提炼思想：一个有效的解题能力的培养方式

杜振义

摘要：高中生常感到数学难学，题多而又不好解，有时感到无从下手，成绩总是徘徊不前。 其实， 提高学生的解题能力，关键是提高他们解题时对思想提炼和反思，提炼思想是一个最有效的解题能力的培养方式。

关键词：解题;思想提炼;数学思想;反思

人们认识事物有个重要标准：能透过现象看本质;学习数学也一样，要从千变万化的数学问题中，找到问题的本质，也就是所蕴涵的数学思想，问题才能得以解决。因为数学问题是在数学思想的指导下的，运用知识、方法等“加工”而成的对象，是数学思想的一种具体表现，把这些以问题为载体的思想提炼出来，才能对数学问题有个清楚的认识，使问题顺利地得到解决。如解题教学时遇到下面几个问题：

①判断函数f（x）=2ax2-x-1的零点个数。

②方程2ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，求a的取值范围。

③在（0，1）存在x，使得不等式2ax2-x-1<0，求a的取值范围。

这三个问题分别函数、方程和不等式，问题表现形式上相差较大，但如果能运用把问题统一归纳成函数问题，从中提炼出思想，指导学生对问题的认识：问题①是利用函数思想把函数图像与性质结合起来解决，问题②如果单纯从方程思想来思考的话，这题比较难解决，可通过函数f（x）=2ax2-x-1的零点来解决，也可以从方程构造函数来进行解决;问题③的不等关系，同问题②的解决方法一样，通过函数思想来解决。如果解题时，能把这些问题中所蕴涵的思想分离出来，让学生加以这些思想的本质，再用这些不变的思想为指导他们解题，反复地运用，能有效地提高他们解决问题的能力。反之，如果解题时缺乏函数思想的提炼，他们就很难对这几个不同问题进行转化，解决问题就可能无从下手了。下面就解题中的思想提炼，说说个人的认识：

一、思想提炼是分析解决问题最重要的一个环节

解题是学生能力提高的重要手段，被大家认可;学生需要进行解题练习，但题是永远解不完的;若进行题海战术会让学生身心疲惫，能力得不到有效地提高;只能是通过典型问题，提炼出所蕴含的数学思想，用数学思想指导数学思维训练，尽量暴露思维的全过程，展示数学方法的运用，做到会一题通一路，以少胜多，这样才能走出题海误区，真正让学生从解题中得到能力的提高。如“方程2ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，求a的取值范围”直接求解需从方程中求出根来，求根时需要分类讨论，这种方法的不易，学生会进行自问：思路合适吗？如果不合适，又如何进行转化化归？类比零点与根的很多相似处，前者是函数的后者是方程的，因此可以进行方程化函数，把数和形结合起来，就能达成很好的解决目的了。这题的解决过程中处处体现了思想的运用，把这些思想提炼出来是运用好它们来分析解决问题的关键所在。

二、对于问题进行思想提炼的过程是一种学生自主学习的过程

数学问题是数学思想的载体，一个好的数学问题不是有意去添加数学思想的内容，更不是片面强调数学思想的概念，而是让学生在潜移默化解决过程中去领悟，去运用并逐步内化为学生的思维品质。在解题时好多时需要作图、进行联想、变化问题的条件使其一般化或特殊化、试着分解成一些子目标等操作，而作图是将抽象问题转化为具体形式，反映了数形结合的思想;联想常能使问题向简单的方向转化，为有目的的化归提供思路;一般化、特殊化、分解目标则蕴涵分类讨论的思想。如求方程2x3-4x2-3x+2=0的近似解（精确到0.1）时，学生尝试用因式分解或换元的方法求解但没有成功，引发问题，从而提出用什么新知识求这个方程的近似解呢？让学生讨论，教师引导学生利用函数思想，将方程的求解转化为函数的零点问题。画出函数的图象观察零点所在区间，让学生主动发现二分法使用的依据;让学生通过计算找两个异号的函数值，一个在初始区间为（0，1），另一个在（2，3），通过问题：如何缩小零点所在范围？引导学生自主缩小思考范围的方法，一般可以先将区间分为两个子区间，如果分点不是零点，则零点一定在两个中的一个内，从而达到缩小零点所在区间的目的。同时从生活中对精确度的认识，帮助学生体会数学中精确度的含义，通过有限次零点的所在区间的缩小，当达到一定精确度时确定零点的近似值，让学生在解题中产生并体会逐步逼近的思想和二分法的思想。这种数学思想提炼不是刻意或强加给学生的，是在学生解题中自然形成的;思想的提炼过程中，让学生在自觉的状态下，参与知识的形成和规律的揭示过程，那么学生所获取的就不仅仅是知识，更重要的是在思维探索的过程中领悟、运用、内化了数学的思想。

