关于圆的对称性命题可逆性的研究

湖北省赤壁市第一初级中学(437300) 李道生 李亚平 邓楚明

内容决定形式,形式反映内容.圆作为天底下最对称的平面图形,具有完善的全方位的轮换对称不变性.于是猜想,涉及圆的方方面面的内容,也应具有全方位的轮换对称不变性.圆的性质是以命题的形式反映出来的,根据圆的轮换对称不变性的完美性,我们预测：反映圆的性质的命题的题设与结论之间应有轮换对称不变性,亦即：

一.圆的性质轮换不变性的猜想

(圆的性质轮换不变性)猜想所有关于圆的性质的命题,其题设与结论之间具有轮换对称不变性(即等量交换不变性).换句话说,所有关于圆的性质的真命题的逆命题都是真命题.

(圆的性质轮换不变性)猜想是根据圆的全方位对称性的的完美性所作的预测.揭示圆的对称性的特点,由圆的对称性的完美性猜想圆的性质的等量交换不变性,这是美的召唤,美的预测功能在这里得到淋漓尽致的表现.

由于(圆的性质轮换不变性)猜想是根据圆的结构的全方位对称性出发作出的,因而具有合理性、准确性(注意,这里所作的预测不能看作圆的性质定理, 它不是证明的产物,而是美的直觉产生的预感,是一种哲理性的认识).如此预测,不但有利于教师设计教学程序,而且有利于学生对圆的性质的探索发现.不断猜想、不断证实,极有利于学生对圆的性质的深刻理解、全面掌握.

这里,我们以垂径定理及推论的教学设计为例,说明(圆的性质轮换不变性)猜想的教学价值.

垂径定理及推论的教学设计

如图1,垂径定理可以表示如下：

根据(圆的性质轮换不变性)猜想,其条件与结论等量交换后所得逆命题(共九个)皆为真命题(称为推论),于是垂径定理及九个推论,可用一句话概括如下：

图1

“对一个圆和对一条直线来说,如果具备下列条件中的任何两个,那么也具有其它三个：(1)过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧”(经证明本预测完全成立,注意：当(2)、(3)为条件时要对弦增加它不是直径的限制)

至此,关于垂径定理及推论一览无余地展示出来,从而为全面、灵活、选择垂径定理及推论的各种情况提供了完备的理论基础.

反观课本,只给出了九个推论中的一个,对需要运用其它八个推论之一的问题(学生尚不知另有其它八个推论可供利用),只有采用迂回曲折的方法解决之.

正是因为学生掌握的知识支离破碎,没有形成系统全面的规律性的认识(教材内容造成),致使学生初次接触垂径定理及推论的时侯,被复杂多变的表述形式所迷惑,更谈不上融会贯通、灵活运用了.

笔者认为,对垂径定理一节的教学,应在讲完垂径定理后,根据(圆的性质轮换不变性)猜想,直接引出一个统一的概括性的命题让学生掌握,无须专门额外安排垂径定理的一个推论让学生去背记(可告诉学生垂径定理的九个推论都是正确的,我们可用统一的一句话来概括,至于具体证明留给大家去思考,如果证明有困难可先放着;这样让学生对知识有一个全面的认识,从中感受到圆的性质的和谐美、统一美.课本只安排垂径定理的一个推论而删去其它八个推论,则如肠梗阻,如喉梗刺,阻断了圆性质的流畅性与全面性).统一的表述,条理性的记忆,不但简化了对它实际代表的10 条定理及推论的记忆且便于解题时的灵活选用(教材只安排垂径定理的一个推论,估计是怕增加学生学习负担,只挑选一个认为最重要的推论让学生掌握,要知道每增加一个推论,就必须给出一个证明才能确定下来,九个推论要证明九次,这是多么麻烦啊.但有(圆的性质轮换不变性)预测及后面的说明,我们完全可以在不增加学生负担的前提下直接引出垂径定理及推论的一个统一的概括性的命题让学生掌握,从而让学生更加全面地掌握垂径定理及推论的实质,更利于学生感受到知识之间的纵横联系及来龙去脉;预测一有弥补知识暂时不足的缺陷,有先打预防针,先让学生放心地运用垂径定理及九个推论解题的功效).

