几何题证明方法赏析

谢建平

摘要：数学作为一门抽象化学科，以形象思维为主的几何，具有较强的直观效果，初中几何证题法千变万化，考虑的角度不同，所添加的辅助线也不相同，因此所选的证明方法也不相同，当然书写过程也截然不同。下面以一个几何证明题来与大家共同分享。

关键词：几何证题法；辅助线；一题多解

学生练习中有很多值得特别研究的几何证明题，通过添加不同辅助线而采用不同的方法来解答，这对于学生来说，可以提高他们学习几何的积极性，增强其形象直观的观察能力。下面以此题以飨读者。

例题：已知：平行四边形ABCD，∠ADF=45°，∠N=∠ACD，AG⊥CD，AD⊥AC

求证：AC=CB+AN

第一种：过点A作AY⊥DF交CD于点H

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥CB

∵∠DAC=90°，∠ADF=45°

∴AD=AE=CB

∠DYH=90°，∠AGH=90°

∴∠YDH+∠DHY=90°

∠GAH+∠DHY=90°

∴∠HDY=∠GAH

∵∠ADY=∠EAY=45°

∴∠ADY+∠HDY=∠EAY+∠GAH

∠HDY=∠MAE

∵∠AYE=90°

∴∠EAY=∠DAH=45°

在△DAH和△AEM中

{∠ADH=∠EAM AD=EA ∠DAH=∠AEM}

∴△DAH≌△AEM（ASA）

∴AH=ME

在△NEM和△CAH中

{∠N=∠ACH ∠NEM=∠CAH ME=HA}

∴△NEM≌△CAH（AAS）

∴NE=CA ∵AN+AE=CE+AE ∴AN=CE

∵AC=AE+CE

∴AC=CB+AN

第二种：过点A作AY⊥DF，交CD于点H，在连接HE

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD=CB

∵AD⊥AC，∠ADE=45°

∴AD=AE=CB

∵AH⊥DF，∠AED=∠EAY=45°

∴AY=YE

∵∠YDA=∠DAY=45° ∴YD=YA=YE

∵∠DYH=90° ∠AGH=90°

∴∠YDH+∠DHY=90° ∠GAH+∠DHY=90°

∴∠HDY=∠GAH

∵∠DAH=∠EAH=45°

∴DH=EH ∠HDY=∠HEY=∠GAH

∴∠HAE+∠GAH=∠AEY+∠HED

∠MAE=∠HEA

在△MAE和△HEA中

{∠MAE=∠HEA AE=EA ∠MEA=∠HAE}

∴△MAE≌△HEA（ASA）

∴ME=AH

在△NME和△CHA中

{∠N=∠ACH ∠NEM=∠CAH ME=HA}

∴△NME≌△CHA（AAS）

∴NE=AC

∵AN+AE=CE+AE

∴AN=CE

∵AC=AE+CE

∴AC=CB+AN

第三種：解：延长CN至点H，使AC=AH，连接HD，过点D作DR⊥NM，过点N作IN⊥HD

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD平行且等于CB

∵AD⊥AC ∠ADE=45°

∴AD=AE=CB

△HAD≌△CAD（SAS）∴∠H=∠ACD=∠MNE∴HD∥NM

∵IN⊥NM DK⊥NM∴四边形INKD是矩形

所以IN平行且等于DK∵AD⊥AC AG⊥CD

∴∠ACD+∠ADC=∠DAG+∠ADC=90°∴∠DAG=ADC=∠ANM=∠H∵∠NKD=∠DAH=90°

∠DYK=∠AYN ∴∠ADK=∠MNE=∠ACD

∵∠AED=∠CEF=45°∵∠CDE+∠ACD=45°∴∠CDE=∠MDK

在△DKM和△DGM中

{∠KDM=∠GDM ∠DKM=∠DGM DM=DM}∴△DKM=△DGM（AAS）∴DG=DK=IN

在Rt△HIN和Rt△AGD中

{∠H=∠DAG ∠HIN=∠AGD IN=GD}

∴△HIN≌△AGD（AAS）∴HN=AD=AE=CB

∵AH=AC

AC=AE+CE AH=AN+HN

∴AC=CB+AN

第四种：解：延长CN至点H，使HN=CB，连接HD作DR⊥MN，IN⊥HD

∵△DKM≌△DGM（AAS）

∴DG=DK=IN

∵∠DKN=∠DIN=∠90° ∴四边形INKD为矩形 ∴HD∥NM ∴∠H=∠ANM=∠ACD

在△HAD和△CAD中

{∠H=∠ACD ∠HAD=∠CAD AD=AD}

∴△HAD≌△CAD（AAS）∴AH=AC

∵AH=HN+AN HN=CB ∴AC=CB+AN

当然这个题目还有另外的证明方法，比如分别过AC作平行线也能解答，等等，这里就不一一列举。

参考文献：

[1] 栗竹林。几何系列题研究及证法M 沈阳：东北工学院出版社，1988

[2] 王家铧 沈文选等。几何课程研究M 北京：科学出版社，2006

（作者单位：重庆市武隆区平桥中学校）