不同高度刚性支承对机床固有频率的影响分析

隋宇恒，贵 鹏，唐 彬，阳 红，吕 磊，许 斌

（1.四川大学 制造科学与工程学院，成都610065；2.中国工程物理研究院 电子工程研究所，四川 绵阳621999；3.中国工程物理研究院 机械制造工艺研究所，四川 绵阳621900；4.中国工程物理研究院 总体工程研究所，四川 绵阳621900）

单点金刚石切削技术以高精度、高灵活性、高效率等优点著称，可以在多种工程材料上加工复杂三维微结构。超精密单点金刚石切削机床在超精密加工领域中不可或缺，但是在加工过程中，床身振动、切削颤振、环境干扰等多种与振动相关的因素会严重影响加工精度和机床以及刀具寿命[1]。

近年来，许多学者对机床加工时振动抑制方法进行了广泛的研究。Kumabe J 建立了振动切削理论，此后一维、二维、三维超声振动切削的方法陆续出现并得到深入研究[2-6]。Stoferle 和Grab 提出了主轴变速加工的方法，此后又有学者对此做出大量研究[7-9]。Al Regib 等[10]以加工精度为目标函数，提出了主轴的最佳转速的选取方法。但是上述方法只能抑制刀具与工件之间的颤振，无法抑制床身的振动。针对床身振动的问题，R Kishore 等[11]研究了磁流变阻尼器对机床进行支撑的减振效果，Ulgen D等[12]研究了隔振地基对于外界振动的衰减效果，虽然隔振地基减小了外界激励的振幅，但是当激励频率与机床自身的固有频率接近时，仍会导致机床共振，产生较大的振动。所以如何改变机床的固有频率就成为解决机床共振问题的关键。

针对机床共振的问题，本文以超精密单点金刚石切削机床为研究对象，提出了一种通过改变支承高度来调节机床固有频率以抑制机床共振的方法。经过有限元计算和实验验证，该方法可以有效地调整机床的固有频率，抑制机床共振。

1 机床振动模型

图1为超精密单点金刚石切削机床安装的简化示意图。为了调整机床的水平，机床安装时会在床身与地基之间放置一些可调高度的支承。

图1 超精密单点金刚石切削机床结构示意图

将机床和地基简化为2 自由度的开尔文模型，如图2所示，m为床身和支承的等效质量，k和c分别为床身及床身支承结合面的等效刚度和等效阻尼。地基的振动是机床所受的外界主要激励，其振动可分解为若干个简谐运动。当地基作简谐运动时，由牛顿第二定律建立机床振动的微分方程如式(1)所示。

图2 开尔文模型

根据微分方程的相关理论，可知机床振动的解由一个表示瞬态振动的通解和一个表示稳态振动的特解组成，随着时间推移，瞬态振动的幅值逐渐衰减，以至可以忽略不计，系统振动近似等于稳态振动部分。

解出系统总的稳态响应为

其中：

其中：ζ和λ分别为系统的阻尼比和频率比

其中：ωn为系统的固有频率

定义绝对运动传递率

则可得

对式(9)模型进行数值模拟分析，阻尼比ζ取值0.01、0.1、0.2、0.707，频率比λ取值0～4（取值间隔为0.01），计算分析得到阻尼比ζ、频率比λ与绝对运动传递率Td三者之间的关系曲线，如图3所示。

图3 阻尼比、频率比、绝对运动传递率关系曲线

如图3所示，当频率比λ接近1即地基的振动频率接近系统的固有频率时，绝对运动传递率Td有峰值，地基的运动被放大后传递到机床上，机床的稳态振动会有大幅度提升，这将严重影响加工精度和机床及刀具寿命。随着阻尼比增大时，绝对运动传递率Td的峰值减小，这说明阻尼增加可以减小机床共振振幅。当频率比λ取时，不同阻尼比取值的幅频特性曲线的绝对运动传递率Td都为1。当频率比λ大于时，阻尼比ζ取值越小，绝对运动传递率Td的值越小，振动抑制效果越好。综上所述，在调整机床的固有频率时，要综合考虑等效阻尼的大小，从而起到最好的振动抑制效果。

2 仿真模态分析

2.1 有限元实体模型的建立

在3D 图形软件UG 中对超精密单点金刚石切削机床进行实体建模，出于简化计算的考虑，对实际模型进行简化，保留支承、床身、导轨等主要部分，对复杂结构进行退化处理，去掉孔、倒角等结构。支承用圆台来代替，圆台高为26 cm，圆台直径为8 cm。

2.2 整机模态分析

将模型导入ANSYS Workbench 的modal 模块，选取Solid 187 单元对模型进行网格划分，计算得到其前6 阶模态的固有频率及对应的振型，如图4所示。

可以看出，在前6阶振型中，支承作为边界变形明显，这说明支承是引起机床低频振动的重要原因。

2.3 仿真验证

利用有限元方法分析了支承高度与固有频率之间的关联性。在仿真分析中，支承高度以26 cm 为初始值，以2 cm 为梯度，减小至20 cm。所得到的4个实体模型在ANSYS Workbench的modal模块中进行了分析与计算，其前6 阶振型固有频率如表1所示。

表1 机床前6阶固有频率随支承高度变化仿真值

从表中可以看出，随着支承高度的降低，前6阶振型对应的固有频率都有明显提高，所以模态仿真的结果证明了通过改变支承高度来调整机床固有频率的可行性。

3 实验验证

由于实验条件的限制，无法对超精密单点金刚石切削机床进行实验，为了有效地验证方法的正确性，采用一块圆柱形刀盘代替床身，4根垫铁作为支承对刀盘进行支撑来模拟机床的安装结构。

图4 机床有限元模型模态分析前6阶振型

其中4 根垫铁放置时要注意避免形成正方形，防止出现不同阶数的固有频率接近的情况，导致模态识别的困难。数据采集系统选用北京东方振动和噪声研究所生产的INV3020 系列24 位高性能数据采集仪，适合高速、高精度的振动测试，数据处理系统采用配套的DASP 工程版动态分析测试平台，振动传感器选用INV9823 通用性压电加速度传感器，具有低阻抗输、抗干扰能力强、低噪声的优点，力锤选用INV9312 型力锤，并根据所研究的频率范围选用钢制锤头，模态实验示意图与实验环境搭建分别如图5和图6所示。

图5 模态实验示意图

如表2所示，随着支承高度的降低，模型的前6阶固有频率均呈现出升高趋势，并且在前2 阶特别明显。当固有频率在1 100 Hz 以下时，机床固有频率与支承高度呈负相关关系。

利用这一结论，工程上可以通过调整支承高度来避开共振区，防止共振的发生。具体的操作流程如图8所示。

图6 模态实验测试系统

表2 机床模型前6阶固有频率随支承高度变化值

4 结语

本文提出了一种通过改变支承高度来调整机床固有频率从而避免共振的方法，有限元仿真和实验结果均证明了该方法的有效性。本方法简单有效，具有可行性，为解决机床的结构共振问题提供了一种新的思路，可以与其他抑制机床振动的方法配合使用。

图7 模拟机床有限元模型模态分析前6阶振型

图8 改变机床固有频率的具体操作流程