二.圆的性质轮换不变性猜想的验证分析

分析圆的三大基本性质定理：1.垂径定理; 2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理;3.切线性质定理(它们是圆的理论发展的基石)

我们发现一个共同的特征;每个定理的的条件与结论一一对换,所得的所有命题都是真命题.因此,每个定理及推论都可用统一的形式进行表述：垂径定理及推论可以统一表述为“知二推三”;圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系定理及推论,可统一表述为“知一推三”;切线性质定理及推论可统一表述为“知二推一”.

至此,所有接触到的圆的性质都满足(圆的性质轮换不变性)猜想,(圆的性质轮换不变性)猜想所揭示的有关圆的性质具有轮换对称不变性的背后是否潜伏着深刻的必然性来暗示(圆的性质轮换不变性)猜想的正确性呢? 有必要进行深入的研究与探讨(注意,(圆的性质轮换不变性)猜想是一种美的感觉而作出的猜想,不可能有严格的几何证明来确定,我们只能多做些感觉性的工作来认同它,为感觉打气鼓劲.培养学生美的直觉能力是培养学生探索创新能力的重要途径).

首先从垂径定理说起.

对于圆内异于圆心的一个定点M, ①对应着圆内唯一的一条过定点M 的直径CD (两点确定一条直线), ②对应着唯一的一条过定点M 且垂直于直径CD 的弦AA′(过直线上或直线外一点有且只有唯一一条直线与已知直线垂直);从而 ③对应着唯一的一条以M 为中点的弦, ④优弧ACA′的中点C 唯一, ⑤劣弧ADA′的中点D 唯一(垂径定理).

唯一意味着确定, 垂径定理图告诉我们, 对一个圆和对一条直线来说, 如果具备下列条件中的任何两个, 那么也具有其它三个：(1)过圆心, (2)垂直于弦, (3)平分弦, (4)平分弦所对的优弧,(5)平分弦所对的劣弧.

图2

正是垂径定理图所显示的结构关系的唯一确定性,就有了垂径定理的条件与结论的一一交换不变性.

再看切线性质定理.

对于圆上的一个确定的点A, ①对应唯一的一条过圆心O 与点A 的直线OA(两点确定一条直线), ②对应唯一的一条以点A 为切点的切线(过直线上或直线外一点有且只有唯一一条直线与已知直线垂直).

切线性质定理图告诉我们,对一个圆和对一条直线来说,如果具备下列三个条件中的任何两个, 那么也具有第三个：(1)过圆心, (2)过切点, (3)垂直于切线.

正是切线性质定理图所显示的结构关系的唯一确定性,就有了切线性质定理的条件与结论的一一交换不变性.

最后看圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理(简称“关系定理”,教材删去了弦心距).

“关系定理”换一种说法就是：在同圆中,圆心角确定,则所对的弧确定,所对的弦确定,所对的弦心距确定.

“关系定理”图告诉我们,在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等.

正是“关系定理”图所显示的结构关系的唯一确定性,就有了“关系定理”的条件与结论的一一交换不变性.

可见,圆性质的轮换对称不变性,在于圆性质定理图所显示的结构关系的唯一确定性.

如若教材每给出一个有关圆的性质定理就指出所有的逆命题都成立并统一表述,则可让学生对定理及推论形成系统完整的认识,并作为探索性问题留在心中,不一定先要个个证明一遍才罢休.如同三角形全等的判定定理,有些作公理(尽管不是公理)处理承认它成立;再如圆面积公式也是先记住它并去应用它, 其证明等以后学了微积分再证也不晚.在严格要求下,我们应允许若干重要的暂时不能证明的基础性定理让学生先行掌握,以形成完整系统的知识结构,感受知识的和谐统一美.

圆性质的轮换对称不变性,在于圆的性质定理图所显示的结构关系的唯一确定性.圆性质的轮换对称不变性,用映射的观点看,就是在全方位对称前提下的一一对应关系下的交换不变性.(圆的性质轮换不变性)预测成立的“真相”就在于此(这里的“真相”,仍是一种美的感觉,不是证明意义下的“真相”).