三、让学生解决问题后的对思想进行反思

学生解题不是目的，解题是数学教学的关键环节，几乎所有的数学知识、数学技能都靠解题来巩固， 而数学思想的渗透和发展也必然在很大程度上依赖于解题过程的教学，学生要对一一道题的解决中所蕴涵的数学的思想不断地反省，在脑海中留下深刻的印象，并能有意识、有目的地结合数学基础知识，揭示、提炼概括数学思想，避免单纯追求数学思想，促使学生认识从感性到理性的飞跃，形成自己的数学思想。

一要反思数学思想在问题中的表现形式，要注意发掘解题是涉及了哪些数学思想，这样的数学思想是否在其他地情况下也出现过，是同一问题中蕴含多种不同的數学思想，还是同一数学思想在多个数学问题的不同表现，现在的运用和过去的运用的何联系、有何差异，是否有规律性，这些都是我们的学生往往缺乏的对数学思想的反思。如前面的函数、方程、不等式问题，是函数思想把它们统一起来，体现了函数思想在不同的问题中表现的多样性，体会为数学思想的在不同问题的具体表现，能为学生解题提供思路。二要反思数学思想的运用，指导学生解题，如解题中求二面角大小最常用的方法之一就是：根据已知条件，在二面角内寻找或作出过一个面内一点到另一个面上的垂线，过这点再作二面角的棱的垂线，然后连结二垂足。这样平面角即为所得的直角三角形的一锐角，这个通法就是在化立体问题为平面问题的转化思想的指导下求得的，感受数学思想的作用，有意识地去运用思想思维。学会反思，通过对数学思想的反复体验和实践，学生对数学思想的认识、把握、运用的水平就会不断提高会，撑握用数学思想角度考虑问题、解决问题的一般思想方法。

四、是“一题多解”还是“多题一解”？

解题思路。“一题多解”，是对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想而产生的多种解法，在用数学思想指导知识、方法的灵活运用，可以培养思维的发散性，灵活性，敏捷性;如有这样一题：实数x，y满足x+y-2=0则求x2+y2最小值，我们可以用函数思想，用x代y把目标式化为关于x的函数求解;也可以用数形结合思想把x+y-2=0看作直线方程，后者看成一个距离的平方求解;也可用方程思想设x2+y2=a将y=2-x代入化为二次方程求解，在解题中，转化、数形结合、函数与方程等数学思想得到充分运用，学生对解决的问题会有深刻理解，学会要数学思想思考。实施“一题多解”要充分地照顾到学生能力水平，在能力范围进行，否则由于太过发散、灵活，学生会无所是众，淡化了某种思想应有的作用。如xos a+2sin a=-，求tan a  （2008年浙江省高考理第8题）

有教师在一节课里一口气给出了7种解法：可与cos2a+sin2a=1组成方程组解;有平方后右边改为5（cos2a+sin2a）再改tan a;有构造函数f（x）=cos x+2sin x讨论最值的;有构造点P（cos a，sin a），Q（）后求得PQ=0，所以PQ重合;观察，cos2a+sin2a=1进行类比求解等，这些多种解法包括了丰富的数学思想，教学时要突出重点，有的解法繁琐，有的解法过于巧妙，对于这样的解法应点到为止。而对于能体现数学思想的比较简明的解法，要作为重要解法去加以运用和引申。当然解题时不能一味追求多解，学生别说难以想到，就是看了也会眼花，无所是众，其中的思想提炼就会力不从心了。

“多题一解”是对多个题目寻求统一的解法，是把问题的多样性进行数学思想的同化。如①过点 Q（4，1）作抛物线  y2=8 x 的弦 AB，恰被 Q 所平分，求 AB 所在直线的方程。

