格的，n为π的核，则u为πc的核，且u为严格单态射。又m为严格满的，所以(m,v)存在拉回(p1,E1,f1)且p1为严格满的。记t1=u∘p1，则t1为严格的。

由拉回的性质知(t1,E1,f1)为(s,c)的拉回，考察交换图如图11所示。

图11 交换图

由上证明知(t2,E2,f2)为(Fs,Fc)的拉回，且t2∈S，又Fs∘a∘f1=b∘s∘f1=b∘c∘t1=Fc∘d∘t1，所以由拉回的唯一性知存在唯一的e:E1→E2使d∘t1=t2∘e,a∘f1=f2∘e,于是可令E1=E,E2=FE,t1=t,t2=Ft,f1=f,f2=Ff。因为a∘f=Ff∘e,d∘t=Ft∘e，所以f,t∈MorF◁A。

下证e:E→FE∈objF◁A，即只须证Fe∘e=0。

证明Fe∘e=0的考察图如图12所示。

图12 证明Fe∘e=0的考察图

因为(Ft,FE,Ff)为(Fs,Fc)的拉回，所以由引理1知(F2t,F2E,F2f)为(F2s,F2c)的拉回，且F2t∘Fe∘e=Fd∘Ft∘e=Fd∘d∘t=0,F2f∘Fe∘e=Fa∘Ff∘e=Fa∘a∘f=0，故由拉回唯一性知Fe∘e=0。

核的交换图如图13所示。

图13 核的交换图

图13对应交换图如图14所示。

图14 图13对应交换图

因为F2i∘Fk∘k=Fa∘Fi∘k=Fa∘a∘i=0，F2i为单态射，所以Fk∘k=0。因此k:K→FK∈objF◁A。