对与圆有关的性质定理的教学,主张每学一个性质定理,学生能自觉地去探讨所有形式的逆命题(有可能的话,自行证明之),并由此进行全面统一的表述及记忆.尽管教材可能未给出某些命题的逆命题, 但学生应认识到逆命题的正确性(预测的教学功能),甚至允许学生运用这些未学的逆命题去思考问题、解决问题,只有这样,学生学握的知识才有系统性、全面性,从而达到灵活运用的效果.

写到这里,可能有人举出反例,说明(圆的性质轮换不变性)猜想不正确.如：

定理圆的两条平行弦所夹的弧相等.

逆命题若圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行.

显然, 该逆命题不成立, 如图(3), 弧CB = 弧AD, 但AB 不平行于CD.

这是怎么回事? 实际上,上命题并不是原命题的逆命题, 原命题的条件“两条平行弦”暗含有两弦不相交这一隐蔽性条件.因此, 原命题的逆命题应是“若圆内两条不相交的弦所夹的弧相等,则此两弦平行”,该逆命题易证成立.

图3

推论同弧所对的圆周角相等.

逆命题相等的圆角角所对的弧是同弧.

显然,该逆命题也不成立.

这又是怎么回事呢? 圆的旋转不变性告诉我们,这里的同弧应理解为能够互相重合的弧,即原命题应是：同弧或等弧所对的圆周角相等,所以,真正的逆命题应是：相等的圆角角所对的弧是同弧或等弧(前提是“在同圆或等圆中”)

倘若有人能举出—个与圆有关的某性质定理的逆命题不成立,那么我们只有怀疑圆的结构对称性的完善性,即圆一定有不对称的地方,这显然不符合圆的结构特征.可以说,我们对(圆的性质轮换不变性)猜想深信不疑,就在于圆的结构对称性的完善性.完美无缺,圆也.

总之,猜想到关于圆的每一个性质定理的条件与结论之间具有等量交换不变性, 并由此演变出所有形式的逆命题,进而用一个统一的形式进行表述,则圆的每一个性质定理及推论的各种变化全握在手(以不变应万变),记忆也一目了然,不会被复杂多变的形式所迷惑,以完整的知识结构牢记于心.

三.圆的性质轮换不变性猜想的特殊价值

设想将(圆的性质轮换不变性) 猜想, 看作一个临时的“公理”,这样,对圆一章的有关性质,我们只需给出原命题的证明,其演变出的所有逆命题,就可暂时不经证明直接当作定理去使用.如此处理,学生既掌握了系统全面的知识结构,增加了知识容量,拓宽了解题思路,又不增加课本“厚度”及学习负担,如此“革命性”的设想,笔者认为有探讨研究的必要.(当条件成熟时,再要求学生对未证明的逆定理进行证明也不晚;即使在初中阶段学生没有能力去证明它,(圆的性质轮换不变性)预测的科学性仍使他们对尚未证明的逆定理的应用,显得“底气十足、深信不疑”.他们心里明白,所应用的逆定理是成立的,到了一定时候就可证明之,因此可放心大胆地去应用去探索去思考.如此设想,有关四点共圆、相交弦定理等被删去的内容重回初中几何教材就变得顺理成章了.四点共圆的性质非常优美,是作辅助圆解决非圆类几何问题的理论基础之一,从中显示圆的性质美,感受圆的内在美,是欣赏圆形美、体验圆的美学价值的绝佳范例.圆一章内容的增删, 应考虑圆性质的整体完善性及发挥它独特的美育功能).

圆的美育功能是圆的一项重要的教育功能,在数学美育功能上处于独一无二的最佳地位, 是美育教材的最佳标本,其美育功能是其它任何几何图形无法比拟的.将圆形美的内涵全方位的揭示出来,完美展示圆的形式美、结构美、性质美及美的启发预测功能, 才能让学生陶醉在圆形美的世界里,从内心去欣赏它、感受它,进而无怨无悔的去学习它、应用它.

学习知识要直达核心抓住精义,要善于寻找美、感受美,产生美的直觉去发现美的光辉,这样的学习才是有趣的充满生机的.