例析中考中的“全等三角形”试题

文肖学军

在历年的中考试题中，考查全等三角形应用的试题比比皆是，拟以近年来部分省市的中考试题为例加以说明，给同学们热身练笔。

一、直接考查三角形是否全等

例1（2018·四川成都）如图1，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）。

A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBC

C.AC=DBD.AB=DC

【解析】本题已知∠ABC=∠DCB，图中有一条公共边BC=CB可以使用，一般不能用来判断三角形全等的条件只有“边边角”即“SSA”，于是容易知道选项C是正确的。

【点评】本题主要考查全等三角形的判断方法。用“边边角”判定三角形全等是一些同学常犯的错误之一，要引起重视。在证明三角形全等时，特别要注意利用题设或挖掘图形中隐藏的条件，如公共边、公共角、部分线段相等等。

图2

二、证明两角或者两边相等

例2 （2018·四川泸州）如图2，EF=BC，DF=AC，DA=EB。求证：∠F=∠C。

【解析】要证明∠F=∠C，只需证明△ABC≌△DEF即可。由于题设条件中已经具备两组对应边相等这一条件，只要将DA=BE转化为DE=AB，即可利用“边边边”定理加以证明。

【点评】本题主要考查全等三角形的简单应用，题设条件DA=BE不可以直接使用，必须要转化为两边相等的条件。

例3（2019·陕西）如图3，点A、E、F、B在直线l上，AE=BF，AC∥BD，且AC=BD。求证：CF=DE。

图3

图4

【解析】要证明CF=DE，只要证明△ACF≌△BDE即可。由条件AC∥BD，可得∠CAF=∠DBE；又由AE=BF得到AF=BE，而AC=BD，利用“边角边”定理可得△ACF≌△BDE。

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质。证明线段和角相等常常需要先证明有关的三角形全等。

三、探求两边之间的关系

例4（2018·山东菏泽改编）如图4，AB∥CD，AB=CD，CE=BF。请写出DF与AE之间的关系，并证明你的结论。

【解析】DF与AE之间的关系为平行且相等。由题设条件，用“边角边”容易证明△CDF≌△BAE，从而有DF=AE和∠CFD=∠BEA；根据“等角的补角相等”，得到∠DFE=∠AEF，于是有DF∥AE。结论成立。

【点评】两边之间的关系分为位置关系和数量关系两种。位置关系一般为平行或垂直，数量关系为相等或者倍数。

【变式】本题若连接DE、AF，则图中还存在哪些全等三角形？你能够证明吗？请大家试一试。遇到较为复杂问题时，常需要证明两组或者多组三角形全等，本题变式便是一例。

四、计算边长和角度

例5（2018·江苏南京）如图5，AB⊥CD，且AB=CD。E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD。若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（ ）。

A.a+cB.b+c

C.a-b+cD.a+b-c

图5

图6

【解析】在Rt△ABF和Rt△CDE中，因为AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，所以∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，于是有∠A=∠C。又因为AB=CD，从而△ABF≌△CDE。又因为BF=DE=b，EF=c，故有AD=AF+DF=a+（b-c）=a+b-c。因此答案选D。

例6（2019·湖北宜昌）如图6，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE。

（1）求证：△ABE≌△DBE；（2）若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度数。

【解析】（1）由角平分线定义得出∠ABE=∠DBE，由“边角边”定理证明△ABE≌△DBE即可；（2）由三角形内角和定理得出∠ABC=30°，由角平分线定义得出15°，在△ABE中，由三角形内角和定理即可得出答案。

【点评】例5和例6都考查了全等三角形的判定与性质，例6还考查了角平分线的定义、三角形内角和定理。熟练掌握相关概念、证明三角形全等是解题的关键。

五、考查全等三角形的综合应用

例7 （2019·北京）如图7，已知锐角∠AOB，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交弧PQ于点M、N；（3）连接OM、MN。根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）。

A.∠COM=∠COD

B.若OM=MN，则∠AOB=20°

C.MN∥CDD.MN=3CD

图7

【解析】连接ON，由作图可知△COM≌△COD。可得∠COM=∠COD，故A正确。若OM=MN，则△OMN为等边三角形，由全等可知，∠COM=∠COD=∠DON=20°，故B正确。由题意知，OC=OD，∴∠OCD=设OC、OD与MN分别交于R、S，易证△MOR≌△NOS，则OR=OS，∴∠ORS=∴∠OCD=∠ORS，∴MN∥CD，故C正确。又由题意，易证MC=CD=DN，∴MC+CD+DN=3CD。∵两点之间线段最短，∴MN＜MC+CD+DN=3CD，故答案选D。

【点评】本题以常见的锐角为背景，通过画弧构建图形，着重考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形、三角形内角和定理、平行线的判定、两点之间线段最短公理等众多数学概念和定理，将许多看似没有联系的知识点巧妙地连接在一起，立意较好，不失为一道匠心独运的好题！