②是否存在实数 m，使直线y=x+m与椭圆有两个不同的交点M、N，且|AM|=|AN|，若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由。

以上两个例子都是圆锥曲线的综合问题，都可归为一条直线与一个圆锥曲线的位置关系的问题，问题的解决都遵循一个固定的步骤：首先找出直线与圆锥曲线的方程，然后通过联立直线与圆锥曲线的方程消去 x（或 y），得到一个关于 x（或 y）的一元二次方程，最后由根的判别式（涉及到直线与圆锥曲线是否有交点的问题） 、韦达定理，再结合题目条件来解决问题，体现了共有的方程思想。通过这样的“多题一解”教学，学生会对多个习题， 加以梳理、归纳、提炼、异中求同，揭开不同习题的表面现象，挖掘其内在的数学思想，再用思想指导解题能获得事半功倍的学习效果。

总之教学中我们要进行恰当而又适度的一题多解，发散学生思维，用不同的数学思想指导他们解题，也要通过多题一解，讓他们能从不同的问题上寻求思想上的统一，脱离“题海战术”。

五、“一题多变”变的是什么？

“一题多变”常常是变换问题的条件和结论，变换问题的形式，而问题的思想本质常没发生变化，如在研究三棱锥顶点在底面三角形内的射影位置时就有以下问题：

①当三棱锥是正三棱锥时;

②当三条侧棱的长均相等时;

③当侧棱与底面所成的角都相等时;

④当各个侧面与底面所成的二面角相等，且顶点射影在底面三角形内时;

⑤当顶点与底面三边距离相等时;

⑥当三条侧棱两两垂直时;

⑦当三条侧棱分别与所对侧面垂直时;

⑧当各个侧面在底面上的射影面积相等时;

这一系列问题，是对“点在面上射影位置”这一问题形式进行了多种变化，不管如何变化，其中所蕴涵的化归等思想没有发生变化，都需要进行立体转化为平面处理，用“不变”的数学思想去解决这些不断“变换”命题。一题多变，能使学生对问题思考由浅而入深，极大的锻炼学生归纳、类推的能力和提炼体会思想的能力，解题教学时完成一个问题时，此时应该引导学生注意总结其思想方法，扩大战果，培养学生养成多问几个为什么的习惯。像有没有别的方法，能不能做得更简洁些，你能一眼看出结果吗？如改变条件，使其特殊化或一般化， 能得出什么结论？解决此类问题的关键处在哪儿？你能否把所有的这些数学思想进行总结等等。如这样一道题：已知正方体棱长为a，求其内部与各棱均相切的球的半径. 学生做完后不妨问问有无别的方法？什么是解题的关键？能一眼看出来吗？如将题目中的球改为内切或外接怎么做？将正方体改为正四面体呢？显然这种趁热打铁的拓展将促使学生对知识融汇贯通，形成解决此类问题的技能，并更深刻地领会其中的数学思想，有助于在实际问题中更好地运用它，达到举一反三的效果。但不能一味追求一题多变形式的多样化，有时一题多变会过多地分散学生的能力发展;也要注意变式后的题目要有梯度，不能搞一步到位;要注重教学需要，用数学思想的指导学生解题，尽可能让学生做到会一题而通一类，提高学生解决问题的能力。

数学思想具有较强的抽象性和内隐性，它贯穿于整个教材体系，而又高于一般的数学知识。如果不将蕴含其中的数学思想明确化并加以引导，学生往往不能领会。教师有责任在教学过程中使之明确化，将问题解决过程的数学思想背景有意识地呈现给学生，如函数、不等式、方程等明显体现了函数、数形结合的思想;又如立体几何中从平行六面体到棱柱、棱锥、棱台相关证明，再到球和球缺的体积和表面积计算，均隐含了化归的思想，即把新的问题转化为已知问题加以解决，当然还渗透了合情推理和极限思想。我们如能让学生明确它们，解题时引导学生自主开动脑筋进行探索，就不光学会了有关知识，更重要的还在于受到数学思想方法的陶冶， 学会自主探索的科学思维方法。我们在解题教学中，进行思想的提炼，让学生在反复的体验和实践中认识其中规律，形成数学思想，使学生的认识能力产生飞跃。