建立不等式的初步探索

王红梅

摘 要：不等关系和相等关系都是反映客观世界中的量与量之间的最基本的数学关系，把不等式作为刻画和描述现实世界中事物不等关系的一种工具，作为描述刻画优化问题的一种数学模型，它和方程一样，都是解决数学问题的重要工具。不等式是高中数学的传统内容，它始终贯穿在整个中学数学中，它与数、式、方程、函数、导数等知识有着密切的关系。不等式知识是从研究等量关系到研究现实生活中的不等量关系，让大家认识数学与现实世界和实际生活的联系，培养和发展数学应用意识，还体现了一种由已知探求未知的研究方法，它建立了更完整的数学构架，为解决数学问题提供了又一种工具，它更是数学思想的载体，充分展示了分类讨论思想，方程与函数思想，数形结合思想，转化与化归思想，最优化思想等，因此它的地位特殊而且重要。

关键词：不等式;不等关系;糖水不等式

一、 教材分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》数学必修5第三章。这是第一节“不等关系与不等式”第一课时。

在历届高考题中，有单纯的不等式问题，也有很多的综合题，主要是与函数、解析几何、数列、三角函数的综合。

本节课是不等式的起始课，重点是不等关系的建立和得到不等式的推导。通过学习“不等关系与不等式”，有助于学生认识到学习不等关系及不等式的必要性和重要性。通过感受具体情境中的不等关系，可以激发学生产生用数学研究不等关系的强烈愿望，并且为进一步学习后面的内容奠定良好的基础。让学生意识到：建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题同样的重要。

二、 学情分析

学生在小学开始接触不等式，能进行简单的大小比较，在初中继续学习了不等式的一些基础，了解了三个不等式的基本运算性质，会解一元一次不等式及简单的一元一次不等式组，可以用简单的不等关系来处理实际生活中的不等量的关系，和进行简单的不等式的运算和推理，能够应用数轴这个工具来表示对应的不等式，能比较两数的大小，有一定的抽象概括能力，数学建模能力和合情推理能力。但小学和初中的结论都是由特殊到一般归纳出来的，进入高中阶段后更要注重的是逻辑推理，而且有一部分学生在解决不等式问题时容易犯的错误之一就是不等式性质错误，比如说交叉相乘，比如说不等式的平方开方问题，所以高中不等式的学习从基本性质开始，将初中的知识进行延伸和扩充，这体现了数学的螺旋上升。

三、 教法与学法

（一） 对核心素养的体现

本节课充分利用学生已有的知识，利用生活中的不等关系来建立所有的知识结构，以教师启发引导，学生探究、交流、发现的方式进行，教师的“导”要做到把学生从充满“不等关系”的现实世界带到充满理性思维的数学世界，鼓励学生用數学观点进行类比、归纳、抽象，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯，获得“数学地思考”不等关系的体验;通过生活中的实例寻找不等关系，体现数学抽象;通过把不等关系用不等式表示，体现数学建模;通过对富有挑战性的问题解答，培养探究精神和严谨认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，简洁美，数学推理的严谨美。

对“四基”的体现：

基本知识：不等关系的得到和不等式的建立。

基本技能：生活常识数学化，能进行简单的数学建模。

基本思想：转化与化归思想，数学建模思想。

基本活动：教师引导，学生讨论、探究、交流、发现。

四、 教学过程

我们今天要来研究和学习不等关系和不等式，在此之前，我们研究了大量的相等关系和等式，那是因为，数学与生活紧密相连，在现实世界中，等量关系是一个非常重要的存在。我们将实际问题中的相等关系进行抽象概括，转化为数学问题，然后用等式来刻画这些实际问题，这就是数学研究相等关系的过程。然而，就像天平的平衡点只有一个，更多时候都处于不平衡状态一样，现实世界普遍的存在的是不等关系。

不等关系用在成语中，“尺有所短寸有所长”是最窝心的一句话，它指的是不等关系的双方各有优势，不因自己的优势而骄傲，不因自己的不足而沮丧，做最好的自己，足矣。不等关系用在诗句中，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”两个不等关系，“远近不同”，“高低不同”，寥寥数字，概括而形象地描绘出千姿万态的庐山景色，这是大自然馈赠给你的一种看得见的不等的美。

老师：白天的香港维多利亚港，高楼鳞次栉比，海面上风平浪静，尽显美丽。

夜晚的维多利亚港，在霓虹灯的装扮下变得魅力四射，美轮美奂，尽显妖娆。霓虹灯真是装扮城市夜晚的一把好手。你知道吗？世界上第一盏霓虹灯是填充稀有气体氖气制成的，在灯管里充稀有气体氖、氩、氦和水银蒸气等四种气体的混合物，由于各种气体的相对含量不同，便制得五光十色的各种霓虹灯。那么，有同学知道稀有气体是怎么被发现的吗？

学生可能知道，也可能不知道。

老师：公元1882年，空气中的稀有气体还没有被发现，以精确著称的英国化学家瑞利（Rayleigh，J.W.S.1842-1919），一方面从空气中除掉氧气、二氧化碳、水蒸气得到氮气;另一方面从氮化物分解制得氮气。他发现在正常状态下前者的密度是1.2572克/升，后者的密度是1.2508克/升，他发现了不等关系，你发现了吗？能用不等式将它表示出来吗？

学生：正常状态下，空气中氮气的密度大于氮化物分解得到的氮气的密度，1.2572>1.2508。

老师：为什么会产生这样的差异呢？是误差吗？还是其中还有较重的不活泼气体？1894年，机智的实验者英国化学家拉姆塞（Ramsay，W.1852～1916）与他携手，用燃烧的镁与空气中的氮气作用，除去空气中的氮，发现了一种新的气体元素——氩。后几年他又陆续发现了四种稀有气体——氖、氪、氙、氦。这里面又有什么不等关系？你能用不等式把它表示出来吗？

学生：稀有气体的密度大于氮气的密度，ρ1>ρ2。

随着工业生产和科学技术的发展，稀有气体越来越广泛地应用在工业、医学、尖端科学技术以至日常生活里。没有科学家们严谨认真的科学态度，我们发现稀有气体的路会更曲折，让我们铭记发现稀有气体的化学家的名字——威廉·拉姆塞。这是一个奇妙的世界，它让各种物质显示出不同的特性，引导我们去探索发现它，并加以利用。

在座的每一个同学都是一名潜在的科学家，你没有科学实验可以做，但你可以在生活中去发现数学。

我们将现实世界的实际问题不等关系进行抽象概括，成为数学问题，用不等式来刻画它们，这就是数学解决不等关系的基本手段。同学们从小学到初中已经掌握了不等式的一些简单性质和运算，可以根据实际问题建立起不等式来解决问题。那大家一起来秀一下。

老师：（喝水）加糖，糖水变甜。你能在这件事中发现不等关系，能用不等式来表示它吗？

学生活动，得出结论：a>b>0，m>0，则b+ma+m>ba。注意限制条件，可能是学生容易忽略的。

老师：我们把这个不等式称之为“糖水不等式”。

老师：现在，你已经能够把生活中的现象用数学式子来表示了。这就是数学来源于生活。我们还可以让数学回到生活中去，用数学知识可以解释生活中很多的现象。

例子：芭蕾舞是优雅的代名词，为什么芭蕾者踮起脚尖就可以给人一种美的享受呢？告诉你一个身材的秘密。当一个人下半身长x与全身长y的身材比例为黄金分割值0.618时是最优美的，而一般人的身材比例为0.57～0.60之间，踮脚就把这一比例接近了0.618。聪明的女同胞不用踮脚，穿上高跟鞋，就达到了身型优美的目的。

老师：现在，让我们走进大数据时代，来看看大数据时代网商的幸福生活。

例子：某售书网店统计，若以12.5元每本销售一种杂志，一个月内可以卖出6000本，根据大数据统计分析，若单价每提高0.1元，销量会减少40本，人工智能会主动去进行一些计算，杂志是否可以提价，提价在什么范围内销售总额仍不低于75000元呢？这个计算式子是什么样子的？

学生讨论得到结论：

（6000-x0.1×40）（12.5+x）≥75000x≥0

老師：有补充吗？这个是个实际问题，要符合实际条件。

学生：书价最多有一位小数。

老师：对，应加上一个条件。

学生：10x=k，k∈Z。

老师：再走进《厉害了我的国》，2015年，中国发出了扶贫攻坚的号令，到2017年，全国已有1000万贫困人口进行了易地搬迁，国家在安置点帮助贫困人家脱贫，阿德便是其中的受益者。他现在管理着一个运输公司，这里的车是大家伙集资买的，驾驶员也是安置点的搬迁户，大家放心地把这个运输公司交给他来管理，因为他是这里为数不多的高中生之一，他每天要操心的就是怎么派车，如何安排驾驶员。你来帮他看看吧：现运输公司有7辆可载6t的A型卡车与4辆可载10t的B型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型车8次，B型车6次，怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？若每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车252元，每天派出A型车和B型车各多少辆，公司所花的成本费最低？

师生共同分析：设每天派出A型车x辆，B型车y辆，成本为z。

所以x和y需满足：0≤x≤7，x∈Z0≤y≤4，y∈Zx+y≤948x+60y≥360，求z=160x+252y的最小值。（答案：A型车5辆，B型车2辆。）

老师：这个式子列起来还算容易，你知道怎么去计算吗？

学生没有这方面的方法积累。

老师：这说明同学们关于不等式的知识还不够解决这些问题，这正是我们为什么要在这里继续学习不等式内容的原因。

老师：今天，你收获了什么？

师生共同总结：

知识方面：世界上存在着大量的不等关系，通过抽象概括成数学问题，并用不等式来解决问题。

能力方面：结果很重要，过程更美丽，在列出这些不等式的过程中，你已经具备了数学的抽象概括能力，数学建模能力，这是数学六个核心素养中的两个。你已经那么厉害了，再继续学习，你会成就最好的自己。

个性品质方面：用数学原理理性解释生活问题，形成审慎的思维习惯。

老师：数学家陈省身说：我们欣赏数学，我们需要数学。那么，现在，我们欣赏不等式，我们更需要不等式，带着探索宇宙奥秘的豪情来研究不等式吧！

参考文献：

[1]韩蕾.“不等关系与不等式”教学设计、实践与反思，中小学数学，2015（5）.

[2]李锋.有机融入数学文化，大力倡导数学精神，中学数学，2013（2）.